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一元函数积分学
原函数与不定积分的概念
原函数：设f(x)在区间I上有定义，F(x)是I上的一个可导函数，如果F'(x)=f(x)，则称F(x)是f(x)在区间I上的一个原函数。
不定积分：设f(x)在区间I上有定义，F(x)是f(x)在区间I上的一个原函数，那么，对于任意常数C，F(x)+C都是f(x)在区间I上的一个原函数，称为f(x)在区间I上的不定积分，记为∫f(x)dx=F(x)+C。
导数与不定积分的关系
\[1. \frac{d}{dx}\int f(x)dx=f(x)或d\int f(x)dx=f(x)dx \\ 2. \int dF(x)=F(x)+C或\int F'(x)dx=F(x)+C \]牛顿-莱布尼茨公式
设f(x)在区间[a,b]上连续，F(x)是f(x)在区间[a,b]上的一个原函数，则
\[\int_a^bf(x)dx=F(b)-F(a) \]基本积分表
\[\int x^\mu dx=\frac{x^{\mu+1}}{\mu+1}+C(\mu\neq-1) \\ \int \frac{dx}{x}=\ln|x|+C \\ \int a^xdx=\frac{a^x}{\ln a}+C(a>0,a\neq1) \\ \int \sin xdx=-\cos x+C \\ \int \cos xdx=\sin x+C \\ \int \sec xdx=\ln|\sec x+\tan x|+C \\ \int \csc xdx=-\ln|\csc x+\cot x|+C \\ \int \sec x \tan xdx=\sec x+C \\ \int \csc x \cot xdx=-\csc x+C \\ \int \frac{dx}{\cos^2x}=\tan x+C \\ \int \frac{dx}{\sin^2x}=-\cot x+C \\ \int \frac{dx}{\sqrt{a^2-x^2}}=\arcsin\frac{x}{a}+C \\ \int \frac{dx}{a^2+x^2}=\frac{1}{a}\arctan\frac{x}{a}+C \\ \int \frac{dx}{x^2-a^2}=\frac{1}{2a}\ln|\frac{x-a}{x+a}|+C \\ \int \frac{dx}{\sqrt{x^2\pm a^2}}=\ln|x+\sqrt{x^2\pm a^2}|+C \\ \]求不定积分
直接积分法
化归即向已知积分表中的积分归化，使之成为已知积分表中的积分。
（1）整式化归
【例 1】求\(\int \frac{dx}{x^2+2x+5}\)
解：\(\int \frac{dx}{x^2+2x+5}=\int \frac{dx}{(x+1)^2+4}=\frac{1}{2}\int \frac{d(x+1)}{(\frac{x+1}{2})^2+1}=\frac{1}{2}\arctan\frac{x+1}{2}+C\)
（2）三角化归
【例 2】求\(\int \frac{dx}{\sin x+\cos x}\)
解：\(\int \frac{dx}{\sin x+\cos x}=\int \frac{dx}{\sqrt{2}\sin(x+\frac{\pi}{4})}=\frac{1}{\sqrt{2}}\int \frac{d(x+\frac{\pi}{4})}{\sin(x+\frac{\pi}{4})}=\frac{1}{\sqrt{2}}\ln|\tan(x+\frac{\pi}{4})|+C\)
（3）分式化归
1）拼凑拆项
【例 3】求\(\int \frac{x^4}{x^2+1}dx\)
解：\(\int \frac{x^4}{x^2+1}dx=\int (x^2-1+\frac{1}{x^2+1})dx=\frac{x^3}{3}-x+\arctan x+C\)
2）一般有理函数拆项
分子分母都是多项式的有理函数是重点关注对象。
它的拆项分两步：
第一步：若有理函数为假分数（分子次数大于等于分母次数），则先用多项式除法化为带余数的真分数。
多项式除法是一种将一个多项式除以另一个多项式的运算方法，类似于整数除法。它用于将一个多项式表示为另一个多项式的乘积和余数的形式。多项式除法的基本原理是将被除式与除式进行长除或短除操作，逐步消去最高次项，直到不能再继续消去为止。
下面是多项式除法的基本步骤：
- 确定被除式和除式的次数：将被除式和除式按照次数从高到低排列，并确定它们的次数。
- 比较被除式和除式的最高次项：将被除式的最高次项除以除式的最高次项，得到商的最高次项。
- 乘法：将除式乘以商的最高次项，得到一个新的多项式。
- 减法：将被除式减去上一步得到的新的多项式，得到一个新的被除式。
- 重复上述步骤：重复步骤2到步骤4，直到新的被除式的次数小于除式的次数为止。
- 结束：当无法再继续进行下一步时，得到的商就是多项式除法的商，新的被除式就是多项式除法的余数。
多项式除法的结果可以表示为以下形式：
被除式 = 除式 × 商 + 余数
其中，商是整数多项式，余数是次数更低的多项式，且余数的次数小于除式的次数。
一个详细的多项式除法的例子：
\[\begin{aligned} &\frac{2x^3+3x^2-5x+1}{x^2+2x+1} \\ =&\frac{2x^3+4x^2+2x}{x^2+2x+1}+\frac{-x^2-7x+1}{x^2+2x+1} \\ =&2x+\frac{-x^2-7x+1}{x^2+2x+1} \\ =&2x+\frac{-x^2-2x-1}{x^2+2x+1}+\frac{-5x+2}{x^2+2x+1} \\ 标签：aligned,frac,一元函数,sqrt,int,dx,积分学,pi From： https://www.cnblogs.com/LiJunLin1231/p/17497260.html