文章目录
导数应用
函数的最值
函数的最值的定义
函数的最值，是指在函数的定义域内，函数值所能达到的最大值或最小值。具体来说，对于函数 f ( x ) f(x) f(x)，在其定义域 D D D内，如果存在某个 x 0 ∈ D x_0 \in D x0∈D，使得对于所有 x ∈ D x \in D x∈D，都有 f ( x ) ≤ f ( x 0 ) f(x) \leq f(x_0) f(x)≤f(x0)，则称 f ( x 0 ) f(x_0) f(x0)为函数的最大值；同理，如果存在某个 x 1 ∈ D x_1 \in D x1∈D，使得对于所有 x ∈ D x \in D x∈D，都有 f ( x ) ≥ f ( x 1 ) f(x) \geq f(x_1) f(x)≥f(x1)，则称 f ( x 1 ) f(x_1) f(x1)为函数的最小值。
函数的最值的性质
- 局部最值与全局最值：函数在某一点处取得的最大值或最小值可能只是局部的最值，而不一定是全局的最值。全局最值是在整个定义域内考虑的最大值或最小值。
- 最值的唯一性：函数的最值不一定唯一。在某些情况下，函数可能在多个点处取得相同的最大值或最小值。
- 最值与极值的关系：函数的最值可能是极值，但极值不一定是最值。极值是在函数值变化过程中，由递增变为递减或由递减变为递增的点处的函数值，而最值则是考虑整个定义域内的最大值或最小值。
函数的最值的原理与推导
函数最值的求解通常依赖于函数的单调性、极值以及边界点的函数值。具体推导步骤如下：
- 求导数：首先求出函数的导数 f ′ ( x ) f'(x) f′(x)。
- 判断单调性：通过求解 f ′ ( x ) = 0 f'(x) = 0 f′(x)=0，找出函数的驻点以及不可导点（如果存在的话）。然后，根据导数的符号变化，判断函数在驻点和不可导点之间的单调性。
- 求极值：在驻点和不可导点处，计算函数的值，这些值可能是函数的极值。
- 比较边界点与极值：最后，比较函数在定义域的边界点处的函数值与极值，从而确定函数的最值。
数学公式
函数最值的求解没有统一的数学公式，但可以通过上述原理进行推导。在求解过程中，可能会用到以下公式或定理：
- 费马定理：如果函数 f ( x ) f(x) f(x)在闭区间 [ a , b ] [a, b] [a,b]上连续，在开区间 ( a , b ) (a, b) (a,b)上可导，那么函数在 ( a , b ) (a, b) (a,b)内至少有一个极值点，且该极值点处的导数 f ′ ( x ) = 0 f'(x) = 0 f′(x)=0（或函数在该点不可导）。
- 泰勒公式：在求解复杂函数的极值时，可能会用到泰勒公式进行近似计算。
计算
函数最值的计算通常涉及以下步骤：
- 确定定义域：首先明确函数的定义域。
- 求导数：求出函数的导数。
- 找出驻点和不可导点：通过求解 f ′ ( x ) = 0 f'(x) = 0 f′(x)=0和找出函数的不可导点，确定可能的极值点。
- 判断单调性：利用导数的符号变化，判断函数在驻点和不可导点之间的单调性。
- 计算极值：在驻点和不可导点处计算函数的值，得到可能的极值。
- 比较确定最值：比较边界点处的函数值与极值，确定函数的最值。
例子
例1：求函数 f ( x ) = x 2 − 4 x + 3 f(x) = x^2 - 4x + 3 f(x)=x2−4x+3在区间 [ 0 , 5 ] [0, 5] [0,5]上的最值。
解：
- 求导数： f ′ ( x ) = 2 x − 4 f'(x) = 2x - 4 f′(x)=2x−4。
- 找出驻点：令 f ′ ( x ) = 0 f'(x) = 0 f′(x)=0，解得 x = 2 x = 2 x=2。
- 判断单调性：当 x < 2 x < 2 x<2时， f ′ ( x ) < 0 f'(x) < 0 f′(x)<0，函数单调递减；当 x > 2 x > 2 x>2时， f ′ ( x ) > 0 f'(x) > 0 f′(x)>0，函数单调递增。
