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参考资料：《普林斯顿微积分读本（修订版）》，章节编排符合原著格式。
第3章 极限导论
3.1~4
极限定义： lim x → a f ( x ) = L \lim\limits_{x\to a} f(x)=L x→alimf(x)=L 表示， ∀ ω > 0 \forall \omega>0 ∀ω>0， ∃ δ > 0 \exist \delta>0 ∃δ>0 使得 ∀ x \forall x ∀x 满足 0 < ∣ x − a ∣ < δ 0<|x-a|<\delta 0<∣x−a∣<δ，有 ∣ f ( x ) − L ∣ < ω |f(x)-L|<\omega ∣f(x)−L∣<ω。
左极限右极限定义：参考极限的定义，右极限只考虑 x ∈ ( a , a + δ ) x\in(a,a+\delta) x∈(a,a+δ)；左极限只考虑 x ∈ ( a − δ , a ) x\in(a-\delta,a) x∈(a−δ,a)。
垂直渐近线：” f f f 在 x = a x=a x=a 处有一条垂直渐近线“ 说的是， lim x → a + f ( x ) \lim\limits_{x\to a^+} f(x) x→a+limf(x) 和 lim x → a − f ( x ) \lim\limits_{x\to a^-} f(x) x→a−limf(x) 中至少有一个极限是 ∞ \infty ∞ 或 − ∞ -\infty −∞。
水平渐近线：” f f f 在 y = L y=L y=L 处有一条右侧水平渐近线“ 意味着 lim x → ∞ f ( x ) = L \lim\limits_{x\to \infty} f(x)=L x→∞limf(x)=L。
” f f f 在 y = M y=M y=M 处有一条左侧水平渐近线“ 意味着 lim x → − ∞ f ( x ) = L \lim\limits_{x\to -\infty} f(x)=L x→−∞limf(x)=L。
3.5 关于渐近线的两个常见误解
纠正：
- 一个函数不一定要在左右两边具有相同的水平渐近线，水平渐近线数量**不超过 2 2 2 **，垂直渐近线数量不限。
- 一个函数可能和它的渐近线相交。如 f ( x ) = sin ( x ) x f(x)=\frac{\sin(x)}x f(x)=xsin(x)。
3.6 三明治定理
三明治定理（又称作夹逼定理）：如果对于所有 a a a 附近的 x x x 都有 g ( x ) ≤ f ( x ) ≤ h ( x ) g(x)\le f(x)\le h(x) g(x)≤f(x)≤h(x)，且 lim x → a g ( x ) = lim x → a h ( x ) = L \lim\limits_{x\to a}g(x)=\lim\limits_{x\to a}h(x)=L x→alimg(x)=x→alimh(x)=L，则 lim x → a f ( x ) = L \lim\limits_{x\to a}f(x)=L x→alimf(x)=L。
例1：求 lim x → 0 + x sin ( 1 x ) \lim\limits_{x\to 0^+}x\sin(\frac{1}{x}) x→0+limxsin(x1)
∵ − 1 ≤ sin ( 1 x ) ≤ 1 \because -1\le \sin(\frac1x)\le1 ∵−1≤sin(x1)≤1
∴ x > 0 \therefore x>0 ∴x>0 时 − x ≤ x sin ( 1 x ) ≤ x -x\le x\sin(\frac1x)\le x −x≤xsin(x1)≤x
设 f ( x ) = x f(x)=x f(x)=x， g ( x ) = − x g(x)=-x g(x)=−x， h ( x ) = x sin ( 1 x ) h(x)=x\sin(\frac1x) h(x)=xsin(x1)
∵ lim x → 0 + f ( x ) = lim x → 0 + g ( x ) = 0 \because \lim\limits_{x\to 0^+}f(x)=\lim\limits_{x\to 0^+}g(x)=0 ∵x→0+limf(x)=x→0+limg(x)=0 且 f ( x ) ≤ h ( x ) ≤ g ( x ) f(x)\le h(x)\le g(x) f(x)≤h(x)≤g(x)
