草原放牧策略研究
本文研究了多因素影响下的草原生态环境演化与放牧策略的关系，通过机理分析分别构建了放牧策略对土壤湿度、植被生物量、土壤化学性质影响模型，以此为基础得到了未来土壤湿度和土壤化学物质含量的预测值，并通过分析得到能够实现可持续发展的最优放牧策略和不同降水量情况下的放牧强度最大阈值，最后通过演化模拟展现了土壤生态环境的演化过程。
针对问题一，本文基于土壤含水量-降水量-地表蒸发模型，探讨了蒸发量与放牧策略的关系，构建了不同放牧策略（放牧方式和放牧强度）对土壤湿度影响的机理模型。影响植被生物量的有三大因素：一为引入土壤含水率影响因子修正后的logistic阻滞增长模型（反映植物自身生长规律），二为放牧策略对植物生长的促进/抑制作用，三为牲畜对植物的采食，最终构建了不同放牧策略对植被生物量影响的机理模型。在此基础上，查阅了相关文献数据，证明土壤湿度随放牧强度的增加先增大后减小，验证了模型的可靠性。
针对问题二，在问题一土壤湿度机理模型的基础上，分季节进行最小二乘法拟合，得到具有季节性特征的土壤湿度微分方程，再应用季节系数法实现降水量和蒸发量的时间序列预测，从而实现了未来各月不同深度土壤含水量的预测计算。在此基础上，引入神经网络预测，经对比其预测结果与季节性微分方程模型结果吻合，验证了模型的可靠性。
针对问题三，本文遴选了衡量土壤化学性质的化学元素含量作为指标，通过查阅文献得到放牧强度对土壤化学元素含量的影响和各化学元素含量之间的相互影响关系，得到了土壤化学元素含量的递推演化矩阵方程模型。在数据处理后应用指数平滑法预测了各放牧小区土壤化学物质含量，并通过标准误差计算选取了最为准确的预测值，以放牧小区G17土壤有机碳SOC值为例，其2022年预测值为14.8167。
针对问题四，本文应用主成分分析法选取了三个主成分因子（地表、气候、人文），通过查阅文献明确了各因子之间的相对重要性，应用层次分析法构建了沙漠化程度评价模型，计算了不同监测点的沙漠化程度指数，对最终结果分析发现，要使沙漠化程度越小，放牧策略以轻牧最优，且轻牧>无牧>重牧。再通过附件数据和文献数据拟合得到板结化程度三大影响因素（土壤湿度、容重、有机物含量）的表达式，结合层次分析法构建了板结化程度定量评价模型。查阅文献后对两大评价模型进行赋权，从而得到多约束条件下的低沙漠化程度-低板结化程度双目标规划模型，并求得最佳放牧强度为S=3.1717。
针对问题五，在问题一植被生物量机理模型的基础上，构建可持续化条件下不同放牧策略对植被生物量影响的机理模型，在不考虑抵御自然环境变化的情况下，求得草场内放
牧强度的最大阈值，在降水量为300mm,600mm,900mm,1200mm的情况下，最大阈值分别为4.48、5.44、5.45、6.55，与实际情况相符。为了实现经济与自然环境的共赢，进一步构建多约束条件下的高经济效益-高植被生物量增长率双目标优化模型，以此实现良性循环。
针对问题六，在问题一、二、三的各模型基础上，综合考虑多因素影响，应用基于蒙
特卡洛的自适应改进型元胞自动机，模拟演化了示范牧户与问题四中最佳放牧策略的土壤
生态演化过程，其演化结果满足预期，在最优放牧策略下，土壤湿度、土壤肥力和植被覆
盖均达到了最佳效果。具有较好的可视化效果，验证了全文模型的可靠性，同时对农业领
域实际应用具有借鉴性。
关键词：修正型 Logistic 阻滞增长模型，神经网络，自互影响矩阵，长时间序列预测，多目标规划模型，基于蒙特卡洛的自适应改进型元胞自动机
