堆堆（一般指二叉堆），实质就是一颗完全二叉树，用来维护单调性堆可以实现插入新值，得到最值（直接取堆顶值），删除最值。插入新值，从堆尾插入，不断比较上浮；删除最值，就是将堆顶替换掉，可以用堆尾替换，并不断比较下沉，用树的深度的时间花销维护堆的单调性感受一下维护堆的过程，可以用数组实现（一

【题目】已知x>0,y>0,且x+y=7,则(1+x)(2+y)的最大值为？（湖南雅礼中学高三阶段练习）【出处】《高考数学极致解题大招》P99典例1-2中原教研工作室编著【解答一：二次函数法】(1+x)(2+y)=9+x(1+y)=9+x(8-x)=-x^2+8x+9=-(x-4)^2+25故当x=4时，上式最大值取25，此时y=3【解答二：基本不等式法】由

原题链接：https://www.luogu.com.cn/problem/P2880题意解读：在若干个不定长区间里，求区间最大值与最小值之差解题思路：对于区间求最值，通常有几种方式：1、暴力法，通过枚举所有的区间来计算区间最值2、单调队列，针对区间长度固定的情况3、ST表，针对区间长度不固定且元素不会发生改变的

ST表可以在静态空间中\(O(log)\)查询最值，但需要\(O(nlogn)\)初始化。前缀和皆知尽人需要可逆性，\(+\)的逆运算为\(-\)，$\times$的逆运算为\({\div}\)（非0），^的逆运算为^本身，但\(max\)\(min\)，不具有逆运算。所以ST表粉墨登场（SL表利用的是倍增思想。任何一个数均可以写

运算论优先级考虑变换优先级：线性变换（加减乘除）>非线性可逆变换（次幂）>不可逆有结合律变换（最值：max、min、gcd、lcm）>无结合律变换（求众数、中位数）量规避去max、min、gcd、lcm等不可逆变换，而将其转换为加减乘除等变换范围关系将一大部分进行操作可以转换为全局操作加上对另一小部分

leetcode322.零钱兑换给你一个整数数组coins，表示不同面额的硬币；以及一个整数amount，表示总金额。计算并返回可以凑成总金额所需的最少的硬币个数。如果没有任何一种硬币组合能组成总金额，返回-1。你可以认为每种硬币的数量是无限的。示例1：输入：coins=[1,2,5

粒子群算法是一种优化算法，也是一种启发式算法。按照预定的策略实行搜索，在搜索过程中获取的中间信息不用来改进策略，称为盲目搜索；反之，如果利用了中间信息来改进搜索策略则称为启发式搜索。蒙特卡罗模拟用来求解优化问题就是盲目搜索，还有大家熟悉的枚举法也是盲目搜索。因为其并没有

1势能1.1有一类之前就见过的操作。区间取模区间开方。开方是说在\(\log\logB\)次过后就不变了，所以这之前暴力即可。取模则是说如果一个数能取模那么至少会减少一半，所以一个数最多暴力操作\(\logB\)次就没了。对于一个区间你维护最大值看是否需要递归进行操作即可。上

Description维护一个线段树，使得可以实现区间加、区间chkmin、求区间最值、区间历史最值、区间最大值。Solution先不考虑区间chkmin和历史最值，可以直接对于每个线段树节点维护一个tag，每次addtag更新。加上区间历史最值后，先考虑对于单个线段树节点怎么更新。容易发现对于

https://class.51nod.com/Html/Textbook/Problem.html#problemId=3978&textbookChapterId=724https://class.51nod.com/Html/Textbook/ChapterIndex.html#textbookId=126&chapterId=337这里一次发车的转移是\([j+1,i]\)，出发时间\(+s\)为\(j+1\)启程返回，偏移\(i-j-1\)就

笛卡尔树：笛卡尔树是关于多个二元组\((k_i,w_i)\)的一棵树，使其所有\(k\)值满足二叉搜索树的性质，且所有\(w\)值都满足小根堆的性质。笛卡尔树有一些关于区间最值的美好性质，常常用于处理关于区间最值的问题。构建方法：在构建时，对于右链上的元素，自底向上一定是\(w\)值由小

计算条件极值和最值类型1：等号限制条件总共分为4个步骤：1，令原函数与限制条件复合成F2，对F求偏导3，令偏导=0，求出各个可能值4，对可能值进行组合，求出可能点，代入可能点求出最大最小值例题1：类型2：≤号限制条件常规解法总共分为2个步骤：1，求范围内无条件极值2，求等号限制条件（类型1）3