∴ lim x → 0 + h ( x ) = 0 \therefore \lim\limits_{x\to 0^+}h(x)=0 ∴x→0+limh(x)=0 即 lim x → 0 + x sin ( 1 x ) = 0 \lim\limits_{x\to 0^+}x\sin(\frac{1}{x})=0 x→0+limxsin(x1)=0
例2：求 lim x → + ∞ sin ( x ) x \lim\limits_{x\to +\infty}\frac{\sin(x)}{x} x→+∞limxsin(x)
∵ − 1 ≤ sin ( x ) ≤ 1 \because -1\le\sin(x)\le 1 ∵−1≤sin(x)≤1 且 x > 0 x>0 x>0
∴ − 1 x ≤ sin ( x ) x ≤ 1 x \therefore -\frac{1}{x}\le\frac{\sin(x)}{x}\le \frac1x ∴−x1≤xsin(x)≤x1
又 ∵ lim x → + ∞ − 1 x = lim x → + ∞ 1 x = 0 \because \lim\limits_{x\to +\infty}-\frac1x=\lim\limits_{x\to +\infty}\frac1x=0 ∵x→+∞lim−x1=x→+∞limx1=0
∴ lim x → + ∞ sin ( x ) x = 0 \therefore \lim\limits_{x\to +\infty}\frac{\sin(x)}{x}=0 ∴x→+∞limxsin(x)=0
第4章 求解多项式的极限问题
4.1 x → a x\to a x→a 时的有理函数的极限
求 lim x → a p ( x ) q ( x ) \lim\limits_{x\to a}\frac{p(x)}{q(x)} x→alimq(x)p(x)，其中 p ( x ) p(x) p(x) 和 q ( x ) q(x) q(x) 都是多项式（有理），并且 a a a 是一个有限的数。
尝试用 a a a 的值替换 x x x 的值
- 如果分母不为 0 0 0 ，极限值就是替换后所得的值。
- 如果分母分子都为 0 0 0（分子分母都含 ( x − a ) (x-a) (x−a) 项），借助因式分解取出公因子再带入 a a a 的值。
例：求 lim x → 3 x 3 − 27 x 4 − 5 x 3 + 6 x 2 \lim\limits_{x\to3}\frac{x^3-27}{x^4-5x^3+6x^2} x→3limx4−5x3+6x2x3−27
lim x → 3 x 3 − 27 x 4 − 5 x 3 + 6 x 2 = lim x → 3 ( x − 3 ) ( x 2 + 3 x + 9 ) x 2 ( x − 3 ) ( x − 2 ) = lim x → 3 x 2 + 3 x + 9 x 2 ( x − 2 ) \lim\limits_{x\to3}\frac{x^3-27}{x^4-5x^3+6x^2}=\lim\limits_{x\to3}\frac{(x-3)(x^2+3x+9)}{x^2(x-3)(x-2)}=\lim\limits_{x\to3}\frac{x^2+3x+9}{x^2(x-2)} x→3limx4−5x3+6x2x3−27=x→3limx2(x−3)(x−2)(x−3)(x2+3x+9)=x→3limx2(x−2)x2+3x+9
将 3 3 3 带入 x 2 + 3 x + 9 x 2 ( x − 2 ) \frac{x^2+3x+9}{x^2(x-2)} x2(x−2)x2+3x+9 得 3 3 3，故 lim x → 3 x 3 − 27 x 4 − 5 x 3 + 6 x 2 = 3 \lim\limits_{x\to3}\frac{x^3-27}{x^4-5x^3+6x^2}=3 x→3limx4−5x3+6x2x3−27=3
- 如果分母为 0 0 0 且分子不为 0 0 0（分母含 ( x − a ) (x-a) (x−a) 项而分子不含），在 a a a 左右两侧稍微移动 x x x，保持分子符号不变，分母仅影响 ( x − a ) (x-a) (x−a) 项，看分母符号，分别求得左右极限。
例1：求 lim x → 1 2 x 2 − x − 6 x ( x − 1 ) 3 \lim\limits_{x\to 1}\frac{2x^2-x-6}{x(x-1)^3} x→1limx(x−1)32x2−x−6
将 x = 1 x=1 x=1 带入发现原式 = − 5 0 =-\frac{5}{0} =−05