1 问题重述
1.1问题背景
草原作为世界上分布最广的重要的陆地植被类型之一，分布面积广泛。中国的草原面积为 3.55 亿公顷，是世界草原总面积的 6%~8%，居世界第二。此外，草原在维护生物多样性、涵养水土、净化空气、固碳、调节水土流失和沙尘暴等方面具有重要的生态功能。自 2003 年党中央、国务院实施“退牧还草”政策以来，在保护和改善草原生态环境、改善民生方面取得了显著成效。“退牧还草”并不是禁止放牧，除了部分区域禁牧外，很多草原实行划区轮牧以及生长季休牧。合理的放牧政策是带动区域经济、防止草原沙漠化及保障
民生的关键，放牧优化问题的研究也为国家、政府制定放牧政策和草原管理决策提供科学的依据。
中国草原主要分为温带草原、高寒草原和荒漠草原等类型。内蒙古锡林郭勒草原是温带草原中具有代表性和典型性的草原，是中国四大草原之一，位于内蒙古高原锡林河流，地理坐标介于东经 110°50′~119°58′,北纬 41°30′~46°45′之间，年均降水量 340mm。内蒙古锡林郭勒草原不仅是国家重要的畜牧业生产基地，同时也是重要的绿色生态屏障，在减少
沙尘暴和恶劣天气的发生方面发挥着作用，也是研究生态系统对人类干扰和全球气候变化响应机制的典型区域之一和国际地圈—生物圈计划（IGBP）陆地样带—中国东北陆地生态系统样带（NECT）的重要组成部分。
关于草原放牧通常要考虑放牧方式和放牧强度（单位面积牲畜密度）2 个因素。放牧方式可以分为多种，有文献将放牧方式分为以下五种，分别为：全年连续放牧、禁牧、选择划区轮牧、轻度放牧、生长季休牧。放牧强度可以分为四种，分别为：对照、轻度放牧强度、中度放牧强度、重度放牧强度。附件 14、15 中数据将选择划区轮牧的放牧强度分为：对照（NG， 0 羊/天/公顷 ）、轻度放牧强度（LGI， 2 羊/天/公顷 ）、中度放牧强度（MGI，4 羊/天/公顷 ）和重度放牧强度（HGI，8 羊/天/公顷 ）。实际中，也可以做如下的划分：对照（NG， 0 羊/天/公顷 ）、轻度放牧强度（LGI， 1-2 羊/天/公顷 ）、中度放牧强度（MGI，3 -4羊/天/公顷 ）和重度放牧强度（HGI，5-8羊天/公顷 ）。
植物的生长满足自身的生长规律，同时受到周围环境的影响。例如，降水、温度、土壤湿度、土壤PH、营养等都决定植物的生长情况。当牧羊（家畜日食量为1.8kg，即标准羊单位，也包括羊羔。大牲畜折算系数6.0，比如牛、马、骆驼，大牲畜幼崽折算系数3.0 ）对植物进行采食时，一方面植物的地上生物量减少；另一方面，放牧对植物有刺激作用，改变了植物原有的生长速率，适当的放牧会刺激植物的超补偿生长，同样不合理的放牧也会降低植物的生长速率。
过度放牧，往往因牲畜密度过大，可能导致草原植被结构破坏，土壤裸露面积增大，
促进了土壤表面的蒸发，土体内水分相对运动受到不利影响，破坏了土壤积盐与脱盐平衡，增加了盐分在土壤表面的积累，土壤盐碱化程度加重。最终造成草场退化、土地沙漠化。
适度的放牧可以改善草原土壤质量、提高草原生物的多样性。一方面由于家畜的采食
践踏造成枯落物分解，充分进入土壤，从而提高土壤有机质和氮和钾含量，减少土壤的板结。另一方面放牧能够降低表层土壤湿度、PH，一定程度增加土壤容重。土壤氮、磷、钾的含量及比例是土壤有机质组成和质量程度的重要指标。磷元素含量多少会影响土壤中凋落物的分解速率、微生物数量及活性以及有机碳和养分的积累。钾元素能够促进植物生理代谢，增强抗逆性，并促进植物对氮素营养的吸收和利用。土壤全氮含量随着放牧强度的增加而降低。有研究表明：高寒草甸的土壤全氮含量沿着放牧梯度呈下降趋势。因此，为了保证土壤达到合适的状态，找到放牧羊（标准羊）数量的阈值是问题的关键。
