积分上限的函数及其导数设\(f(x)\)在区间\([a,b]\)上连续，\(x\)为\([a,b]\)上任意一点，则\(f(x)\)在\([a,b]\)区间也是连续的因此定积分：\(\int_{a}^{x}f(t)dt\)存在故对任意\(x\in[a,b]\)，有唯一确定的数\(\int_{a}^{x}f(t)dt\)与之对应由此在\([a,b]\)上定义

 阅读影响我的生活，甚至可以说是影响我的人生小学的时候学校都有一个看似没有太大意义的「工作」-写阅读心得（也可能自己当时把它当作作业所以觉得烦）当时一直兴致缺缺所以读不进一点书。高中误打误撞进入了理工科，读了计算机，还记得当时的老师说：

三角函数sin(x)*csc(x)=1cos(x)*sec(x)=1tan(x)*cot(x)=1三角换元奇变偶不变，符号看象限$sin(x+2k\pi)=sin(x)~~~~~sin(-x)=-sin(x)\(\)cos(x+2k\pi)=cos(x)~~~~~cos(-x)=cos(x)\(\)tan(x+2k\pi)=tan(x)~~~~~tan(-x)=-tan(x)$$

1.定积分求解举例定积分是微积分中的一个重要概念，用于求解连续函数在某一区间上的面积或体积等问题。下面我将给出一个定积分求解的举例。假设我们要求解函数 f(x)=x2 在区间 [0,1] 上的定积分，即求解∫01​x2dx求解步骤1.找出被积函数 f(x) 的原函数 F(x)对于 f

默认\(n\)为常数，\(x\)为自变量。幂（前提条件为\(n\ne1\)，\(n=1\)时平凡）\[n^x=\Delta\left(\dfrac{n^x}{n-1}\right)\]\[\Delta\left(n^x\right)=(n-1)n^x\]下降幂（前提条件为\(n\ne-1\)，\(n=-1\)时见调和数部分）\[x^{\underlinen}=\Delta

4微积分在2500年前，古希腊人把一个多边形分成三角形，并把它们的面积相加，才找到计算多边形面积的方法。为了求出曲线形状（比如圆）的面积，古希腊人在这样的形状上刻内接多边形。如图所示，内接多边形的等长边越多，就越接近圆。这个过程也被称为逼近法（methodofexhaustion）事实上，逼近法就

Python统计和微积分研讨会（三）原文：zh.annas-archive.org/md5/6cbaed7d834977b8ea96cc7aa6d8a083译者：飞龙协议：CCBY-NC-SA4.0第五章：用Python进行更多数学概述在本章结束时，你将能够掌握序列和级数的基本概念，并编写实现这些概念的Python函数。你将了解基本三角函数及其应

       微积分在人工智能（AI）领域扮演着至关重要的角色，以下是其主要作用：优化算法：         •梯度下降法：微积分中的导数被用来计算损失函数相对于模型参数的梯度，这是许多机器学习和深度学习优化算法的核心。梯度指出了函数值增加最快的方向，通过沿着负梯度方

损失函数损失函数的意义机器学习-linearregression-两大经典场景线性回归-预测房价分类-classificationproblem使用到的数学知识导数-derivative函数在某一时刻的瞬时变化率instantaneousrateofchange函数在某点的切线斜率=导数最大值、最小值的

后向差分对于函数\(f(x)\)定义等距节点\(x_k=x_0+k\Deltax\)。有：\[\Deltaf(x_k)=f(x_{k})-f(x_{k-1})\]下文简称差分。高阶差分一般来说，\(k\)阶差分的定义如下：\[\Delta^ka_n=\Delta(\Delta^{k-1}a_n)\]易得\(k\)阶差分公式：\[\Delta^ka_n=\sum_

众所不周知，小美在小学的时候就已经学过圆锥的体积是它同高同底面积的圆柱的\(\frac{1}{3}\)。但是该怎么证明呢？这始终是小美心中的一个结（因为小美早就忘记了当初小学老师的是怎么教他证的了）。于是他想啊想啊，忽地，他决定从体积\(V\)的定义开始入手。那么什么是体积\(V\)呢？相信学

微分的思想：变化率的研究：微分学关注于函数在某一点处的变化率。通过计算导数，我们可以了解函数在该点的斜率，即函数图像在该点的切线的斜率。这使得我们能够揭示函数在该点附近的局部行为，包括凹凸性、最值、拐点等。极限的概念：微分的定义涉及到极限的概念。当我们讨论函数在无限