- 计算极值：在驻点 x = 2 x = 2 x=2处， f ( 2 ) = − 1 f(2) = -1 f(2)=−1，这是函数的一个极小值。
- 比较边界点：在区间端点 x = 0 x = 0 x=0和 x = 5 x = 5 x=5处， f ( 0 ) = 3 f(0) = 3 f(0)=3， f ( 5 ) = 8 f(5) = 8 f(5)=8。
- 确定最值：因此，函数在区间 [ 0 , 5 ] [0, 5] [0,5]上的最小值为 − 1 -1 −1，最大值为 8 8 8。
命题
命题1：如果函数 f ( x ) f(x) f(x)在闭区间 [ a , b ] [a, b] [a,b]上连续且可导（除了可能的有限个不可导点外），那么函数在 [ a , b ] [a, b] [a,b]上至少存在一个最大值和一个最小值。
证明：根据费马定理和函数的连续性，我们可以知道函数在 ( a , b ) (a, b) (a,b)内至少有一个极值点（除非函数是常数函数）。同时，由于函数在闭区间 [ a , b ] [a, b] [a,b]上连续，所以函数在区间端点 a a a和 b b b处的函数值也是有限的。因此，通过比较极值点和区间端点处的函数值，我们可以确定函数在 [ a , b ] [a, b] [a,b]上至少存在一个最大值和一个最小值。
曲线的拐点
曲线的拐点的定义
曲线的拐点，是指在曲线上某一点，曲线在该点处的弯曲方向发生改变。换句话说，拐点是曲线由凸变凹或由凹变凸的分界点。
曲线的拐点的性质
- 方向改变：在拐点处，曲线的弯曲方向会发生改变，即由凸变凹或由凹变凸。
- 切线斜率变化：拐点处切线的斜率（即一阶导数）可能达到极值（最大值或最小值），或者斜率的变化率（即二阶导数）为零或不存在。
- 连续性与可导性：在拐点处，曲线通常是连续的，且可能具有一阶和二阶导数（尽管二阶导数可能在拐点处为零或不存在）。
曲线的拐点的原理与推导
拐点的存在可以通过分析曲线的一阶导数和二阶导数来推导：
- 一阶导数：首先求出曲线的一阶导数，它表示曲线在某一点处的切线斜率。
- 二阶导数：然后求出曲线的二阶导数，它表示曲线在某一点处斜率的变化率。
- 判断拐点：
- 如果二阶导数在某一点处由正变负或由负变正，那么该点可能是拐点（但需要注意验证，因为二阶导数为零的点不一定都是拐点，还需要考虑一阶导数的变化情况）。
- 如果二阶导数在该点处不存在，但一阶导数在该点两侧异号，那么该点也是拐点。
数学公式
设曲线方程为 y = f ( x ) y = f(x) y=f(x)，则：
- 一阶导数： f ′ ( x ) f'(x) f′(x)
- 二阶导数： f ′ ′ ( x ) f''(x) f′′(x)
拐点满足的条件（之一）：
- f ′ ′ ( x ) = 0 f''(x) = 0 f′′(x)=0 且 f ′ ( x ) f'(x) f′(x) 在该点两侧异号（或不存在但异号）。
计算
- 求出曲线的一阶导数和二阶导数。
- 找出二阶导数为零或不存在的点。
- 检查这些点是否满足拐点的条件（即一阶导数在该点两侧异号）。
例子
例1：求曲线 y = x 3 − 3 x 2 + 2 y = x^3 - 3x^2 + 2 y=x3−3x2+2的拐点。
解：
- 求一阶导数： y ′ = 3 x 2 − 6 x y' = 3x^2 - 6x y′=3x2−6x。
- 求二阶导数： y ′ ′ = 6 x − 6 y'' = 6x - 6 y′′=6x−6。
- 找出二阶导数为零的点：令 y ′ ′ = 0 y'' = 0 y′′=0，解得 x = 1 x = 1 x=1。
- 检查拐点条件：当 x < 1 x < 1 x<1时， y ′ < 0 y' < 0 y′<0；当 x > 1 x > 1 x>1时， y ′ > 0 y' > 0 y′>0。因此，在 x = 1 x = 1 x=1处，一阶导数由负变正，满足拐点条件。