土壤沙漠化又被称为沙质沙漠化，是荒漠化的一种主要表现类型。沙漠化是在干旱、半干旱和部分半湿润地区的沙物质基础和干旱大风动力条件下，由于自然因素或人为活动的影响，致使自然的生态系统平衡性遭到破坏，出现了以风沙活动为主要标志，并逐渐形成风蚀、风积地貌景观的环境退化过程，使原来没有沙漠景观的地区出现了类似沙漠景观的环境变化。所谓土壤板结化是指土壤打破了原有结构，表层的有机质遭到严重破坏而造成的，土壤板结原因很多，比如土壤贫瘠、容重过大、土壤质地太粘以及有机肥严重不足等。
沙漠化程度指数（SM）是从数学的范畴去界定沙漠化程度，采用一定的分级标准使得其与沙漠化程度相对应。把沙漠化程度划分为五类：非沙漠化、轻度沙漠化、中度沙漠化、重度沙漠化和极重度沙漠化，SM 采用 0～1 标度法。
表1.1 沙漠化程度及沙漠化程度指数划分标准
| 划分内容 | 划分类型 | ||||
| 沙漠化程度 | 非沙漠化 | 轻度沙漠化 | 中度沙漠化 | 重度沙漠化 | 极重度沙漠化 |
| 沙漠化程度指数 | [0,0.20] | （0.20,0.40] | （0.40,0.60] | （0.60,0.80] | （0.80,1.00] |
沙漠化程度指数预测模型表达式：
| SM | = | n i = 1 | S | Q i | = | | n i = 1 | ( Q W c i | ) |
| SM 表示沙漠化程度指数；为调节系数，用来修正模型；n为模型中指标因子的个 数；Q 为第i个因子的因子强度；S 为第i个因子对沙漠化程度的贡献值，定义Qi S Q i =Q i W c i ， | |||||||||
W 为因子权重系数，即因子对沙漠化程度的贡献值等于因子强度与因子权重系数的乘积。 土壤板结化与土壤有机物、土壤湿度和土壤的容重有关，目前还没有明确的定量表达式，其数学模型可定性描述为如下：
| B | = f W C O , , | ) |
土壤湿度W 越少，容重C越大，有机物含量O越低，土壤板结化程度B 越严重。
土壤化学性质和物理性质是影响土壤肥力重要因素，土壤化学性质包括：土壤有机碳SOC、土壤无机碳SIC、土壤全碳STC、全N、土壤C/N比等；土壤物理性质包括：土壤湿度、土壤容重等。一般来说，在保持土壤化学性质等基本不变情况下，降水会增加土壤湿度，而土壤湿度增加会提高草场植被覆盖率，在良好的植被覆盖情况下可以适当提高放
牧强度，在一定区域内，放牧强度越高意味着更多的放牧数量，在不考虑放牧补贴和价格波动情况下，更多放牧数量代表更高的放牧收益。
现代草地资源的经营应遵循可持续发展原则，在保证生态环境良性健康发展中寻求经济利益的最大化。美国著名生态经济学家赫尔曼·E·戴利给可持续发展的定义是:“可持续发展是经济规模增长没有超越生物环境承载能力的发展”。 其理念是“可持续发展的整个理念就是经济子系统的增长规模绝对不能超越生态系统可以永远持续或支撑的容纳范围”。在草原区域系统中，承载力是评价可持续发展的一种工具。在《远东英汉大辞典》中，承载力
被定义为“某一自然环境所能容纳的生物数目（指最高限度）”。区域生态系统承载力和可持续发展是相辅相成的两个概念。
