一元函数：一、极限存在的条件二、连续的条件三、可导的条件四、可微的条件五、原函数存在的条件目录一、极限存在的条件1.自变量趋于无穷大时函数的极限2.自变量趋于有限值时函数的极限二、连续的条件1.自变量改变量趋于0时，函数值改变量也趋于02.该点的极限等于该

另，在某点可导，则在某点必须有定义。在某点连续，在某点也必须有定义。有定义未必可导、未必连续，未必可微有极限未必有定义！有极限未必连续，有极限未必可导，有极限未必可微，有极限甚至未必有定义！即：在数学分析中，存在极限（ExistenceofaLimit）是指当自变量x无限接近某个特定值a时，函

最值不一定是极值  最值有可能在区间边界上取得，如 极值也不一定是最值 极值只是极值点附件的最大（小）值，但不一定是整个区间的最值，如, 是极大值但不是最大值.但是如果最值点在区间内部, 则一定是极值点.极值点不一定是稳定点 函数在极值点可能不可导, 如,  x=0是极小

以前都是通过：“积分函数一定可导→可导一定连续”来记忆的后来想，0→t积分和0→t+Δt积分，当Δt→0时，如果被积函数在这里出现间断点，为啥积分还能连续？通过数形结合可以看出，积分就是微分*Δt这个小矩形块的面积，尽管微分可能够大，但是由于Δt够小，所以相当于面积为0，即积分为0，故积分函数

微分中值定理罗尔定理费马引理\(f(x)\)在\(x_{0}\)\(U(x_{0})\)有定义，在\(x_{0}\)处可导，如\(f(x)\lef(x_{0})\)，所有的\(x\inU(x_{0})\)。则\(f'(x_{0})=0\)。导数等于零的点为函数的驻点（或稳定点，临界点）。罗尔定理如果\(f(x)\)满足：在\([a,b]\)连续。在

荒原之梦原创：函数本体偏离点必为尖点：https://zhaokaifeng.com/16812/补充说明：前面所说的内容总结起来就是：一个处处可导的本体函数只有一个可导趋势，凡是已经有无数个点满足这个可导趋势的趋势（与本体函数重合）就必须继续满足该可导趋势（继续重合），否则，开始偏离本体函数可导趋势的点一

函数连续与可导之间的关系：多元函数连续与可导之间互相无关。也就是说，函数连续不一定可导，函数可导不一定连续。这是由于多元函数趋近某个点的方向任意性，导致某个函数不连续但却在这一点可导，或者某个函数连续但在某个方向上没有导数。 函数连续与可微之间的关系：函数可微一定连

导数的几何含义可导的几何含义：图像光滑（图像切线不能垂直于\(x\)轴）。因为带尖的左右求导不相等。导数的几何含义：某一点的导数就是过这个点与函数图像相切的直线的斜率。\(f'(x_{0})=\tan\alpha\).设\(M(x_{0},y_{0})\)切线方程\(y-y_{0}=f'(x_{0})(x-x_{0})\)。法线：与

多元偏导数的几何意义如下图，当对x求偏导的时候，过y做\(y_0\)的平面，那么x的偏导就是上面的切线多元函数可导（偏导）推理为什么不能推连续为什么不能推可微

连续连续定义:\(\lim_{x->x_0^-}f(x)=f(x_0)\),为左连续\(\lim_{x->x_0^+}f(x)=f(x_0)\),为右连续以前认为，左右极限相等是错的，参考可去间断点，左右也相等，但是不连续这里纠正，函数极限存在相等不一定连续，应该是左连续等于右连续可导可导是左右导数存在且相等这里可导推

一元函数微分几何应用对于一个一元函数，在微分学上的几何讨论分为以下几个方面：极值与单调性最值或取值范围凹凸性与拐点渐近线极值与单调性单调性的概念就不说了，这里说一下单调性的判别，包括了定义法，微分学方法定义法单调增函数：\((x_1-x_2)[f(x_1)-f(x_2)]>0\)单调

定义\(\lim_{\Deltax->0}\frac{f(x+\Deltax)-f(x)}{\Deltax}=f'(x)\)充要条件（定理）左右导数存在且相等区间上可导及导函数如果f(x)在区间(a,b)上每一点可导，则称f(x)在区间（a,b）上可导,对于（a,b）上的每一个点x都对应导函数f'(x),常称\(f'(x)\)为f(x)在（a,b）内的导函数，如果

微分（一元）这里的微分，是在\(\Deltax->0\)的情况下y的变换，近似处理为\(\Deltay\approxdy\)这里要拓展一个知识点：极限以无穷下的概念\(\lim_{x->x_0}f(x)=A\)那么\(f(x_0)=A+o(x)\)为什么会有这样的公式，首先是极限是在一个去心领域（领域就是它附近，无限接近它，但是去心

函数连续，原函数连续且可导\(\phi(x+\bigtriangleupx)\)=\(\int_{a}^{x+\bigtriangleupx}\)dt$\bigtriangleup\phi=\phi(x+\bigtriangleupx)-\phi(x)$=$\int_{a}^{x+\bigtriangleupx}f(x)dt-\int_{a}^{x}f(x)dt$=$\int_{a}^{x+\bigt

驻点与极值点（一元）链接多元极值点f(\(x_0\),\(y_0\))>f(x,y)就为极大值，小于为极小值多元驻点也不一定是极值点xy极值点也不一定是驻点|x|+|y|在（0，0）点因为|x|+|y|

023导数之左导数、右导数；可导必然连续，连续不一定可导

其中微分中值定理参考半个冯博士

可导一定连续连续不一定可导可导可导是在\(x_0\)处左右皆可导且相等，那么函数连续也是左右连续且相等连续与可导关系推导可导一定连续连续不一定可导

零点（非点）使得函数值为零的x的值，如\((x-1)^2\)中零点为x=1驻点（不是点为x值）什么是驻点一阶导数为零的点，描述的是函数图像的平稳性\(f'(x)=0\);拐点（点）定义

如果一个函数在闭区间\([a,b]\)内可导，那么首先\(f^{'}\)在区间\((a,b)\)任意一点都存在，且如下两个极限存在\[\lim_{h\rightarrow0^+}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}\\\lim_{h

C-数学知识数学分析参考教材：数学分析教材，常庚哲/史济怀编著，中国科学技术大学出版社出版。3.1：导数的定义定义3.1.1：若函数\(f\)在点\(x_0\)的近旁有定义，且极