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• 无穷限反常积分的审敛法
• 无界函数的反常积分审敛法
• 三、$\Gamma$Γ 函数

无穷限反常积分的审敛法

定理1 设函数 $f(x)$f(x) 在区间 $[a, +\infty)$[a,+∞) 上连续，且 $f(x) \geqslant 0$f(x)⩾0.若函数
$$F(x) = \int_a^x f(t) \mathrm{d}t$$F(x)=∫ax​f(t)dt
在 $[a, +\infty)$[a,+∞) 上有上界，则反常积分 $\displaystyle \int_a^{+\infty} f(x) \mathrm{d}x$∫a+∞​f(x)dx 收敛。

定理2（比较审敛原理） 设函数 $f(x)$f(x)，$\mathrm{g}(x)$g(x) 在区间 $[a, +\infty)$[a,+∞) 上连续。如果 $0 \leqslant f(x) \leqslant \mathrm{g}(x)(a \leqslant x < +\infty)$0⩽f(x)⩽g(x)(a⩽x<+∞) 并且 $\displaystyle \int_a^{+\infty} \mathrm{g}(x) \mathrm{d}x$∫a+∞​g(x)dx 收敛，那么 $\displaystyle \int_a^{+\infty} f(x) \mathrm{d}x$∫a+∞​f(x)dx 也收敛；如果 $0 \leqslant \mathrm{g}(x) \leqslant f(x)(a \leqslant x < +\infty)$0⩽g(x)⩽f(x)(a⩽x<+∞) ，并且 $\displaystyle \int_a^{+\infty} \mathrm{g}(x) \mathrm{d}x$∫a+∞​g(x)dx 发散，那么 $\displaystyle \int_a^{+\infty} f(x) \mathrm{d}x$∫a+∞​f(x)dx 也发散。

定理3（比较审敛法1） 设函数 $f(x)$f(x) 在区间 $[a, +\infty) (a > 0)$[a,+∞)(a>0) 上连续，且 $f(x) \geqslant 0$f(x)⩾0 .如果存在常数 $M > 0$M>0 及 $p > 1$p>1 ，使得 $f(x) \leqslant \cfrac{M}{x^p}(a \leqslant x < +\infty)$f(x)⩽xpM​(a⩽x<+∞) ，那么反常积分 $\displaystyle \int_a^{+\infty} f(x)\mathrm{d}x$∫a+∞​f(x)dx 收敛；如果存在常数 $N > 0$N>0 使得 $f(x) \geqslant \cfrac{N}{x}(a \leqslant x < +\infty)$f(x)⩾xN​(a⩽x<+∞)，那么反常积分 $\displaystyle \int_a^{+\infty} f(x)\mathrm{d}x$∫a+∞​f(x)dx 发散。

定理4（极限审敛法1） 设函数 $f(x)$f(x) 在区间 $[a, +\infty)$[a,+∞) 上连续，且 $f(x) \geqslant 0$f(x)⩾0 。如果存在常数 $p > 1$p>1 ，使得 $\lim\limits_{x \to +\infty} x^p f(x) = c < +\infty$x→+∞lim​xpf(x)=c<+∞，那么反常积分 $\displaystyle \int_a^{+\infty} f(x)\mathrm{d}x$∫a+∞​f(x)dx 收敛；如果 $\lim\limits_{x \to +\infty} x f(x) = d > 0$x→+∞lim​xf(x)=d>0 （或 $\lim\limits_{x \to +\infty} x f(x) = +\infty$x→+∞lim​xf(x)=+∞），那么反常积分 $\displaystyle \int_a^{+\infty} f(x)\mathrm{d}x$∫a+∞​f(x)dx 发散。

定理5 设函数 $f(x)$f(x) 在区间 $[a, +\infty)$[a,+∞) 上连续。如果反常积分
$$\int_a^{+\infty} |f(x)| \mathrm{d}x$$∫a+∞​∣f(x)∣dx
收敛，那么反常积分
$$\int_a^{+\infty} f(x) \mathrm{d}x$$∫a+∞​f(x)dx
也收敛。

通常称满足定理5条件的反常积分 $\displaystyle \int_a^{+\infty} f(x) \mathrm{d}x$∫a+∞​f(x)dx 绝对收敛。定理5可简单的表述为：绝对收敛的反常积分 $\displaystyle \int_a^{+\infty} f(x) \mathrm{d}x$∫a+∞​f(x)dx 必定收敛。

无界函数的反常积分审敛法

定理6（比较审敛法2） 设函数 $f(x)$f(x) 在区间 $(a, b]$(a,b] 上连续，且 $f(x) \geqslant 0$f(x)⩾0 ，$x = a$x=a 为 $f(x)$f(x) 的瑕点。如果存在常数 $M > 0$M>0 及 $q < 1$q<1，使得
$$f(x) \leqslant \cfrac{M}{(x - a)^q} \quad (a < x \leqslant b),$$f(x)⩽(x−a)qM​(a<x⩽b),
那么反常积分 $\displaystyle \int_a^b f(x) \mathrm{d}x$∫ab​f(x)dx 收敛；如果存在常数 $N > 0$N>0 ，使得
$$f(x) \geqslant \cfrac{N}{x - a} \quad (a < x \leqslant b),$$f(x)⩾x−aN​(a<x⩽b),
那么反常积分 $\displaystyle \int_a^b f(x) \mathrm{d}x$∫ab​f(x)dx 发散。

定理7（极限审敛法2） 设函数 $f(x)$f(x) 在区间 $(a, b]$(a,b] 上连续，且 $f(x) \geqslant 0$f(x)⩾0 ，$x = a$x=a 为 $f(x)$f(x) 的瑕点。如果存在常数 $0 < q < 1$0<q<1，使得
$$\lim_{x \to a^+} (x - a)^q f(x)$$x→a+lim​(x−a)qf(x)
存在，那么反常积分 $\displaystyle \int_a^b f(x) \mathrm{d}x$∫ab​f(x)dx 收敛；如果
$$\lim_{x \to a^+} (x - a) f(x) = d > 0 \quad (或 \lim_{x \to a^+} (x - a) f(x) = +\infty),$$x→a+lim​(x−a)f(x)=d>0(或x→a+lim​(x−a)f(x)=+∞),
那么反常积分 $\displaystyle \int_a^b f(x) \mathrm{d}x$∫ab​f(x)dx 发散。

三、$\Gamma$Γ 函数

$\Gamma$Γ 函数的定义如下：
$$\Gamma (s) = \int_0^{+\infty} \mathrm{e}^{-x} x^{s - 1} \mathrm{d}x \quad (s > 0)$$Γ(s)=∫0+∞​e−xxs−1dx(s>0)

$\Gamma 函数$Γ函数 的几个重要性质：

1. 递推公式 $\Gamma (s + 1) = s \Gamma(s) \quad (s > 0)$Γ(s+1)=sΓ(s)(s>0) ；
   一般地，对任何正整数 $n$n ，有
   $$\Gamma(n + 1) = n!$$Γ(n+1)=n!
   所以我们可以把 $\Gamma$Γ 函数看成是阶乘的推广。

2. 当 $s \to 0^+$s→0+ 时，$\Gamma(s) \to +\infty$Γ(s)→+∞

3. $\Gamma(s) \Gamma(1 - s) = \cfrac{\pi}{\sin{\pi s}} (0 < s < 1)$Γ(s)Γ(1−s)=sinπsπ​(0<s<1) .
   这个公式称为余元公式。

原文链接：高等数学 5.5 反常积分的审敛法 $\Gamma$Γ函数