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一、积分上限的函数及其导数
定理1 如果函数 \(f(x)\) 在区间 \([a, b]\) 上连续，那么积分上限的函数
\[\Phi (x) = \int_a^x f(t) \mathrm{d}t \]在 \([a, b]\) 上可导，并且它的导数
\[\Phi' (x) = \cfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \int_a^x f(t) \mathrm{d}t = f(x) \quad (a \leqslant x \leqslant b) \tag{1} \]这个定理指出了一个重要的结论：连续函数 \(f(x)\) 取变上限 \(x\) 的定积分然后求导，其结果还原为 \(f(x)\) 本身。
公式 \((1)\) 可扩展为下面的公式：
\[\cfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \int_{\psi (x)}^{\varphi (x)} f(t) \mathrm{d}t = f \left[ \varphi (x) \right] \varphi' (x) - f \left[ \psi (x) \right] \psi' (x) \]定理2 如果函数 \(f(x)\) 在区间 \([a, b]\) 上连续，那么函数
\[\Phi (x) = \int_a^x f(t) \mathrm{d}t \tag{2} \]就是 \(f(x)\) 在 \([a, b]\) 上的一个原函数。
这个定理的重要意义是：一方面肯定了连续函数的原函数是存在的，另一方面初步地揭示了积分学中的定积分与原函数之间的联系。
二、牛顿-莱布尼茨公式
定理3（微积分基本定理） 如果函数 \(F(x)\) 是连续函数 \(f(x)\) 在区间 \([a, b]\) 上的一个原函数，那么
\[\int_a^b f(x) \mathrm{d}x = F(b) - F(a) \tag{3} \]公式 \((3)\) 叫做牛顿（Newton）-莱布尼茨（Leibniz）公式，也叫做微积分基本公式。
它表明：一个连续函数在区间 \([a, b]\) 上的定积分等于它的任一个原函数在区间 \([a, b]\) 上的增量。
积分中值定理 若函数 \(f(x)\) 在闭区间 \([a, b]\) 上连续，则在开区间内至少存在一点 \(\xi\)，使
\[\int_a^b f(x) \mathrm{d}x = f(\xi) (b - a) \quad (a < \xi < b) . \]例题 设 \(f(x)\) 在 \([0, + \infty)\) 内连续且 \(f(x) > 0\) 。证明函数
\[F(x) = \cfrac{\displaystyle \int_0^x t f(t) \mathrm{d}t}{\displaystyle \int_0^x f(t) \mathrm{d}t} \]在 \((0, + \infty)\) 内为单调增加函数。
证明：由公式 \((1)\) 得，
\[\cfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \int_0^x t f(t) \mathrm{d}t = x f(x), \quad \cfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \int_0^x f(t) \mathrm{d}t = f(x) . \]故
\[F'(x) = \cfrac{\displaystyle x f(x) \int_0^x f(t) \mathrm{d}t - f(x) \int_0^x t f(t) \mathrm{d}t}{\displaystyle \left[ \int_0^x f(t) \mathrm{d}t \right]^2} = \cfrac{\displaystyle f(x) \int_0^x (x - t) f(t) \mathrm{d}t}{\displaystyle \left[ \int_0^x f(t) \mathrm{d}t \right]^2} \]按假设，当 \(0 < t < x\) 时 \(f(t) > 0, (x - t) f(t) > 0\)，由积分中值定理可知
\[\int_0^x f(t) \mathrm{d}t > 0, \quad \int_0^x (x - t) f(t) \mathrm{d}t > 0, \]所以 \(F'(x) > 0 (x > 0)\) ，从而 \(F(x)\) 在 \((0, + \infty)\) 内为单调增加函数。
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