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高等数学 5.5 反常积分的审敛法 Γ函数

时间:2024-10-16 18:48:53浏览次数:8  
标签:infty 5.5 int lim dx 审敛 高等数学 displaystyle mathrm

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无穷限反常积分的审敛法

定理1 设函数 f(x)f(x)f(x) 在区间 [a,+)[a, +\infty)[a,+∞) 上连续,且 f(x)0f(x) \geqslant 0f(x)⩾0.若函数
F(x)=axf(t)dt F(x) = \int_a^x f(t) \mathrm{d}t F(x)=∫ax​f(t)dt
[a,+)[a, +\infty)[a,+∞) 上有上界,则反常积分 a+f(x)dx\displaystyle \int_a^{+\infty} f(x) \mathrm{d}x∫a+∞​f(x)dx 收敛。

定理2(比较审敛原理) 设函数 f(x)f(x)f(x),g(x)\mathrm{g}(x)g(x) 在区间 [a,+)[a, +\infty)[a,+∞) 上连续。如果 0f(x)g(x)(ax<+)0 \leqslant f(x) \leqslant \mathrm{g}(x)(a \leqslant x < +\infty)0⩽f(x)⩽g(x)(a⩽x<+∞) 并且 a+g(x)dx\displaystyle \int_a^{+\infty} \mathrm{g}(x) \mathrm{d}x∫a+∞​g(x)dx 收敛,那么 a+f(x)dx\displaystyle \int_a^{+\infty} f(x) \mathrm{d}x∫a+∞​f(x)dx 也收敛;如果 0g(x)f(x)(ax<+)0 \leqslant \mathrm{g}(x) \leqslant f(x)(a \leqslant x < +\infty)0⩽g(x)⩽f(x)(a⩽x<+∞) ,并且 a+g(x)dx\displaystyle \int_a^{+\infty} \mathrm{g}(x) \mathrm{d}x∫a+∞​g(x)dx 发散,那么 a+f(x)dx\displaystyle \int_a^{+\infty} f(x) \mathrm{d}x∫a+∞​f(x)dx 也发散。

定理3(比较审敛法1) 设函数 f(x)f(x)f(x) 在区间 [a,+)(a>0)[a, +\infty) (a > 0)[a,+∞)(a>0) 上连续,且 f(x)0f(x) \geqslant 0f(x)⩾0 .如果存在常数 M>0M > 0M>0 及 p>1p > 1p>1 ,使得 f(x)Mxp(ax<+)f(x) \leqslant \cfrac{M}{x^p}(a \leqslant x < +\infty)f(x)⩽xpM​(a⩽x<+∞) ,那么反常积分 a+f(x)dx\displaystyle \int_a^{+\infty} f(x)\mathrm{d}x∫a+∞​f(x)dx 收敛;如果存在常数 N>0N > 0N>0 使得 f(x)Nx(ax<+)f(x) \geqslant \cfrac{N}{x}(a \leqslant x < +\infty)f(x)⩾xN​(a⩽x<+∞),那么反常积分 a+f(x)dx\displaystyle \int_a^{+\infty} f(x)\mathrm{d}x∫a+∞​f(x)dx 发散。

定理4(极限审敛法1) 设函数 f(x)f(x)f(x) 在区间 [a,+)[a, +\infty)[a,+∞) 上连续,且 f(x)0f(x) \geqslant 0f(x)⩾0 。如果存在常数 p>1p > 1p>1 ,使得 limx+xpf(x)=c<+\lim\limits_{x \to +\infty} x^p f(x) = c < +\inftyx→+∞lim​xpf(x)=c<+∞,那么反常积分 a+f(x)dx\displaystyle \int_a^{+\infty} f(x)\mathrm{d}x∫a+∞​f(x)dx 收敛;如果 limx+xf(x)=d>0\lim\limits_{x \to +\infty} x f(x) = d > 0x→+∞lim​xf(x)=d>0 (或 limx+xf(x)=+\lim\limits_{x \to +\infty} x f(x) = +\inftyx→+∞lim​xf(x)=+∞),那么反常积分 a+f(x)dx\displaystyle \int_a^{+\infty} f(x)\mathrm{d}x∫a+∞​f(x)dx 发散。

