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无穷限反常积分的审敛法
定理1 设函数 f(x) 在区间 [a,+∞) 上连续,且 f(x)⩾0.若函数
F(x)=∫axf(t)dt
在 [a,+∞) 上有上界,则反常积分 ∫a+∞f(x)dx 收敛。
定理2(比较审敛原理) 设函数 f(x),g(x) 在区间 [a,+∞) 上连续。如果 0⩽f(x)⩽g(x)(a⩽x<+∞) 并且 ∫a+∞g(x)dx 收敛,那么 ∫a+∞f(x)dx 也收敛;如果 0⩽g(x)⩽f(x)(a⩽x<+∞) ,并且 ∫a+∞g(x)dx 发散,那么 ∫a+∞f(x)dx 也发散。
定理3(比较审敛法1) 设函数 f(x) 在区间 [a,+∞)(a>0) 上连续,且 f(x)⩾0 .如果存在常数 M>0 及 p>1 ,使得 f(x)⩽xpM(a⩽x<+∞) ,那么反常积分 ∫a+∞f(x)dx 收敛;如果存在常数 N>0 使得 f(x)⩾xN(a⩽x<+∞),那么反常积分 ∫a+∞f(x)dx 发散。
定理4(极限审敛法1) 设函数 f(x) 在区间 [a,+∞) 上连续,且 f(x)⩾0 。如果存在常数 p>1 ,使得 x→+∞limxpf(x)=c<+∞,那么反常积分 ∫a+∞f(x)dx 收敛;如果 x→+∞limxf(x)=d>0 (或 x→+∞limxf(x)=+∞),那么反常积分 ∫a+∞f(x)dx 发散。
定理5 设函数 f(x) 在区间 [a,+∞) 上连续。如果反常积分
∫a+∞∣f(x)∣dx
收敛,那么反常积分
∫a+∞f(x)dx
也收敛。
通常称满足定理5条件的反常积分 ∫a+∞f(x)dx 绝对收敛。定理5可简单的表述为:绝对收敛的反常积分 ∫a+∞f(x)dx 必定收敛。
无界函数的反常积分审敛法
定理6(比较审敛法2) 设函数 f(x) 在区间 (a,b] 上连续,且 f(x)⩾0 ,x=a 为 f(x) 的瑕点。如果存在常数 M>0 及 q<1,使得
f(x)⩽(x−a)qM(a<x⩽b),
那么反常积分 ∫abf(x)dx 收敛;如果存在常数 N>0 ,使得
f(x)⩾x−aN(a<x⩽b),
那么反常积分 ∫abf(x)dx 发散。
定理7(极限审敛法2) 设函数 f(x) 在区间 (a,b] 上连续,且 f(x)⩾0 ,x=a 为 f(x) 的瑕点。如果存在常数 0<q<1,使得
x→a+lim(x−a)qf(x)
存在,那么反常积分 ∫abf(x)dx 收敛;如果
x→a+lim(x−a)f(x)=d>0(或x→a+lim(x−a)f(x)=+∞),
那么反常积分 ∫abf(x)dx 发散。
三、Γ 函数
Γ 函数的定义如下:
Γ(s)=∫0+∞e−xxs−1dx(s>0)
Γ函数 的几个重要性质:
-
递推公式 Γ(s+1)=sΓ(s)(s>0) ;
一般地,对任何正整数 n ,有
Γ(n+1)=n!
所以我们可以把 Γ 函数看成是阶乘的推广。
-
当 s→0+ 时,Γ(s)→+∞
-
Γ(s)Γ(1−s)=sinπsπ(0<s<1) .
这个公式称为余元公式。
原文链接:高等数学 5.5 反常积分的审敛法 Γ函数
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