现要解决以下六个问题：
问题一：从机理分析的角度，建立不同放牧策略（放牧方式和放牧强度）对锡林郭勒
草原土壤物理性质（主要是土壤湿度）和植被生物量影响的数学模型。
问题二：请根据附件3土壤湿度数据、附件4土壤蒸发数据以及附件8中降水等数据，建立模型对保持目前放牧策略不变情况下对2022年、2023年不同深度土壤湿度进行预测，并填入表中。
问题三：从机理分析的角度，建立不同放牧策略（放牧方式和放牧强度）对锡林郭勒草原土壤化学性质影响的数学模型。并请结合附件 14 中数据预测锡林郭勒草原监测样地(12 个放牧小区)在不同放牧强度下 2022 年土壤同期有机碳、无机碳、全 N、土壤 C/N 比等值,并填入表中。
问题四：利用沙漠化程度指数预测模型和附件提供数据（包括自己收集的数据）确定
不同放牧强度下监测点的沙漠化程度指数值。并请尝试给出定量的土壤板结化定义，在建立合理的土壤板结化模型基础上结合问题 3，给出放牧策略模型，使得沙漠化程度指数与板结化程度最小。
问题五：锡林郭勒草原近10的年降水量（包含降雪）通常在300 mm ~1200 mm之间，请在给定的降水量（300mm，600mm、900 mm 和1200mm）情形下，在保持草原可持续发展情况下对实验草场内（附件14、15）放牧羊的数量进行求解，找到最大阈值。（注：这里计算结果可以不是正整数）
问题六：在保持附件 13 的示范牧户放牧策略不变和问题 4 中得到的放牧方案两种情况下，用图示或者动态演示方式分别预测示范区 2023 年 9 月土地状态（比如土壤肥力变化、土壤湿度、植被覆盖等）。
1.2问题分析
⚫ 问题一
前提：根据题目所给的求解要求有一下两种场景：放牧强度对土壤含水率的影响；放
牧强度对植被生物量的影响。对于土壤含水率，通过土壤含水量-降水量-地表蒸发模型可得到影响土壤湿度的两大因素：牧区降水和地表蒸散发率，牧区降水随天气变化而非人为
控制，那么需要考虑放牧强度对地表蒸发率的影响，从而得到放牧强度对土壤含水率的影响。对于植被生物量，本文提出基于放牧强度影响因子的改进logistic阻滞增长模型，在此之上考虑土壤含水率等对植物生长的影响。
条件：根据上述问题背景，结合具体演化机理进行分析，基于土壤含水量-降水量-地表蒸发模型以及 Woodward 提出的放牧和植物生长关系方程，列出放牧强度分别对土壤含水率和植被生物量的表达式。
目标：基于上述前提和条件，在合理的多变量机理分析的基础上，得到放牧强度分别和土壤含水量和植物生物量的关系。
⚫ 问题二
前提：与问题一背景相同，影响土壤湿度的两大因素分别为牧区降水和地表蒸发率。采用同样的土壤含水量微分方程，将问题转化为子问题1:降雨量和蒸发量的季节性时间序列预测问题以及子问题2:土壤含水量微分方程的最小二乘法参数拟合。
条件：根据上述问题背景，结合附件3中10cm、40cm、100cm、200cm的土壤湿度以及附件4中的土壤蒸发量以及附件8历年气候中的降雨量可以进行时间序列预测，同时，多组数据可以进行微分方程的参数拟合。
目标：基于上述前提和条件，分别对降雨量和蒸发量进行季节性时间序列预测，得到土壤湿度变化的微分方程拟合参数，并对2022-2023年的土壤湿度进行预测。
⚫ 问题三
前提：与问题一背景相同，放牧不仅会改变土壤的物理性质，如土壤容重、土壤湿度
等，也会改变土壤的化学性质，即氮碳等化学成分含量。根据机理分析，可以定性地判断