定理5 设函数 f(x)f(x)f(x) 在区间 [a,+)[a, +\infty)[a,+∞) 上连续。如果反常积分
a+f(x)dx \int_a^{+\infty} |f(x)| \mathrm{d}x ∫a+∞​∣f(x)∣dx
收敛,那么反常积分
a+f(x)dx \int_a^{+\infty} f(x) \mathrm{d}x ∫a+∞​f(x)dx
也收敛。

通常称满足定理5条件的反常积分 a+f(x)dx\displaystyle \int_a^{+\infty} f(x) \mathrm{d}x∫a+∞​f(x)dx 绝对收敛。定理5可简单的表述为:绝对收敛的反常积分 a+f(x)dx\displaystyle \int_a^{+\infty} f(x) \mathrm{d}x∫a+∞​f(x)dx 必定收敛。

无界函数的反常积分审敛法

定理6(比较审敛法2) 设函数 f(x)f(x)f(x) 在区间 (a,b](a, b](a,b] 上连续,且 f(x)0f(x) \geqslant 0f(x)⩾0 ,x=ax = ax=a 为 f(x)f(x)f(x) 的瑕点。如果存在常数 M>0M > 0M>0 及 q<1q < 1q<1,使得
f(x)M(xa)q(a<xb), f(x) \leqslant \cfrac{M}{(x - a)^q} \quad (a < x \leqslant b), f(x)⩽(x−a)qM​(a<x⩽b),
那么反常积分 abf(x)dx\displaystyle \int_a^b f(x) \mathrm{d}x∫ab​f(x)dx 收敛;如果存在常数 N>0N > 0N>0 ,使得
f(x)Nxa(a<xb), f(x) \geqslant \cfrac{N}{x - a} \quad (a < x \leqslant b), f(x)⩾x−aN​(a<x⩽b),
那么反常积分 abf(x)dx\displaystyle \int_a^b f(x) \mathrm{d}x∫ab​f(x)dx 发散。

定理7(极限审敛法2) 设函数 f(x)f(x)f(x) 在区间 (a,b](a, b](a,b] 上连续,且 f(x)0f(x) \geqslant 0f(x)⩾0 ,x=ax = ax=a 为 f(x)f(x)f(x) 的瑕点。如果存在常数 0<q<10 < q < 10<q<1,使得
limxa+(xa)qf(x) \lim_{x \to a^+} (x - a)^q f(x) x→a+lim​(x−a)qf(x)
存在,那么反常积分 abf(x)dx\displaystyle \int_a^b f(x) \mathrm{d}x∫ab​f(x)dx 收敛;如果
limxa+(xa)f(x)=d>0(limxa+(xa)f(x)=+), \lim_{x \to a^+} (x - a) f(x) = d > 0 \quad (或 \lim_{x \to a^+} (x - a) f(x) = +\infty), x→a+lim​(x−a)f(x)=d>0(或x→a+lim​(x−a)f(x)=+∞),
那么反常积分 abf(x)dx\displaystyle \int_a^b f(x) \mathrm{d}x∫ab​f(x)dx 发散。

三、Γ\GammaΓ 函数

Γ\GammaΓ 函数的定义如下:
Γ(s)=0+exxs1dx(s>0) \Gamma (s) = \int_0^{+\infty} \mathrm{e}^{-x} x^{s - 1} \mathrm{d}x \quad (s > 0) Γ(s)=∫0+∞​e−xxs−1dx(s>0)

Γ函数\Gamma 函数Γ函数 的几个重要性质:

  1. 递推公式 Γ(s+1)=sΓ(s)(s>0)\Gamma (s + 1) = s \Gamma(s) \quad (s > 0)Γ(s+1)=sΓ(s)(s>0) ;
    一般地,对任何正整数 nnn ,有
    Γ(n+1)=n! \Gamma(n + 1) = n! Γ(n+1)=n!
    所以我们可以把 Γ\GammaΓ 函数看成是阶乘的推广。

  2. s0+s \to 0^+s→0+ 时,Γ(s)+\Gamma(s) \to +\inftyΓ(s)→+∞

  3. Γ(s)Γ(1s)=πsinπs(0<s<1)\Gamma(s) \Gamma(1 - s) = \cfrac{\pi}{\sin{\pi s}} (0 < s < 1)Γ(s)Γ(1−s)=sinπsπ​(0<s<1) .
    这个公式称为余元公式

原文链接:高等数学 5.5 反常积分的审敛法 Γ\GammaΓ函数

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