02-偏导数、方向导数、梯度和微积分（转）

一、偏导数

对于一元函数y=f(x)只存在y随x的变化，但是二元函数z=f(x,y)存在z随x变化的变化率，随y变化的变化率，随x﹑y同时变化的变化率。如下图所示

1、偏导数定义

设函数z=f(x,y)$z=f(x,y)$在点(x₀,y₀)的某个邻域内有定义，定y=y₀，一元函数f(x0,y0)$f(x_0,y_0)$在点x=x₀处可导，即极限limΔx→0f(x0+Δx,y0)−f(x0,y0)Δx=A$\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{lim}\frac{f(x_0+\mathrm{\Delta }x,y_0)-f(x_0,y_0)}{\mathrm{\Delta }x}=A$。

则称A为函数z=f(x,y)$z=f(x,y)$在点(x₀,y₀)处关于自变量x的偏导数。记作：fx(x0,y0)$f_x(x_0,y_0)$、∂z∂x∣∣∣x=x0y=y0$\frac{\mathrm{\partial }z}{\mathrm{\partial }x}|{}_{\begin{array}{c}x=x_0\\ y=y_0\end{array}}$、∂f∂x∣∣∣x=x0y=y0$\frac{\mathrm{\partial }f}{\mathrm{\partial }x}|{}_{\begin{array}{c}x=x_0\\ y=y_0\end{array}}$或者zx∣∣∣x=x0y=y0$z_x|{}_{\begin{array}{c}x=x_0\\ y=y_0\end{array}}$

2、几何意义：

偏导数fx(x0,y0)$f_x(x_0,y_0)$就是曲面被平面y=y0$y=y_0$所截得的曲线在点M₀处的切线M₀T_x对x轴的斜率，偏导数fy(x0,y0)$f_y(x_0,y_0)$就是曲面被平面x=x0$x=x_0$所截得的曲线在点M₀处的切线M₀Ty对y轴的斜率。如下图所示

3、例题

求f(x,y)=x2+3xy+y2$f(x,y)=x^2+3xy+y^2$在点（1，2）的偏导数。

二、方向导数

1、介绍

在函数定义域的内点，对某一方向求导得到的导数。一般为二元函数和三元函数的方向导数，方向导数可分为沿直线方向和沿曲线方向的方向导数。现在假设如下图所示，有两火苗分别沿x、y轴蔓延，问蚂蚁沿什么方向跑才能存活？

可以很容易想到沿矩形的对角线跑。现在有函数z=f(x,y)$z=f(x,y)$

可以得出距离|PP′|=ρ=√(Δx2)+(Δy2)$\left|P{P}^{\prime }\right|=\rho =\sqrt{(\mathrm{\Delta }{x}^2)+(\mathrm{\Delta }{y}^2)}$，然后可以得出函数值的增量Δz=f(x+Δx,y+Δy)−f(x,y)$\mathrm{\Delta }z=f(x+\mathrm{\Delta }x,y+\mathrm{\Delta }y)-f(x,y)$。

如果函数的增量，与这两点距离的比例存在，则称此为在P点沿着L的方向导数，用公式表达就是∂f∂l=limρ→0f(x+Δx,y+Δy)−f(x,y)ρ$\frac{\mathrm{\partial }f}{\mathrm{\partial }l}=\underset{\rho \to 0}{lim}\frac{f(x+\mathrm{\Delta }x,y+\mathrm{\Delta }y)-f(x,y)}{\rho }$

特别的，函数f(x,y)$f(x,y)$在X轴正向→e1$\overrightarrow{e_1}$={1,0}，Y轴正向→e2$\overrightarrow{e_2}$={0,1}的方向导数分别为fx,fy$f_x,f_y$，负方向导数为−fx,−fy$-f_x,-f_y$

2、定理

如果函数z=f(x,y)$z=f(x,y)$在点P(x,y)$P(x,y)$是可微分的，那么在该点沿任意方向L的方向导数都存在，公式表达为∂f∂l=∂f∂xcosφ+∂f∂ysinφ$\frac{\mathrm{\partial }f}{\mathrm{\partial }l}=\frac{\mathrm{\partial }f}{\mathrm{\partial }x}\cos \phi +\frac{\mathrm{\partial }f}{\mathrm{\partial }y}\sin \phi$，φ$\phi$为X轴到L的角度。

3、例题

求函数z=xe2y$z=x{e}^{2y}$在点P(1,0)$P(1,0)$处沿从点P(1,0)$P(1,0)$到点Q(2,−1)$Q(2,-1)$的方向的方向导数。

示意图如下：

求解过程如下：

三、梯度

1、梯度

函数z=f(x,y)$z=f(x,y)$在平面域内具有连续的一阶偏导数，对于其中每一个点P(x,y)$P(x,y)$都有向量∂f∂x→i+∂f∂y→j$\frac{\mathrm{\partial }f}{\mathrm{\partial }x}\overrightarrow{i}+\frac{\mathrm{\partial }f}{\mathrm{\partial }y}\overrightarrow{j}$，则其称为函数在点P的梯度。梯度的本意是一个向量（矢量），表示某一函数在该点处的方向导数沿着该方向取得最大值，即函数在该点处沿着该方向（此梯度的方向）变化最快，变化率最大（为该梯度的模）。用公式表达来就是：

gradf(x,y)=∂f∂x→i+∂f∂y→j$gradf(x,y)=\frac{\mathrm{\partial }f}{\mathrm{\partial }x}\overrightarrow{i}+\frac{\mathrm{\partial }f}{\mathrm{\partial }y}\overrightarrow{j}$。

