【机器学习】机器学习中用到的高等数学知识-3.微积分 (Calculus)

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3. 微积分 (Calculus)

• 导数和梯度：用于优化算法（如梯度下降）中计算损失函数的最小值。
• 偏导数：在多变量函数中优化目标函数。
• 链式法则：在反向传播算法中用于计算神经网络的梯度。

导数和梯度：用于优化算法（如梯度下降）中计算损失函数的最小值。

导数和梯度是微积分中非常重要的概念，尤其在优化和机器学习中起着关键作用。以下是对这两个概念的详细解释：

1. 导数 (Derivative)

导数是函数在某一点的瞬时变化率或斜率，描述了函数值对自变量变化的敏感程度。对于单变量函数 f(x)，导数的定义如下：

• 定义：

• 几何意义：导数表示曲线在某一点的切线的斜率。

• 基本规则：

• 常用的导数公式:

        以下是一些常用的导数公式，涵盖了基本的函数和一些常见的导数法则。了解这些公式有助于快速计算各种函数的导数。

       1. 基本导数公式

                常数的导数：

                幂函数： 

                 指数函数： 

                 对数函数：

        2. 三角函数的导数

                正弦函数：

                余弦函数：

                正切函数：

                余切函数：

                正割函数：

                余割函数：

        3. 反三角函数的导数

                反正弦：

                反余弦：

                反正切：

                反余切：

                反正割：

                反余割：

        4. 导数法则

                和差法则：

                乘法法则：

                商法则：

                链式法则：

        5. 其他常用函数的导数

                复合函数的导数：

                隐函数的导数：

                        设 F(x,y)=0F(x, y) = 0F(x,y)=0，则：

      掌握这些常用的导数公式和法则，可以帮助在微积分和相关的数学分析中更高效地求解问题。  

2. 梯度 (Gradient)

应用

• 优化问题：在优化算法中，梯度被用来找到函数的最小值或最大值，特别是在机器学习中常用的梯度下降法中。梯度下降法通过沿着梯度的反方向更新参数，以减少损失函数。

• 函数的性质：导数和梯度可以用于分析函数的性质，如寻找极值点、判断凹凸性等。

例子

理解导数和梯度对于研究函数的行为、优化问题以及机器学习模型的训练过程至关重要。

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偏导数：在多变量函数中优化目标函数。

偏导数是微积分中用于描述多变量函数变化率的重要概念。它衡量的是在保持其他变量不变的情况下，某一自变量对函数值的影响。下面是偏导数的定义、计算方法和一些相关的概念。

1. 偏导数的定义

2. 计算偏导数

计算偏导数的过程与计算普通导数类似，但在求导时需要将其他变量视为常数。

3. 高阶偏导数

偏导数可以进行多次求导，得到高阶偏导数。高阶偏导数可以是对同一变量求多次偏导，也可以是对不同变量交替求偏导。

4. 偏导数的几何意义

偏导数在几何上表示在特定方向上的切线斜率：

5. 应用

偏导数在许多领域都有广泛应用：

• 优化：在多变量优化中，偏导数用于求解极值问题。
• 经济学：用来研究多因素对某一经济指标的影响。
• 物理学：在描述物理现象（如热传导、流体动力学）中常用。

6. 梯度与偏导数

在多变量分析中，偏导数的集合形成了梯度向量：

梯度向量指向函数值增加最快的方向，其长度表示在该方向上的变化率。

偏导数是微积分在多变量函数中的核心概念，理解偏导数有助于深入掌握多变量分析、优化以及机器学习中的模型训练。

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链式法则：在反向传播算法中用于计算神经网络的梯度。

链式法则是微积分中的一个重要法则，用于求复合函数的导数。它允许我们计算由多个函数组合而成的函数的导数。以下是链式法则的基本概念、公式及其应用。

1. 链式法则的基本概念

链式法则表明，如果一个函数 y 可以表示为另一个函数 u 的函数，即 y=f(u)，并且 u 又是 x 的函数，即 u=g(x)，那么 y 是 x 的复合函数，表示为 y=f(g(x))。

2. 链式法则的公式

链式法则的数学表达式为：

其中：

3. 例子

        例 1：

        例 2：

4. 高阶导数的链式法则

对于高阶导数，也可以使用链式法则。对于第二阶导数，假设 y=f(g(x))，则有：

可以通过链式法则和积的法则求解，但具体计算会相对复杂。

5. 应用

链式法则广泛应用于物理、工程、经济学等领域，用于解决涉及复合函数的导数问题。例如，在求解运动学中的速度和加速度，电路中的电流和电压关系，以及经济学中的成本与产量关系等问题时，链式法则都能发挥重要作用。

6. 结论

链式法则是微积分中一个非常重要的工具，能够帮助我们简化和计算复合函数的导数。掌握链式法则对于学习微积分及其应用至关重要。

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拓展：各类导数的推导过程

导数公式的推导通常依赖于极限的定义、基本的微分法则以及一些重要的数学性质。以下是一些常用导数公式的推导过程，包括幂函数、三角函数和其他常见函数的导数。

1. 常数的导数

常数的导数为零，这是因为常数函数在其定义域内不发生变化。

2. 幂函数的导数

3. 指数函数的导数

4. 对数函数的导数

5. 三角函数的导数

6. 链式法则

链式法则可以通过复合函数的极限定义推导：

推导出复合函数的导数。

7. 乘法法则和商法则

这两者可以通过导数的定义直接推导：

• 乘法法则：

• 商法则：

这些公式通过极限、基本的数学性质和三角函数的基本性质推导而来。掌握这些推导过程将有助于深入理解导数的概念及其应用。

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