如果一个函数在闭区间\([a,b]\)内可导，那么首先\(f^{'}\)在区间\((a,b)\)任意一点都存在，且如下两个极限存在
\[\lim_{h \rightarrow 0^+}\frac{f(a+h)-f(a)}{h} \\ \lim_{h \rightarrow 0^-}\frac{f(b+h)-f(b)}{h} \]证明
因为是在两个端点处连续，其实只要证明左连续和右连续即可，以\(a\)点的右连续为例，只需要证明
\[\lim_{x \rightarrow a^+}f(x)=f(a) \]或者相同的
\[\lim_{h \rightarrow 0^+}f(a+h)=f(a) \]\(f(a+h) = f(a+h)-f(a)\),如果\(h \neq 0\),那么\(f(a+h) = h \cdot \frac{f(a+h)-f(a)}{h} + f(a)\)，当\(h \rightarrow 0^+\)时的函数极限为
\[\begin{aligned} \lim_{h \rightarrow 0^+}f(a+h) &= \lim_{h \rightarrow 0^+}h \cdot \frac{f(a+h)-f(a)}{h} + \lim_{h->0^+}f(a) \\ &= \lim_{h \rightarrow 0^+}h * \lim_{h \rightarrow 0^+} \frac{f(a+h)-f(a)}{h} + f(a) \\ &= 0 \cdot \lim_{h \rightarrow 0^+} \frac{f(a+h)-f(a)}{h} + f(a) \\ &= f(a) \end{aligned} \]由此可以证明在\(a\)处右连续，在\(b\)处的左连续的证明过程是一样的。
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