一、函数极限七种类型题：\[\frac{0}{0},\;\frac{\infty}{\infty},\;0\times\infty,\;\infty\infty,\;1^\infty,\;0^0,\;\infty^\infty\]1.常见的等价无穷小\[当x\to0，\left\{\begin{array}{ll}x\sim\sin(x)\sim\arcsin(x)\sim\tan(x)\sim\arctan(x)\sime^

常见\((x^n)'=nx^{n-1}\)\((sin(x))'=cos(x)\)\((cos(x))'=-sin(x)\)\((x^n)'=nx^{n-1}\)\(n\inZ^+\)\(\lim_{\Deltax\to0}\frac{(x+\Deltax)^n-x^n}{\Deltax}=\lim_{\Deltax\to0}\frac{nx^{n-1}\

公式\((u\pmv)'=u'\pmv'\)\((uv)'=u'v+uv'\)\((\frac{u}{v})'=\frac{u'v-v'u}{v^2}\)证明（导数的定义）\((u\pmv)'=\lim_{\Deltax\to0}\frac{(u(x+\Deltax)\pmv(x+\Deltax))-(u

洛必达法则（L'Hôpital'sRule）是一个用于处理极限中不定型的有效工具，尤其是在极限形式为$\frac{0}{0}$或$\frac{\infty}{\infty}$时，能有效地通过导数简化极限计算。它通常用于计算一些看似复杂的极限问题，尤其当函数的形式比较难直接求解时。洛必达法则定义洛必达法则的基

中值定理罗尔中值定理fff在[a,

函数是数学分析中的重要概念，而函数的连续性与间断性是研究函数行为的基础。今天，我们来聊一聊函数的间断点，介绍什么是函数的连续性、不同类型的间断点，以及一些特殊的讨论情况。函数的连续性和间断性我们首先来回顾一下函数在某一点连续的定义。设有函数\(f(x)\)，如果\(x=a\)

模拟赛题。考虑操作的构成，先忽略\(1\)操作，只考虑任意两个数的异或，不难发现所有能构成的数即为线性基。再考虑\(1\)操作，显然可以对开始的每个数率先进行\(1\)操作再构建线性基。记\(lim=\max(\log_2a,\log_2m)\)，发现所有可能有效的数都不超过\(2^{2lim}\)。再考

1.数列运算法则假设\(lim_{x\to\infty}x_n=a\),\(lim_{y\to\infty}y_n=b\)（1）\(lim_{n\to\infty}(x_n+y_n)=lim_{n\to\infty}x_n+lim_{n\to\inftyy_n}=a+b\)（减法，乘法同）（2）\(lim_{n\to\infty}\frac{x_n}{y_n}=\frac{lim_{n\to\infty}x_

发散的反常积分是指积分区间无界或者被积函数在积分区间内无界，且积分值不是一个有限实数的积分。它与收敛的反常积分相对，后者积分值是一个有限实数。发散反常积分的结果通常表示为∞,-∞或不存在。让我们分别讨论积分区间无界和被积函数无界的情况：一、积分区间无界

吉米多维奇杂题选解——数列极限一、用定义证明数列极限等式T1.求证：\(\lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{n^\alpha}{c^n}=0,(a>0,c>1)\)证明：令\(k=\left\lfloor\alpha\right\rfloor+1\)，则\(\dfrac{n^\alpha}{c^n}<\dfrac{n^k}{c^n}=\left(\dfrac{n}{(\sqrt[k]{c})^n}\

数位dp本质是记忆化搜索。\(lim\)为\(1\)，表示当前位之前都是最大的数，当前位的大小受限制，不是1~9，是1~up。\(zero\)为\(0\)，表示这一位之前为前导0。\(lim\)的转移：lim&&(i==up)。\(zero\)的转移：zero||i。例题1P2602[ZJOI2010]数字计数给定\(a\)和\(b\)，

sb大括号，卡我114514ms#include<bits/stdc++.h>usingnamespacestd;constintmaxn=100005,maxk=104,mod=1000000007;intf[maxn][maxk][2][2];intg[maxk][2][2];intlim[maxn];vector<int>G[maxn];inlinevoid__a(int&x){if(x>=mod)x-=mod

