线性近似公式\(x\tox_0\)，\(f(x)\approxf(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)\)【切线】推导：\(f'(x_0)=\lim_{x\tox_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}\)【导数的定义】推论前提：\(x\approx0\)，\[\sin(x)\approxx\]\[\cos(x)\approx1\]\[e^x\approx1+

        

常见奇函数：\[\frac{a^x\pm1}{a^x\mp1}\]\[log\frac{a\pmx}{a\mpx}\]\[log(\sqrt{x^2+1}\pmx)\]\[f(x)-f(-x)=奇\]\[\sum_{i=1}^{n}奇=奇\]\[\prod_{i=1}^{2k+1}奇=奇\]常见偶函数：\[f(x)+f(-x)=偶\]\[\sum_{i=1}^{n}偶=偶\]\[\prod_{i=1}^{n}偶=

常见\((x^n)'=nx^{n-1}\)\((sin(x))'=cos(x)\)\((cos(x))'=-sin(x)\)\((x^n)'=nx^{n-1}\)\(n\inZ^+\)\(\lim_{\Deltax\to0}\frac{(x+\Deltax)^n-x^n}{\Deltax}=\lim_{\Deltax\to0}\frac{nx^{n-1}\

公式\((u\pmv)'=u'\pmv'\)\((uv)'=u'v+uv'\)\((\frac{u}{v})'=\frac{u'v-v'u}{v^2}\)证明（导数的定义）\((u\pmv)'=\lim_{\Deltax\to0}\frac{(u(x+\Deltax)\pmv(x+\Deltax))-(u

一、基本导数公式 二、导数的四则运算法则 三、高阶导数的运算法则四、基本初等函数的n阶导数公式五、微分公式与微分运算法则六、微分运算法则七、基本积分公式八、补充积分公式九、下列常用凑微分公式十、分部积分法公式十一、第二换元积分法中的三角

1.函数---x对应唯一的y,类似y=x^2,x2+y2=1,属于方程但不属于函数2.周期函数-x缩扩几倍,周期扩缩相同倍数3.奇偶函数--定义域一定关于原点对称4.函数增减性5.函数有界/无界--无界,任给M,Ex0,|f(x0)|>M有界,对于所有x,|f(x)|<=M6.上界和下界,M1

一、基础知识1、极限的定义：包括数列极限和函数极限。直观地说，当自变量趋近于某一值时，函数值趋近于一个确定的值，这个确定的值就是极限。2、极限的性质：有唯一性、局部有界性和局部保号性等。唯一性是指如果函数极限存在，那么极限值是唯一的。3、无穷小与无穷大：无穷小是以0为极

3.微积分(Calculus)导数和梯度：用于优化算法（如梯度下降）中计算损失函数的最小值。偏导数：在多变量函数中优化目标函数。链式法则：在反向传播算法中用于计算神经网络的梯度。导数和梯度：用于优化算法（如梯度下降）中计算损失函数的最小值。导数和梯度是微积分中非常重要的概念，尤其

证明并解释微积分基本定理（第二部分）这个定理建立了不定积分（原函数）和定积分之间的联系。微积分基本定理（第二部分）定理陈述：如果(f(x))是在区间([a,b])上连续的函数，并且(F(x))是(f(x))的一个原函数（即(F'(x)=f(x))），那么：[\int_{a}^{b}f(x),dx=F(b)-F(a)

微积分（甲）II辅学：期末复习一、级数级数\(\suma_n\)收敛（发散）等价于数列\((\sum_{i=1}^na_i)\)收敛（发散）。1.1正项级数比较判别法：\(\suma_n\)收敛，\(b_n\leqa_n\)，\(\sumb_n\)收敛；\(\suma_n\)发散，\(b_n\geqa_n\)，\(\sumb_n\)发散。积分判别法：\(\int_1^{+\inft

目录一、积分上限的函数及其导数二、牛顿-莱布尼茨公式一、积分上限的函数及其导数定理1如果函数\(f(x)\)在区间\([a,b]\)上连续，那么积分上限的函数\[\Phi(x)=\int_a^xf(t)\mathrm{d}t\]在\([a,b]\)上可导，并且它的导数\[\Phi'(x)=\cfrac{\mathrm{d}}{\mathr