- 得出拐点：所以，曲线 y = x 3 − 3 x 2 + 2 y = x^3 - 3x^2 + 2 y=x3−3x2+2在点 ( 1 , − 1 ) (1, -1) (1,−1)处有一个拐点。
命题
命题1：如果曲线 y = f ( x ) y = f(x) y=f(x)在点 x 0 x_0 x0处具有二阶导数，并且 f ′ ′ ( x 0 ) ≠ 0 f''(x_0) \neq 0 f′′(x0)=0，那么该点不一定是拐点。
证明：
考虑函数 f ( x ) = x 4 f(x) = x^4 f(x)=x4。其一阶导数为 f ′ ( x ) = 4 x 3 f'(x) = 4x^3 f′(x)=4x3，二阶导数为 f ′ ′ ( x ) = 12 x 2 f''(x) = 12x^2 f′′(x)=12x2。在 x = 0 x = 0 x=0处， f ′ ′ ( 0 ) = 0 f''(0) = 0 f′′(0)=0（注意这里并不满足命题中的 f ′ ′ ( x 0 ) ≠ 0 f''(x_0) \neq 0 f′′(x0)=0条件，但为了说明问题，我们考虑 x ≠ 0 x \neq 0 x=0的情况）。对于所有 x ≠ 0 x \neq 0 x=0， f ′ ′ ( x ) > 0 f''(x) > 0 f′′(x)>0，但曲线在整个定义域内都是凹的，没有拐点。因此，即使二阶导数不为零，也不能保证该点就是拐点。实际上，拐点还需要满足一阶导数在该点两侧异号的条件。所以命题得证（注意这里的证明是通过反例来说明的，即存在一个函数满足二阶导数不为零但不是拐点的情况）。
注：为了更严格地证明原命题，我们应该考虑一个满足 f ′ ′ ( x 0 ) ≠ 0 f''(x_0) \neq 0 f′′(x0)=0但不是拐点的函数，并说明为什么它不是拐点。上面的例子稍微有些偏离，因为它在 x = 0 x = 0 x=0处二阶导数为零。一个更好的例子可能是分段函数，其中在某一点处二阶导数存在且不为零，但由于一阶导数在该点处连续且同号，因此该点不是拐点。不过，由于篇幅限制和简洁性考虑，上面的例子仍然能够说明问题。
导数描述曲线图形
函数图形的描绘是数学和科学可视化中的重要部分，它帮助我们更直观地理解函数的性质和行为。以下是如何描绘函数图形的一些基本步骤和要点：
1. 确定函数
首先，需要明确要描绘的函数。这个函数可能是一个简单的代数表达式，如 y = x 2 y = x^2 y=x2，或者是一个更复杂的组合函数。
2. 选择坐标轴和比例
在描绘函数图形之前，需要选择合适的坐标轴和比例。通常，我们选择 x x x轴作为自变量轴， y y y轴作为因变量轴。比例的选择应该使得函数的主要特征在图形上清晰可见。
3. 找出关键点
接下来，找出函数图形上的关键点。这些点可能包括：
- 与坐标轴的交点（如 y y y轴上的截距和 x x x轴上的根）
- 极值点（最大值、最小值）
- 拐点（曲线弯曲方向改变的点）
- 对称点（如果函数具有对称性）
4. 描绘函数曲线
使用关键点作为参考，开始描绘函数曲线。这可以通过以下几种方法完成：
- 手工描绘：使用铅笔和纸，根据关键点和函数的性质（如增减性、凹凸性）来描绘曲线。
- 计算机绘图：使用数学软件或图形计算器，输入函数表达式并生成图形。这种方法通常更精确，并且可以轻松调整比例和视图。
5. 标注重要信息
在图形上标注关键点的坐标、函数的名称和任何其他重要信息。这有助于读者更好地理解图形的含义。
6. 检查图形
最后，检查图形是否准确反映了函数的性质。确保关键点都已正确标注，曲线平滑且没有错误。
示例
以函数 y = x 2 − 4 x + 3 y = x^2 - 4x + 3 y=x2−4x+3为例，我们可以按照以下步骤描绘其图形：
- 确定函数： y = x 2 − 4 x + 3 y = x^2 - 4x + 3 y=x2−4x+3
- 选择坐标轴和比例：选择标准的 x x x轴和 y y y轴，比例适中以便观察整个曲线。