今天数学课上刚学幂函数，老师抛出了这样一个问题：对于xπx^\pixπ，是否必须有

zhr随机跳题跳到的，遂做之。注意到\(nk\le5\times10^5\)，考虑根号分治。当\(n\)很大时，\(k\)会很小，于是我们记录每一行的前缀和，每一次循环\(k\)个数组的前缀和取\(\max\)即可，时间复杂度\(O(qk)\)。当\(k\)很大时，\(n\)会很小，我们暴力预处理区间\([l,r]\)的最大值，

文章目录一、无穷限的反常积分二、无界函数的反常积分一、无穷限的反常积分设函数f(x)f(x)

文章目录无穷限反常积分的审敛法无界函数的反常积分审敛法三、Γ\GammaΓ函数无穷限反常积分的审敛法定理1设函数f(x)f(x)f(x)在区间[a,+∞)[a,+\infty)[a,+∞)上连续，且f(x)⩾0f(x)\geqslant0f(x)⩾0.若函数F(x)=∫axf(t)dtF(x)=\int_a^xf(t)\mathrm{d}t

前言T1挂了，后面几道赛时都不那么可做，T2读假题了浪费太多时间，T3没调出来。T4是原，但是整个机房只有一个人当时改了，所以还是没人写，因为T4是原，还加了个T5，也不太可做。T1玩水对于一个点\((i,j)\)，若\(s_{i+1,j}=s_{i,j+1}\)则称其为分点，若一个分店后面还有分点或两个分

传送门给出了三个数组\(\{a_i\},\{b_i\},\{c_i\}\)要求给出一个排列\(p\)最小化：任选一个位置\(m\)，最大化贡献\(S=(\sum_{i=1}^ma_{p_i}+\sum_{i=m}^nb_{p_i})c_{p_m}\)。标准的最小的最大提示我们考虑二分。这里直接二分答案\(Mid\)。那么就考虑是否存在一个排列使得对于任意\(

csp-s模拟11\(T1\)T2203.玩水(water)\(100pts\)定义一个点\((i,j)\)是分点当且仅当\(s_{i,j+1}=s_{i+1,j}\)，而一个点\((i,j)\)是合点当且仅当\((i-1,j-1)\)是分点。先考虑若只有两个人时，只要存在一个分点就一定有解。扩展到三个人时，若存在一个合点可以通过

Stolz定理是处理分式极限的强大工具，其形式类似未定式函数极限的洛必达法则.定理一：设数列\(\{b_n\}\)严格单调递增且趋于\(+\infty\).若\[\lim_{n\rightarrow\infty}\dfrac{a_n-a_{n-1}}{b_{n}-b_{n-1}}=A\]则\(\{a_n/b_n\}\)收敛，且\[\lim_{n\rightarrow\infty}\dfra

P9754[CSP-S2023]结构体一年的痛终于解决。一个结构体的对齐要求为其成员的对齐要求的\(\gcd\)，其大小为大于等于实际大小的最小整除对齐要求的数，基础类型的对齐要求为其大小。给你一个无限长的内存，头地址为\(0\)，支持以下操作：Xkt1n1...tknk声明一个结构体名字为\(X

【2024.09.27】NOIP2024赛前集训-刷题训练（3）「NOIP2018提高组」铺设道路算法一：模拟正常人铺路的过程，每次找区间的最小值，最小值就是本次填的高度，由于出现了若干个0位置，就分裂成若干个子区间去重复上述过程，直到全部变成0。时间复杂度\(O(nlogn)\)，瓶颈在预处理st表。算法二：若

牛顿迭代快速多项式计算加法\(H(x)=F(x)+G(x)\)，求\(H(x)\)解：都已经\(O(n)\)了，还怎么优化！！！乘法\(H(x)\equivF(x)G(x)(\text{mod}x^n)\)，求\(H(x)\)解：参考多项式学习笔记（一）（2024.7.6）完整代码：P3803【模板】多项式乘法（FFT）#include<bits/stdc++.h>usingnamespacestd

定理1设（1）当\(x\toa\)时，函数\(f(x)\)及\(F(x)\)都趋于零；（2）在点\(a\)的某去心邻域内，\(f^{'}(x)\)及\(F^{'}(x)\)都存在且\(F^{'}(x)\neq0\)；（3）\(\lim\limits_{x\toa}\cfrac{f^{'}(x)}{F^{'}(x)}\)存在（或为无穷大），则\[\lim_