x > 1 x>1 x>1 时 ( − ) ( + ) ⋅ ( + ) = ( − ) \frac{(-)}{(+)\cdot (+)}=(-) (+)⋅(+)(−)=(−) 得 lim x → 1 + 2 x 2 − x − 6 x ( x − 1 ) 3 = − ∞ \lim\limits_{x\to 1^+}\frac{2x^2-x-6}{x(x-1)^3}=-\infty x→1+limx(x−1)32x2−x−6=−∞
x < 1 x<1 x<1 时 ( − ) ( + ) ⋅ ( − ) = ( + ) \frac{(-)}{(+)\cdot (-)}=(+) (+)⋅(−)(−)=(+) 得 lim x → 1 − 2 x 2 − x − 6 x ( x − 1 ) 3 = + ∞ \lim\limits_{x\to 1^-}\frac{2x^2-x-6}{x(x-1)^3}=+\infty x→1−limx(x−1)32x2−x−6=+∞
故双侧极限 lim x → 1 2 x 2 − x − 6 x ( x − 1 ) 3 \lim\limits_{x\to 1}\frac{2x^2-x-6}{x(x-1)^3} x→1limx(x−1)32x2−x−6 不存在
例2：求 lim x → 1 2 x 2 − x − 6 x ( x − 1 ) 2 \lim\limits_{x\to 1}\frac{2x^2-x-6}{x(x-1)^2} x→1limx(x−1)22x2−x−6
将 x = 1 x=1 x=1 带入发现原式 = − 5 0 =-\frac{5}{0} =−05
x > 1 x>1 x>1 时 ( − ) ( + ) ⋅ ( + ) = ( − ) \frac{(-)}{(+)\cdot (+)}=(-) (+)⋅(+)(−)=(−) 得 lim x → 1 + 2 x 2 − x − 6 x ( x − 1 ) 3 = − ∞ \lim\limits_{x\to 1^+}\frac{2x^2-x-6}{x(x-1)^3}=-\infty x→1+limx(x−1)32x2−x−6=−∞
x < 1 x<1 x<1 时 ( − ) ( + ) ⋅ ( + ) = ( − ) \frac{(-)}{(+)\cdot (+)}=(-) (+)⋅(+)(−)=(−) 得 lim x → 1 − 2 x 2 − x − 6 x ( x − 1 ) 3 = − ∞ \lim\limits_{x\to 1^-}\frac{2x^2-x-6}{x(x-1)^3}=-\infty x→1−limx(x−1)32x2−x−6=−∞
故 lim x → 1 2 x 2 − x − 6 x ( x − 1 ) 3 = − ∞ \lim\limits_{x\to 1}\frac{2x^2-x-6}{x(x-1)^3}=-\infty x→1limx(x−1)32x2−x−6=−∞
4.2 x → a x\to a x→a 时的平方根的极限
尝试用 a a a 的值代替 x x x，如果分子分母不都为 0 0 0，仿照上面的求法；否则使用分母或分子有理化。
例：求 lim x → 5 x 2 − 9 − 4 x − 5 \lim\limits_{x\to 5}\frac{\sqrt{x^2-9}-4}{x-5} x→5limx−5x2−9 −4
lim x → 5 x 2 − 9 − 4 x − 5 = lim x → 5 x 2 − 9 − 4 x − 5 × x 2 − 9 + 4 x 2 − 9 + 4 = lim x → 5 x 2 − 25 ( x − 5 ) ( x 2 − 9 + 4 ) = lim x → 5 x + 5 x 2 − 9 + 4 = 5 4 \lim\limits_{x\to 5}\frac{\sqrt{x^2-9}-4}{x-5}=\lim\limits_{x\to 5}\frac{\sqrt{x^2-9}-4}{x-5}\times \frac{\sqrt{x^2-9}+4}{\sqrt{x^2-9}+4}=\lim\limits_{x\to 5}\frac{x^2-25}{(x-5)(\sqrt{x^2-9}+4)}=\lim\limits_{x\to 5}\frac{x+5}{\sqrt{x^2-9}+4}=\frac54 x→5limx−5x2−9 −4=x→5limx−5x2−9 −4×x2−9 +4x2−9 +4=x→5lim(x−5)(x2−9 +4)x2−25=x→5limx2−9 +4x+5=45
4.3 x → + ∞ x\to +\infty x→+∞ 时的有理函数的极限
用符号表示，即求 lim x → + ∞ p ( x ) q ( x ) \lim\limits_{x\to +\infty}\frac{p(x)}{q(x)} x→+∞limq(x)p(x)，其中 p ( x ) p(x) p(x) 和 q ( x ) q(x) q(x) 都是多项式（有理）。