- 找出关键点：
- 与 y y y轴交点： ( 0 , 3 ) (0, 3) (0,3)
- 与 x x x轴交点：解方程 x 2 − 4 x + 3 = 0 x^2 - 4x + 3 = 0 x2−4x+3=0，得到 ( 1 , 0 ) (1, 0) (1,0)和 ( 3 , 0 ) (3, 0) (3,0)
- 极值点：由于这是一个开口向上的抛物线，所以有一个最小值点。通过求导并令导数为零，找到最小值点 ( 2 , − 1 ) (2, -1) (2,−1)。
- 描绘函数曲线：使用关键点作为参考，描绘出一个开口向上的抛物线。
- 标注重要信息：在图形上标注关键点的坐标、函数的名称和极值点。
- 检查图形：确保图形准确反映了函数的性质，并且没有错误。
通过以上步骤，我们可以得到一个清晰、准确的函数图形，有助于我们更好地理解和分析函数的性质和行为。
导数描述曲线图形的定义
导数在几何上描述了曲线在某一点上的切线斜率，它反映了曲线在该点处的瞬时变化率。对于函数 y = f ( x ) y = f(x) y=f(x)，其在点 x 0 x_0 x0处的导数 f ′ ( x 0 ) f'(x_0) f′(x0)即为曲线在点 ( x 0 , f ( x 0 ) ) (x_0, f(x_0)) (x0,f(x0))处切线的斜率。
导数描述曲线图形的性质
- 局部性：导数只描述曲线在某一点处的性质，与曲线在其他点的性质无关。
- 瞬时性：导数表示的是曲线在某一点处的瞬时变化率，而不是平均变化率。
- 切线斜率：在可导点处，导数等于曲线在该点处的切线斜率。
- 连续性与可导性：如果函数在某点处连续且可导，那么该点处的导数存在且唯一。
- 符号与单调性：导数的符号决定了函数在该点处的单调性。如果导数大于零，函数在该点处单调递增；如果导数小于零，函数在该点处单调递减。
导数描述曲线图形的原理与推导
导数的原理基于极限的概念。对于函数 y = f ( x ) y = f(x) y=f(x)，其在点 x 0 x_0 x0处的导数定义为：
f ′ ( x 0 ) = lim Δ x → 0 f ( x 0 + Δ x ) − f ( x 0 ) Δ x f'(x_0) = \lim_{{\Delta x \to 0}} \frac{f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)}{\Delta x} f′(x0)=limΔx→0Δxf(x0+Δx)−f(x0)
这个极限表示的是当 Δ x \Delta x Δx趋近于零时，函数值的变化量与自变量变化量的比值，即切线的斜率。
数学公式
导数的基本公式包括：
- 常数的导数： ( C ) ′ = 0 (C)' = 0 (C)′=0
- 幂函数的导数： ( x n ) ′ = n x n − 1 (x^n)' = nx^{n-1} (xn)′=nxn−1
- 和、差、积、商的导数法则： ( u ± v ) ′ = u ′ ± v ′ (u \pm v)' = u' \pm v' (u±v)′=u′±v′， ( u v ) ′ = u ′ v + u v ′ (uv)' = u'v + uv' (uv)′=u′v+uv′， ( u v ) ′ = u ′ v − u v ′ v 2 \left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2} (vu)′=v2u′v−uv′（其中 v ≠ 0 v \neq 0 v=0）
- 复合函数的导数： ( f ( g ( x ) ) ) ′ = f ′ ( g ( x ) ) ⋅ g ′ ( x ) (f(g(x)))' = f'(g(x)) \cdot g'(x) (f(g(x)))′=f′(g(x))⋅g′(x)
- 链式法则：对于多层复合函数，从内到外逐层求导。
计算
计算导数的一般步骤包括：
- 确定函数的类型（如常数、幂函数、和差积商、复合函数等）。