一、偏导数对于一元函数y=f(x)只存在y随x的变化，但是二元函数z=f(x,y)存在z随x变化的变化率，随y变化的变化率，随x﹑y同时变化的变化率。如下图所示1、偏导数定义设函数z=f(x,y)z=f(x,y)在点(x0,y0)的某个邻域内有定义，定y=y0，一元函数f(x0,y0)f(x0,y0)在点x=x0处可导，即极限limΔ

12微积分的基本算术12.1加法12.2乘法12.3简单除法（倒数）你们原来的份额是1/x(当x=2时，你有1/2）。有人进来你的新份额变成1/(x+1)你的蛋糕数量是如何变化的？在求出总变化（及其恼人的代数）后，我们除以dx，就得到了“每dx”的变化：现在，我们去掉剩余的dx，

1一分钟微积分：X射线和延时视觉我们通常只看到图形、公式和情况的表面价值。微积分为我们提供了两种深入挖掘的超能力：X射线能看到图案中隐藏的部分。你不仅能看到树，还能知道它是由年轮组成的，在我们说话的同时，另一个年轮也在生长。延时视觉你能看到物体未来的运行轨迹（很

目录一、介绍二、梯子问题三、结论四、一个额外的例子一、介绍        让我们想象一个半径为5的圆，以xy平面为中心。现在假设我们想在点（3,4）处找到一条切线到圆的斜率。        好吧，为了做到这一点，我们必须非常接近圆和

在数学中，我们可以使用微积分来计算由二次函数抛物线构成的图形根据这个原理，我们可以用程序模拟计算这些图形的面积longdoublex,y,a,b,c;首先，定义出函数的各个参数输入a,b,c的数值后，计算其数值并绘制其图像for(inti=1;i<=1000;i++){ x+=0.1; y=a*x*x; y=y+b*x;

积分上限的函数及其导数设\(f(x)\)在区间\([a,b]\)上连续，\(x\)为\([a,b]\)上任意一点，则\(f(x)\)在\([a,b]\)区间也是连续的因此定积分：\(\int_{a}^{x}f(t)dt\)存在故对任意\(x\in[a,b]\)，有唯一确定的数\(\int_{a}^{x}f(t)dt\)与之对应由此在\([a,b]\)上定义

 阅读影响我的生活，甚至可以说是影响我的人生小学的时候学校都有一个看似没有太大意义的「工作」-写阅读心得（也可能自己当时把它当作作业所以觉得烦）当时一直兴致缺缺所以读不进一点书。高中误打误撞进入了理工科，读了计算机，还记得当时的老师说：

三角函数sin(x)*csc(x)=1cos(x)*sec(x)=1tan(x)*cot(x)=1三角换元奇变偶不变，符号看象限$sin(x+2k\pi)=sin(x)~~~~~sin(-x)=-sin(x)\(\)cos(x+2k\pi)=cos(x)~~~~~cos(-x)=cos(x)\(\)tan(x+2k\pi)=tan(x)~~~~~tan(-x)=-tan(x)$$

1.定积分求解举例定积分是微积分中的一个重要概念，用于求解连续函数在某一区间上的面积或体积等问题。下面我将给出一个定积分求解的举例。假设我们要求解函数 f(x)=x2 在区间 [0,1] 上的定积分，即求解∫01​x2dx求解步骤1.找出被积函数 f(x) 的原函数 F(x)对于 f

默认\(n\)为常数，\(x\)为自变量。幂（前提条件为\(n\ne1\)，\(n=1\)时平凡）\[n^x=\Delta\left(\dfrac{n^x}{n-1}\right)\]\[\Delta\left(n^x\right)=(n-1)n^x\]下降幂（前提条件为\(n\ne-1\)，\(n=-1\)时见调和数部分）\[x^{\underlinen}=\Delta

4微积分在2500年前，古希腊人把一个多边形分成三角形，并把它们的面积相加，才找到计算多边形面积的方法。为了求出曲线形状（比如圆）的面积，古希腊人在这样的形状上刻内接多边形。如图所示，内接多边形的等长边越多，就越接近圆。这个过程也被称为逼近法（methodofexhaustion）事实上，逼近法就