设→e=cosφ→i+sinφ→j$\overrightarrow{e}=\cos \phi \overrightarrow{i}+\sin \phi \overrightarrow{j}$是方向L上的单位向量。

由方向导数公式可知：∂f∂l=∂f∂xcosφ+∂f∂ysinφ={∂f∂x,∂f∂y}⋅{cosφ,sinφ}=gradf(x,y)⋅→e=|gradf(x,y)|cosθ$\frac{\mathrm{\partial }f}{\mathrm{\partial }l}=\frac{\mathrm{\partial }f}{\mathrm{\partial }x}\cos \phi +\frac{\mathrm{\partial }f}{\mathrm{\partial }y}\sin \phi =\{\frac{\mathrm{\partial }f}{\mathrm{\partial }x},\frac{\mathrm{\partial }f}{\mathrm{\partial }y}\}\cdot \{\cos \phi ,\sin \phi \}=gradf(x,y)\cdot \overrightarrow{e}=|gradf(x,y)|\cos \theta$。

其中θ=(gradf(x,y),→e)$\theta =(gradf(x,y),\overrightarrow{e})$。

2、结论

只有cos(gradf(x,y),→e)=1$\cos (gradf(x,y),\overrightarrow{e})=1$，∂f∂l$\frac{\mathrm{\partial }f}{\mathrm{\partial }l}$才有最大值。

函数在某点的梯度是一个向量，它的方向与方向导数最大值取得的方向一致，从而而它的模正好是最大的方向导数，也就是方向导数的最大值。

3、例题

设u=xyz+x2+5$u=xyz+x^2+5$，求gradu$u$，并求在点M(0,1,−1)$M(0,1,-1)$处方向导数的最大（小）值。

4、小结

（1）、方向导数的概念，注意方向导数与一般所说偏导数的区别
（2）、注意梯度其实是一个向量。
（3）、方向导数与梯度的关系，梯度的方向就是函数f(x，y)在这点增长最快的方向，梯度的模就是方向导数的最大值。

四、微积分

1、介绍

微积分诞生于17世纪，主要帮助人们解决各种速度，面积等实际问题，如下图所示，怎么才能求得曲线的面积呢？

首先对于一个矩形来说，我们可以轻松求得其面积，那能不能用矩形代替曲线形状呢？如果能行的话，那应该用多少个矩形来代替曲线呢？

在ab之间插入若干个点，这样就得到了n个小区间，这样的话每一个小矩形的面积为：Ai=f(ξi)Δxi$A_i=f({\xi }_i)\mathrm{\Delta }{x}_i$，这样的话对每个小矩形的面积求和的话就可以近似得到曲线的面积：A≈n∑i=1f(ξi)Δxi$A\approx \sum _{i=1}^{n}f({\xi }_i)\mathrm{\Delta }{x}_i$

当分割无限加细，每个小区间的最大长度为λ$\lambda$，此时λ→0$\lambda \to 0$。由此可得曲线的面积为：A=limλ→0n∑i=1f(ξi)Δxi$A=\underset{\lambda \to 0}{lim}\sum _{i=1}^{n}f({\xi }_i)\mathrm{\Delta }{x}_i$

从求和角度来看，我们需要尽可能的将每一个矩形的底边无穷小，而莱布尼兹为了体现求和的感觉，给S拉长了，简写成∫f(x)dx$\int f(x)dx$

2、微分：

由于无穷小的概念，dx,dy都叫做微分。所谓微积分就是把这些微分积起来。

微分是什么？其实很简单，用两个式子就可以很简单的描述了：limΔx→0dy=0,limΔx→0dx=0$\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{lim}dy=0,\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{lim}dx=0$

3、定积分

当|Δx|—>0时，总和S总是趋于确定的极限I，则称极限I为函数f(x)在曲线[a，b]上的定积分

其中，积分值和被积函数与积分曲线有关，与积分变量字母无关。

当函数f(x)在区间[a，b]上的定积分存在时，称f(x)在区间[a，b]上可积。

4、定积分几何含义

面积的正负值：f(x)>0,∫baf(x)dx=Af(x)<0,∫baf(x)dx=−A$\begin{array}{cc}f(x)>0,& {\int }_a^{b}f(x)dx=A\\ f(x)<0,& {\int }_a^{b}f(x)dx=-A\end{array}$

也就是说如果定积分的值为正值，那它就表示曲边梯形的面积，如果求出来是负值的话，那它就表示曲边梯形的面积的负值

5、定积分性质：

1、∫ba[f(x)±g(x)]dx=∫baf(x)dx±∫bag(x)dx.${\int }_a^b[f(x)\pm g(x)]dx={\int }_a^{b}f(x)dx\pm {\int }_a^{b}g(x)dx.$

2、∫bakf(x)dx=k∫baf(x)dx${\int }_a^{b}kf(x)dx=k{\int }_a^{b}f(x)dx$，k为常数。

3、假设a<c<b，则∫baf(x)dx=∫caf(x)dx+∫bcf(x)dx${\int }_a^{b}f(x)dx={\int }_a^{c}f(x)dx+{\int }_c^{b}f(x)dx$。

4、如果在区间[a，b]上f(x)⩾0$f(x)⩾0$，则∫baf(x)dx⩾0.(a<b)${\int }_a^{b}f(x)dx⩾0.(a<b)$。

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