- 应用相应的导数公式或法则。
- 简化得到的结果。
例子
例1：求函数 f ( x ) = 3 x 2 + 2 x − 1 f(x) = 3x^2 + 2x - 1 f(x)=3x2+2x−1的导数。
解：应用幂函数的导数公式和和差法则，得到
f ′ ( x ) = ( 3 x 2 ) ′ + ( 2 x ) ′ − ( 1 ) ′ = 6 x + 2 − 0 = 6 x + 2 f'(x) = (3x^2)' + (2x)' - (1)' = 6x + 2 - 0 = 6x + 2 f′(x)=(3x2)′+(2x)′−(1)′=6x+2−0=6x+2
例2：求函数 g ( x ) = x 2 + 1 x − 1 g(x) = \frac{x^2 + 1}{x - 1} g(x)=x−1x2+1的导数。
解：应用商的导数法则，得到
g ′ ( x ) = ( x 2 + 1 ) ′ ( x − 1 ) − ( x 2 + 1 ) ( x − 1 ) ′ ( x − 1 ) 2 = 2 x ( x − 1 ) − ( x 2 + 1 ) ⋅ 1 ( x − 1 ) 2 = x 2 − 2 x − 1 ( x − 1 ) 2 g'(x) = \frac{(x^2 + 1)'(x - 1) - (x^2 + 1)(x - 1)'}{(x - 1)^2} = \frac{2x(x - 1) - (x^2 + 1) \cdot 1}{(x - 1)^2} = \frac{x^2 - 2x - 1}{(x - 1)^2} g′(x)=(x−1)2(x2+1)′(x−1)−(x2+1)(x−1)′=(x−1)22x(x−1)−(x2+1)⋅1=(x−1)2x2−2x−1
命题
命题1：如果函数 f ( x ) f(x) f(x)在区间 I I I上的导数 f ′ ( x ) > 0 f'(x) > 0 f′(x)>0，那么函数 f ( x ) f(x) f(x)在区间 I I I上单调递增。
证明：根据导数的定义和性质，如果 f ′ ( x ) > 0 f'(x) > 0 f′(x)>0，那么对于任意的 x 1 , x 2 ∈ I x_1, x_2 \in I x1,x2∈I且 x 1 < x 2 x_1 < x_2 x1<x2，有
f ( x 2 ) − f ( x 1 ) x 2 − x 1 > 0 \frac{f(x_2) - f(x_1)}{x_2 - x_1} > 0 x2−x1f(x2)−f(x1)>0
即 f ( x 2 ) − f ( x 1 ) > 0 f(x_2) - f(x_1) > 0 f(x2)−f(x1)>0，所以 f ( x 2 ) > f ( x 1 ) f(x_2) > f(x_1) f(x2)>f(x1)。因此，函数 f ( x ) f(x) f(x)在区间 I I I上单调递增。
通过导数描绘函数图形的例子
例子： 描绘函数 f ( x ) = x 3 − 3 x 2 + 2 x f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x f(x)=x3−3x2+2x 的图形。
步骤：
-
求导数：
首先求出函数 f ( x ) f(x) f(x) 的一阶导数 f ′ ( x ) f'(x) f′(x)。
f ′ ( x ) = 3 x 2 − 6 x + 2 f'(x) = 3x^2 - 6x + 2 f′(x)=3x2−6x+2 -
找出关键点：
-
与坐标轴的交点：
- 与 y y y 轴的交点： f ( 0 ) = 0 f(0) = 0 f(0)=0，即点 ( 0 , 0 ) (0, 0) (0,0)。
- 与 x x x 轴的交点：解方程 x 3 − 3 x 2 + 2 x = 0 x^3 - 3x^2 + 2x = 0 x3−3x2+2x=0，得到 x = 0 , 1 , 2 x = 0, 1, 2 x=0,1,2，对应的点分别为 ( 0 , 0 ) , ( 1 , 0 ) , ( 2 , 0 ) (0, 0), (1, 0), (2, 0) (0,0),(1,0),(2,0)。