   通过结合具体的数学问题，引导高中生深入分析问题，有效地构建求解问题的数学模型，可以使学生逐步掌握数学问题求解的基本思路以及模型建构的方法与注意事项。但是离开了反复训练，无法从根本上提升高中生的数学建模能力。因此，在平时的高中数学教学中，教师要注意结合数学教学的内

高效维护区间之和/区间最值的数据结构(一)——树状数组树状数组的核心思想：分治。将数组以二叉树的形式进行维护区间之和。设aaa为原数组，

前言：这又是一篇关于数据结构的文章。今天来讲一下线段树和线段树的基本应用。线段树(SegmentTree)，是一种非常高效且高级的数据结构，其主要用于区间查询和与区间更新相关的问题，例如进行多次查询区间最大值、最小值、更新区间等操作。区间最值问题引入常见的线段树题型就是区

   通过结合具体的数学问题，引导高中生深入分析问题，有效地构建求解问题的数学模型，可以使学生逐步掌握数学问题求解的基本思路以及模型建构的方法与注意事项。但是离开了反复训练，无法从根本上提升高中生的数学建模能力。因此，在平时的高中数学教学中，教师要注意结合数学教学的内

区间最值操作,历史最值问题来源吉老师2016集训队论文，oiwiki，网络上各种博客。概述区间最值操作指的是：将所有的$i\in$\((l,r)\)，\(a_i=min或max(a_i,k)\)。历史最值问题指的是:新定义一个数组\(b[]\)，\(b[i]=max或min(b[i],a[i])\)。还有一种是历史版本和，即\(

题传。先要将\(C\)分类。\(C>0\)，为了使答案更大，要乘上一个最大的区间和。\(C\le0\)，为了使答案更大，选择乘上一个最小的区间和，因为此时我们可以贪心地想，如果区间和越小，乘上一个负数或\(0\)后，答案减少得越小，甚至乘上负数，还会使答案增大，所以也可以用负负得正来解释。当

//E:给定n为A,B整型数组的长度，将a中所有元素与b中所有元素相乘进行累和（各数组//元素不可重复使用），求其最小值。//例：//输入：5//18-14-2//061-4-1//输出：-4上面为原始题目：思路为用A和B数组所有元素依次相乘后的所有结果做一个二维数组，然后通过实现二维

LuoguP1886滑动队列/单调队列有一个长为 n 的序列 a，以及一个大小为 k 的窗口。现在这个从左边开始向右滑动，每次滑动一个单位，求出每次滑动后窗口中的最大值和最小值。 以求最小值为例f[i]表示以i结尾的窗口中的最小值f[i]=min(a[j]),i-k+1<=j<=i暴力算法O(n^2)

1.P1886滑动窗口/【模板】单调队列https://www.luogu.com.cn/problem/P1886板子题，传送门在上方//Problem://P1886滑动窗口/【模板】单调队列////Contest:Luogu//URL:https://www.luogu.com.cn/problem/P1886//MemoryLimit:500MB//TimeLimit:1

记录9:212024-3-10ST算法其实就是利用倍增的思想去划分区间利用ST算法求RMQ问题(区间最值问题)\(F[i,j]表示数列A在子区间[i,i+2^j-1]里数的最大值F[i,0]=A[i]\)\(F[i,j]=max(F[i,j-1],F[i+2^{j-1},j-1])\)求[l,r]最值的时候求出满足\(2^k<r-l

隐零点的多次转化已知函数\(f(x)=e^x-a\ln(x+1)\)(1)若\(f(x)\)的最值为\(a\)，求\(a\)(2)当\(a=\dfrac{1}{e^n}(n\in\mathbb{N})\)时，证明：\(f(x)\geq(n+1)a\)解(1)由费马定理，连续函数在开区间内取最值，一定是导函数为\(0\)的点\(f^{\prime}(x)=e^x-\dfrac{a}{x+1}=0\)，设其零

 在高中数学教学期间，涉及到函数模型、几何模型、向量模型、方程模型、不等式模型、最值模型等等，这些都可以成为训练学生数学建模能力的重要题型，所以可以结合不同类型的数学模型构建思路，选择具体的实例，为学生科学地设计一些数学问题，使他们可以在构建函数模型和最值模型等基本数学

题目描述：给定一个数组 prices ，它的第 i 个元素 prices[i] 表示一支给定股票第 i 天的价格。（1）只能选择某一天买入这只股票，并选择在未来的某一个不同的日子卖出该股票。设计一个算法来计算所能获取的最大利润。返回可以从这笔交易中获取的最大利润。如果不能获取任何利润