多项式有一个性质：当 x x x 很大时，首项决定一切。例如 p ( x ) = x 3 − 1000 x 2 + 5 x + 7 p(x)=x^3-1000x^2+5x+7 p(x)=x3−1000x2+5x+7 的首项是 p L ( x ) = x 3 p_L(x)=x^3 pL(x)=x3，则有 lim x → + ∞ p ( x ) p L ( x ) = 1 \lim\limits_{x\to +\infty}\frac{p(x)}{p_L(x)}=1 x→+∞limpL(x)p(x)=1
这里有一条定理： ∀ n ∈ ( 0 , + ∞ ) \forall n\in(0,+\infty) ∀n∈(0,+∞)，且 C C C 是常数，就有 lim x → + ∞ C x n = 0 \lim\limits_{x\to+\infty}\frac{C}{x^n}=0 x→+∞limxnC=0
求有理函数的极限，就是上下每个多项式的首项的商的极限。
例1：求 lim x → + ∞ x − 8 x 4 7 x 4 + 5 x 3 + 200 x 2 − 6 \lim\limits_{x\to +\infty}\frac{x-8x^4}{7x^4+5x^3+200x^2-6} x→+∞lim7x4+5x3+200x2−6x−8x4
lim x → + ∞ x − 8 x 4 7 x 4 + 5 x 3 + 200 x 2 − 6 = lim x → + ∞ − 8 x 4 7 x 4 = − 8 7 \lim\limits_{x\to +\infty}\frac{x-8x^4}{7x^4+5x^3+200x^2-6}=\lim\limits_{x\to +\infty}\frac{-8x^4}{7x^4}=-\frac{8}{7} x→+∞lim7x4+5x3+200x2−6x−8x4=x→+∞lim7x4−8x4=−78
例2：求 lim x → + ∞ ( x 4 + 3 x − 99 ) ( 2 − x 5 ) ( 18 x 7 + 9 x 6 − 3 x 2 − 1 ) ( x + 1 ) \lim\limits_{x\to+\infty}\frac{(x^4+3x-99)(2-x^5)}{(18x^7+9x^6-3x^2-1)(x+1)} x→+∞lim(18x7+9x6−3x2−1)(x+1)(x4+3x−99)(2−x5)
lim x → + ∞ ( x 4 + 3 x − 99 ) ( 2 − x 5 ) ( 18 x 7 + 9 x 6 − 3 x 2 − 1 ) ( x + 1 ) = x 4 ( − x 5 ) ( 18 x 7 ) x = lim x → + ∞ − x 18 = − ∞ \lim\limits_{x\to+\infty}\frac{(x^4+3x-99)(2-x^5)}{(18x^7+9x^6-3x^2-1)(x+1)}=\frac{x^4(-x^5)}{(18x^7)x}=\lim\limits_{x\to+\infty}-\frac{x}{18}=-\infty x→+∞lim(18x7+9x6−3x2−1)(x+1)(x4+3x−99)(2−x5)=(18x7)xx4(−x5)=x→+∞lim−18x=−∞
4.4 x → + ∞ x\to+\infty x→+∞ 时多项式型（无理）函数的极限
将根号下的多项式的首项开出来，然后仿照求有理函数极限。注意，如果开出来会使得原本多项式首项的系数变为 0 0 0，使用4.2提及的有理化（详见例题）。
例1：求 lim x → + ∞ 4 x 6 − 5 x 3 − 2 x 3 27 x 6 + 8 x 3 \lim\limits_{x\to+\infty}\frac{\sqrt{4x^6-5x^3}-2x^3}{\sqrt[3]{27x^6+8x}} x→+∞lim327x6+8x 4x6−5x3 −2x3
这里处理分子时将首项开根号 4 x 6 − 2 x 3 = 0 \sqrt{4x^6}-2x^3=0 4x6 −2x3=0，出现了需要有理化的情况。
lim x → + ∞ 4 x 6 − 5 x 3 − 2 x 3 27 x 6 + 8 x 3 = lim x → + ∞ 4 x 6 − 5 x 3 − 2 x 3 27 x 6 + 8 x 3 × 4 x 6 − 5 x 3 + 2 x 3 4 x 6 − 5 x 3 + 2 x 3 \lim\limits_{x\to+\infty}\frac{\sqrt{4x^6-5x^3}-2x^3}{\sqrt[3]{27x^6+8x}}=\lim\limits_{x\to+\infty}\frac{\sqrt{4x^6-5x^3}-2x^3}{\sqrt[3]{27x^6+8x}}\times\frac{\sqrt{4x^6-5x^3}+2x^3}{\sqrt{4x^6-5x^3}+2x^3} x→+∞lim327x6+8x 4x6−5x3 −2x3=x→+∞lim327x6+8x 4x6−5x3 −2x3×4x6−5x3 +2x34x6−5x3 +2x3
