一元函数微分几何应用
对于一个一元函数，在微分学上的几何讨论分为以下几个方面：
- 极值与单调性
- 最值或取值范围
- 凹凸性与拐点
- 渐近线
极值与单调性
单调性的概念就不说了，这里说一下单调性的判别，包括了定义法，微分学方法
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定义法
- 单调增函数：\((x_1-x_2)[f(x_1)-f(x_2)]>0\)
- 单调减函数：\((x_1-x_2)[f(x_1)-f(x_2)]<0\)
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微分学方法
- 单调增函数：\(f'(x)>0\)
- 单调减函数：\(f'(x)<0\)
极值的概念
- 极大值：对于\(x_0\)的某个邻域，对于任意\(x\)，都有\(f(x)\leq f(x_0)\)
- 极小值：对于\(x_0\)的某个邻域，对于任意\(x\)，都有\(f(x)\geq f(x_0)\)
极值的判别
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极值可能在哪里取得？
一个点只有可导和不可导的情况，而费马定理告诉我们，当一个点可导且是极值点时，其导数一定为零，也就是驻点。由此知道，驻点可能是极值点；而对于不可导点，包括无定义点和四类间断点，无定义点一定不是极值点，而四类间断点都可能是极值点。最后对于端点，由于单侧无定义，因此端点也不可能是极值点。总结：极值点只可能在驻点和四类间断点取得。
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对于某个点\(x_0\)，如何判断其是不是极值点？
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如果\(x_0\)二阶可导（二阶可导说明一阶也可导），且\(f'(x_0)=0,f''(x_0)\neq 0\)
如果\(f''(x_0)<0\)，则是极大值；如果\(f''(x_0)>0\)，则是极小值；（结合后面凹凸性可以理解）
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如果很不幸，\(x_0\)一阶不可导，但是它连续，并且去心领域内可导，那就如下判断：
\(x\in(x_0-\delta,x_0),f'(x)<0;x\in(x_0,x_0+\delta),f'(x)>0;\)先减后增，是为极小值
极大值同理
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如果\(x_0\)很猛，n阶可导，可以类比第一条，有如下推论
若\(f'(x_0)=f''(x_0)=f'''(x_0)=...=f^{n-1}(x_0)=0\),且\(f^n(x_0)\neq0\)，则
当n为偶数且\(f^n(x_0)<0\)，取得极大值
当n为偶数且\(f^n(x_0)>0\)，取得极小值
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最值或取值范围
最值的概念
- 最大值：\(x_0\)为定义域内的一点，对于任意\(x\)，都有\(f(x)\leq f(x_0)\)
- 最小值：\(x_0\)为定义域内的一点，对于任意\(x\)，都有\(f(x)\geq f(x_0)\)
对比极值的定义，可以看到它们的差别在于一个针对领域范围，一个针对定义域范围
最值的判别：
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最值可能在哪里取得呢？
极值点和端点，而极值点可能在驻点和间断点处取，因此最值点可能在驻点、间断点、端点处取。
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怎么判别？
算出函数值，挑出最大/最小的。特别地，对于开区间端点可以采用极限趋近算出函数值，对于无穷区间也可以采用极限逼近的方式。
凹凸性和拐点
凹凸性判别：
- \(f''(x)>0,凹；f''(x)<0,凸\)
拐点的判别：
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拐点在哪里取得？
类比极值点，设\(f''(x)\)存在，则在\(f''(x)=0\)处取得。不讨论二阶导不存在的情况。
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如何判别？
- 如果\(x_0\)处三阶可导，且\(f''(x_0)=0,f'''(x_0)\neq0\)，则为拐点
- 如果很可惜，三阶不可导，但是\(f(x)\)在\(x_0\)处连续，且去心领域内二阶可导；则如果\(f''(x_0)\)左右变号，则是拐点。
渐近线
渐近线包括三类：铅垂渐近线、水平渐近线、斜渐近线
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铅垂渐近线
若\(lim_{x\rightarrow x_0^+}f(x)=\infty(或lim_{x\rightarrow x_0^-}f(x)=\infty)\)，则\(x=x_0\)是一条铅垂渐近线
\(x_0\)考虑无定义点、端点、分段点
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水平渐近线
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斜渐近线