C - 数学知识 数学分析
参考教材：数学分析教材，常庚哲/史济怀 编著，中国科学技术大学出版社 出版。
3.1：导数的定义
定义 3.1.1：若函数 \(f\) 在点 \(x_0\) 的近旁有定义，且极限
\[\lim\limits_{h \to 0} \frac{f(x_0 + h) - f(x_0)}{h} \]存在且有限，则称该极限值为 \(f\) 在 \(x_0\) 的导数，记作 \(f'(x_0)\)。并称 \(f\) 在 \(x_0\) 处可导。
定义 3.1.2：左导数、右导数。
命题：函数 \(f\) 在 \(x_0\) 处可导 \(\iff\) \(f'(x_0) = f_{-}'(x_0) = f_{+}' (x_0) \in \R\)。
定理 3.1.1：可导 \(\Rightarrow\) 连续，连续 \(\nRightarrow\) 可导。
定义 3.1.3：
- 函数 \(f\) 在 \((a, b)\) 上可导 \(\iff\) 函数 \(f\) 在 \((a, b)\) 上处处可导。
- 函数 \(f\) 在 \([a, b]\) 上可导 \(\iff\) 函数 \(f\) 在 \((a, b)\) 上处处可导，在 \(a\) 处有右导数，在 \(b\) 处有左导数。
- 函数 \(f\) 在 \([a, b)\) 上可导，函数 \(f\) 在 \((a, b]\) 上可导。
3.2：导数的计算
定理 3.2.1（四则运算）：若函数 \(f, g\) 在 \(x\) 处可导，则
（1）加减法
\[(f \pm g)'(x) = f'(x) \pm g'(x) \]（2）乘法
\[(fg)'(x) = f'(x)g(x) + f(x)g'(x) \]（3）除法
\[\left(\frac{f}{g}\right)'(x) = \frac{f'(x)g(x) - f(x)g'(x)}{g^2(x)} (g(x) \neq 0) \]定理 3.2.2（复合函数，链式法则）：若函数 \(g\) 在 \(t\) 处可导，函数 \(f\) 在 \(x = g(t)\) 处可导，则
\[(f \circ g)'(t) = f'(x) \cdot g'(t) \]定理 3.2.3（反函数）：若函数 \(f\) 在 \(x_0\) 处可导，\(f’(x_0) \neq 0\)，在 \(x_0\) 的近旁内连续且严格单调，则
\[(f^{-1})'(f(x_0)) = \frac{1}{f'(x_0)} \] 标签：函数,OI,3.1,导数,笔记,可导,3.2,处可导,数学知识 From： https://www.cnblogs.com/cjtcalc/p/16948344.html