一元函数积分学的概念与计算
目录概念
- 定积分：黎曼积分\(\int_a^bf(x)=\sum\)，曲边梯形面积和的极限
- 不定积分：\(F'(x)=f(x)\)
- 变限积分：\(F(x)=\int_a^xf(x)\)
- 反常积分
定积分
概念
- 设函数\(f(x)\) 在区间\([a,b]\)上有界
- 对于区间\([a,b]\)任意的一个分割，n个子区间\([x_0,x_1], (x_1,x_2], (x_2,x_3], …, (x_{n-1},x_n]\)，其中\(x_0=a, x_n=b\)
- 每个子区间内任取\(\xi_k \in [x_{k-1}, x_k]\)
记\(\lambda = \max{\Delta{x_k}}\)，若\(\mathop{\lim}\limits_{\lambda \rightarrow 0}\sum_{k=1}^n{f(\xi_k)\Delta{x_k}}\)存在，则称函数f(x)在区间[a,b]上可积。
记为
\[\int_a^b{f(x)\mathrm{d}x} = \mathop{\lim}\limits_{\lambda \rightarrow 0}\sum_{k=1}^n{f(\xi_k)\Delta{x_k}} \]之所以称其为定积分，是因为它积分后得出的值是确定的，是一个常数， 而不是一个函数。
定积分存在定理
定积分存在的一个必要条件是原函数有界，否则给定任意的正数M和区间的最大长度\(\lambda\)，因为\(\xi\)是任意取的，而每个\(\Delta{x}\)的长度已经确定了，所以总是能找到一小段区间，\(f(\xi)\Delta{x} > M\)。
在保证有界的前提下：
- 连续函数一定存在定积分
- 单调函数一定存在定积分
- 有限个间断点一定存在定积分
可以把这个定理理解为“面积”存在定理，也就是说：
- 连续函数一定有面积
- 单调函数一定有面积
- 有限个间断点的函数，一定也有面积
不定积分
原函数和不定积分
- \(f(x)\)定义在区间\(I\)上
- 存在可导函数\(F(x)\)，使得\(\forall x \in I, \ F'(x) = f(x)\)
记为\(\int{f(x)\mathrm{d}x}=F(x)+C\)
不定积分存在性
- \(f(x)\)连续，则一定存在不定积分
- 含有一类间断点或无穷间断点的函数\(f(x)\)在包含该间断点的区间内没有原函数
第一条的证明方法就是利用定积分，构造函数\(F(x)=\sum{sth}\)，第二条的证明方法是利用洛必达法则。
变限积分
概念
略
性质
- 原函数可积，变限积分连续
- 原函数连续，变限积分可导
反常积分
反常积分通过变限积分定义，而不是通过黎曼积分定义，所以不矛盾。
计算
基本积分公式
\[\int\frac{\mathrm{d}x}{1+x^2}=\arctan x+C \]\[\int \frac{1}{a^2+x^2}\,\mathrm{d}x=\frac{1}{a}\arctan\frac{x}{a}+C \]\[\int \frac{1}{a^2-x^2}\,\mathrm{d}x=\frac{1}{2a}\ln \left|\frac{a+x}{a-x}\right|+C \]\[\int\frac{\mathrm{d}x}{\sqrt{1-x^2}}=\arcsin x+C_1=-\arccos x+C_2 \]\[\int \frac{1}{\sqrt{a^2-x^2}}\,\mathrm{d}x=\arcsin\frac{x}{a}+C \]\[\int \frac{1}{\sqrt{x^2\pm a^2}}\,\mathrm{d}x=\ln \left|x+\sqrt{x^2\pm a^2}\right|+C \]\[\int{\tan{\mathrm{d}x}} = -\ln{|\cos{x}|} + C \]\[\int{\cot{x\mathrm{d}x}} = \ln{|\sin{x}|} + C \]\[\int\csc x\,\mathrm{d}x=\int\frac{1}{\sin{x}}\,\mathrm{d}x=\frac{1}{2}\ln{\left|\frac{1-\cos{x}}{1+\cos{x}}\right|}+C=\ln{\left|\tan{\frac{x}{2}}\right|}+C=\ln{\left|\csc{x}-\cot{x}\right|}+C \]\[\int\sec x\,\mathrm{d}x=\int\frac{1}{\cos{x}}\,\mathrm{d}x=\frac{1}{2}\ln{\left|\frac{1+\sin{x}}{1-\sin{x}}\right|}+C=\ln{\left|\sec{x}+\tan{x}\right|}+C \]\[\int\sec^2 x\,\mathrm{d}x=\tan x +C \]\[\int\csc^2 x\,\mathrm{d}x=-\cot x +C \]\[\int\sec x\cdot\tan x \,\mathrm{d}x=\sec x+C \]\[\int\csc x \cdot\cot x \,\mathrm{d}x=-\csc x+C \]\[\int \sinh x\,\mathrm{d}x=\cosh x+C \]\[\int \cosh x\,\mathrm{d}x=\sinh x+C \]凑微分
略
换元
- 三角函数代换
- 根代换：\(\sqrt{f(x)}=t\)
- 倒代换
分部积分
略
有理函数积分
单因式和二重因式
标签：积分学,ln,一元函数,积分,不定积分,概念,int,frac,mathrm From： https://www.cnblogs.com/ticlab/p/16644132.html