lim x → + ∞ 4 x 6 − 5 x 3 − 2 x 3 27 x 6 + 8 x 3 = lim x → + ∞ − 5 x 5 27 x 6 + 8 x 3 ( 4 x 6 − 5 x 5 + 2 x 3 ) \lim\limits_{x\to+\infty}\frac{\sqrt{4x^6-5x^3}-2x^3}{\sqrt[3]{27x^6+8x}}=\lim\limits_{x\to+\infty}\frac{-5x^5}{\sqrt[3]{27x^6+8x}(\sqrt{4x^6-5x^5}+2x^3)} x→+∞lim327x6+8x 4x6−5x3 −2x3=x→+∞lim327x6+8x (4x6−5x5 +2x3)−5x5
lim x → + ∞ 4 x 6 − 5 x 3 − 2 x 3 27 x 6 + 8 x 3 = lim x → + ∞ − 5 x 5 ( 3 x 2 ) ( 2 x 3 + 2 x 3 ) = − 5 12 \lim\limits_{x\to+\infty}\frac{\sqrt{4x^6-5x^3}-2x^3}{\sqrt[3]{27x^6+8x}}=\lim\limits_{x\to+\infty}\frac{-5x^5}{(3x^2)(2x^3+2x^3)}=-\frac{5}{12} x→+∞lim327x6+8x 4x6−5x3 −2x3=x→+∞lim(3x2)(2x3+2x3)−5x5=−125
4.5 x → − ∞ x\to-\infty x→−∞ 时的有理函数的极限
仍有： ∀ n ∈ ( 0 , + ∞ ) \forall n\in(0,+\infty) ∀n∈(0,+∞)，且 C C C 是常数，就有 lim x → − ∞ C x n = 0 \lim\limits_{x\to-\infty}\frac{C}{x^n}=0 x→−∞limxnC=0
因此与求 x → + ∞ x\to+\infty x→+∞ 时的极限差不多。唯一注意的是正负号如 lim x → − ∞ − x 18 = + ∞ \lim\limits_{x\to-\infty}-\frac{x}{18}=+\infty x→−∞lim−18x=+∞
还有就是注意：如果 x < 0 x<0 x<0 并且想写 x 某次幂 n = x m \sqrt[n]{x^{\text{某次幂}}}=x^m nx某次幂 =xm 需要在 x m x^m xm 前加负号的唯一情况是 n n n 是偶数且 m m m 是奇数。
例：求 lim x → − ∞ 4 x 6 + 8 2 x 3 + 6 x + 1 \lim\limits_{x\to-\infty}\frac{\sqrt{4x^6+8}}{2x^3+6x+1} x→−∞lim2x3+6x+14x6+8
lim x → − ∞ 4 x 6 + 8 2 x 3 + 6 x + 1 = lim x → − ∞ − 2 x 3 2 x 3 = − 1 \lim\limits_{x\to-\infty}\frac{\sqrt{4x^6+8}}{2x^3+6x+1}=\lim\limits_{x\to-\infty}\frac{-2x^3}{2x^3}=-1 x→−∞lim2x3+6x+14x6+8 =x→−∞lim2x3−2x3=−1
4.6 包含绝对值的函数的极限
分左右极限考虑，分别去绝对值求解。
例：求 lim x → ( − 2 ) − ∣ x + 2 ∣ x + 2 \lim\limits_{x\to(-2)^-}\frac{|x+2|}{x+2} x→(−2)−limx+2∣x+2∣
x < − 2 x<-2 x<−2 时 ∣ x + 2 ∣ x + 2 = − 1 \frac{|x+2|}{x+2}=-1 x+2∣x+2∣=−1
故 lim x → ( − 2 ) − ∣ x + 2 ∣ x + 2 = − 1 \lim\limits_{x\to(-2)^-}\frac{|x+2|}{x+2}=-1 x→(−2)−limx+2∣x+2∣=−1
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