拉格朗日乘数法对于多元函数\(f(x_1,x_2,\dots,x_n)\)，有若\(m\)个约束条件形如：\(g_i(x_1,x_2,\dots,x_n)=0\)。我们要求\(f\)在约束条件下的极值。首先，对与一元情况，我们只要找到所有导数为\(0\)的点即可。对于多元和约束，我们构造函数\(L(x_1,x_2,\dots,x_n,\lamb

122常微分方程（1）内容：\(\newcommand{\eps}{\varepsilon}\)\(\newcommand{\bs}{\backslash}\)\(\newcommand{\e}{\mathrm{e}}\)\(\newcommand{\d}{\mathrm{d}}\)\(\newcommand{\D}{\Delta}\)\(\newcommand{\i}{\mathrm{i}}\)\(\newcommand{\ov

期中考试前太鸽了就不补了，这里主要是期中考试之后的部分。不定积分不定积分的本质：找原函数。称函数\(F\)为\(f\)的原函数，当且仅当对于\(f\)定义域中的所有\(x\)，都有\(F'(x)=f(x)\)。记\(\intf(x)\mathrmdx\)为\(f\)所有原函数的集合，称作\(f\)的不定积分。可

微积分一、函数与极限极限是啥？极限就是你可以无限逼近你的女神，但是你永远追不到；极限就是你可以无限逼近死亡，但是你妈妈打你绝对不会把你打死；极限就是你可以天天奖励直至巅峰，但是你一定到不了极乐世界。开个玩笑。那么极限到底是啥呢？请听我细细说来。1.1数列的极限数列，就是一

很久很久以前，有一位名叫牛顿的数学家和物理学家。牛顿非常好奇，他时常观察周围的世界，思考着自然界中隐藏的规律。有一天，牛顿看到一颗苹果从树上落下。这个平凡的瞬间引发了他的思考。他开始思考为什么苹果会落下，而不是飘浮在空中。这个问题激发了他对运动和变化的好奇心。于是，牛顿

\(\lim_{x\to0}\frac{\sqrt[n]{1+x}-1}{\frac{x}{n}}=1\)的证明\[\lim_{x\to0}\frac{\sqrt[n]{1+x}-1}{\frac{x}{n}}=\lim_{x\to0}\frac{\left(1+x\right)^{\frac{1}{n}}-1}{\frac{x}{n}}=\lim_{x\to0}\frac{e^{x\frac{1}

微积分的主要研究:事物运动中的数量的变化规律微积分分为两大类微分学(导数)积分学(积分)主要研究两种变化均匀变化(用初等数学可以解决)非均匀变化(用高等数学来解决)还有两个侧面宏观(局部，微分学，用来研究事物在某一时刻的变化率)微观(整体,积分学,用来研究

链式法则是微积分中的求导法则，用于求一个复合函数的导数，是在微积分的求导运算中一种常用的方法。复合函数的导数将是构成复合这有限个函数在相应点的导数的乘积，就像锁链一样一环套一环，故称链式法则。    REFhttps://baike.baidu.com/item/%E9%93%BE%E5%BC%8F%E6%B3%95%E5%88%9

“阿基里斯与乌龟”是公元前五世纪古希腊芝诺提出的悖论，想必大家都已耳熟能详了。乌龟只要还在阿基里斯前头，那么阿基里斯是一直处于追的状态，换句话说在这种状态下他一直没追上。哪怕乌龟的领先优势越来越小，直至很小，非常小，阿基里斯还是没追上。但是，这个小，不是无限的小的，它的物理尺度

1.函数，图形在高中，我们学过圆锥曲线，大学对它进行了拓展。要学习微积分，首先要先学习函数。在数学中，函数的定义是：给定两个集合\(S1,S2\)，一个规则\(f\)，对于每个\(S1\)中的元素\(x\)，\(f\)都把它变化成\(S2\)中的元素。\(S2\)的所有元素都对应至少一个\(S1\)的元素。\(S1\)被称为定

微分把物体分成非常多的n份，这样每一份都无穷小。记做：dx 积分把无穷小的n份累加起来。积分的符号为∫(sum的s拉长而来)。函数f(x)的积分用表示，意思就是函数f(x)的微分的累加。 微积分a)微积分=微分+积分。b)他有有什么意义？微分，积分的过程中，我们会运用各种公式，然后在

1.极限\(\lim\limits_{x\to0}\frac{\sinx}{x}\)\(\lim\limits_{x\to\infty}\left(1+\frac{1}{x}\right)^x\)\(\lim\limits_{x\to1}\frac{\ln(x)}{x-1}\)2.洛必达\(\lim\limits_{x\to\infty}\frac{x}{\ln(x)}\)\(\lim\limits_{x\to