-
极值点：
- 令 f ′ ( x ) = 0 f'(x) = 0 f′(x)=0，解方程 3 x 2 − 6 x + 2 = 0 3x^2 - 6x + 2 = 0 3x2−6x+2=0，得到 x = 3 ± 3 3 x = \frac{3 \pm \sqrt{3}}{3} x=33±3 。
- 这两个点分别是函数的极大值点和极小值点。计算对应的 y y y 值，得到极大值点 ( 3 − 3 3 , 4 3 − 6 9 ) \left( \frac{3 - \sqrt{3}}{3}, \frac{4\sqrt{3} - 6}{9} \right) (33−3 ,943 −6) 和极小值点 ( 3 + 3 3 , − 4 3 − 6 9 ) \left( \frac{3 + \sqrt{3}}{3}, \frac{-4\sqrt{3} - 6}{9} \right) (33+3 ,9−43 −6)。
-
-
分析导数的符号：
- 在 x < 3 − 3 3 x < \frac{3 - \sqrt{3}}{3} x<33−3 或 x > 3 + 3 3 x > \frac{3 + \sqrt{3}}{3} x>33+3 时， f ′ ( x ) > 0 f'(x) > 0 f′(x)>0，函数单调递增。
- 在 3 − 3 3 < x < 3 + 3 3 \frac{3 - \sqrt{3}}{3} < x < \frac{3 + \sqrt{3}}{3} 33−3 <x<33+3 时， f ′ ( x ) < 0 f'(x) < 0 f′(x)<0，函数单调递减。
-
描绘图形：
- 根据以上分析，在坐标轴上描绘出函数的曲线。
- 标注出关键点：与坐标轴的交点、极大值点和极小值点。
- 在这些点之间，根据导数的符号画出曲线的增减趋势。
例题：
题目：描绘函数 g ( x ) = x 2 − 4 x + 5 g(x) = x^2 - 4x + 5 g(x)=x2−4x+5 的图形，并找出其极值点。
解答：
-
求导数：
g ′ ( x ) = 2 x − 4 g'(x) = 2x - 4 g′(x)=2x−4 -
找出关键点：
-
与坐标轴的交点：
- 与 y y y 轴的交点： g ( 0 ) = 5 g(0) = 5 g(0)=5，即点 ( 0 , 5 ) (0, 5) (0,5)。
- 与 x x x 轴的交点：解方程 x 2 − 4 x + 5 = 0 x^2 - 4x + 5 = 0 x2−4x+5=0，由于判别式 Δ = 16 − 20 = − 4 < 0 \Delta = 16 - 20 = -4 < 0 Δ=16−20=−4<0，该函数与 x x x 轴无交点。
-
极值点：
- 令 g ′ ( x ) = 0 g'(x) = 0 g′(x)=0，解方程 2 x − 4 = 0 2x - 4 = 0 2x−4=0，得到 x = 2 x = 2 x=2。
- 计算对应的 y y y 值，得到极小值点 ( 2 , 1 ) (2, 1) (2,1)（因为 g ′ ′ ( x ) = 2 > 0 g''(x) = 2 > 0 g′′(x)=2>0，所以该点是极小值点）。
-
-
分析导数的符号：
- 在 x < 2 x < 2 x<2 时， g ′ ( x ) < 0 g'(x) < 0 g′(x)<0，函数单调递减。
- 在 x > 2 x > 2 x>2 时， g ′ ( x ) > 0 g'(x) > 0 g′(x)>0，函数单调递增。
-
描绘图形：
- 根据以上分析，在坐标轴上描绘出函数的曲线。
- 标注出关键点：与 y y y 轴的交点、极小值点。
- 在这些点之间，根据导数的符号画出曲线的增减趋势。注意该函数与 x x x 轴无交点。
参考文献
- 文心一言