出放牧强度对土壤化学性质的影响，以及土壤化学元素之间的相互影响，建立土壤化学元
素变化量矩阵方程。在此基础上，需要对各个具体小区的土壤中化学物质含量进行分析，并对已知时间序列下的数据进行指数平滑法时序预测。
条件：根据上述问题背景，结合附件 14 中的各个小区对应的放牧强度以及该小区土壤中存在的SOC等五种化学物质含量，可以对2022-2023年的化学物质含量进行预测。
目标：基于上述前提和条件，对同一小区同一年同一放牧强度的数据进行整理合并，并对处理完成的数据进行指数平滑法时间序列预测。
⚫ 问题四
前提：结合问题一、二、三背景，放牧强度不仅会影响到土壤的物理性质，如土壤湿度、容重，还会影响到土壤的化学性质，如SOC等。这里分别使用沙漠化程度和板结化程度来衡量放牧强度对土壤的负面影响。多种因素会影响到沙漠化程度，通常使用主成分分
析法和层次分析法计算程度指标。同时，根据张蕴薇论文中提到的，土壤的板结化主要与
土壤湿度、容重以及有机碳含量有关，需要找到放牧强度和以上三者的联系，从而得到土
壤板结化和放牧强度的定量关系。问题本质是一个多目标规划问题，通常使用不同权重将多目标规划问题转化为单目标规划问题。
条件：根据上述问题背景，结合附件3中的土壤湿度、附件4中的土壤蒸发量、附件8中的历年气候、附件 9 中的径流量、附件 10中的叶面积、附件 13 中的牲畜畜牧量进行主成分提取、综合评价，对最小化沙漠化程度与最小化土地板结化程度进行多目标规划。
目标：基于上述前提和条件，对这些因子整合，并使用主成分分析和层次分析确定因子权重，在得到放牧强度和上述因子的关系后，可以得到沙漠化和板结化的定量得分，最终通过多目标规划得到的最优解。
⚫ 问题五
前提：结合问题一中的改进型logistic阻滞增长模型，在给定放牧强度和放牧方式时可以得到植物的生长趋势。可持续发展是经济规模增长没有超越生物环境承载能力的发展，即植物的生长没有超过草原生态环境的承载力。针对此可持续发展概念，本文利用数据完成微分方程参数拟合，在此基础上针对具体情景得到最优值。
条件：根据上述问题背景，结合附件 14 中的不同小区碳氮监测数据以及附件 15 的多种植物多种放牧方式和策略下植物生长的前后数据，可以通过拟合得到微分方程的参数， 目标：基于上述前提和条件，对不同小区的不同年份下不同植物进行不同放牧策略的数据进行整合，得到微分方程表达式，进行目标规划得到可持续发展下的羊数量合理阈值。
⚫ 问题六
前提：与问题一、二、三、四的背景相同，可以考虑以下两种场景：4 种确定放牧强度的牧户以及问题四中求得的最佳放牧策略。本文需要对以上两个对象进行模拟，模拟的特征分别是：土壤肥力、土壤湿度以及植物覆盖量。因为羊的出现位置是随机的，同时以上问题已经得到了三个微分方程，可基于蒙特卡洛随机化羊出现的位置和移动的方向，并根据微分方程参数，结合元胞自动机进行动态模拟。
条件：根据上述问题背景，结合附件 13 中的 4 个牧户的牲畜畜牧量以及问题 4 结果给出的放牧策略，对元胞自动机的规则进行设置，得到模拟结果。
目标：基于上述前提和条件，对4个牧户以及问题4求得的最佳放牧策略，数据整合后得到元胞自动机的初始化数据，以单位时间进行递推，得到动态时间下的土壤肥力、土壤湿度以及植物覆盖量的演化模拟效果。
2 模型假设
在数学建模的过程中，在不影响模型意义与计算精度的前提下，为了使模型简单、明
确，计算建立了如下假设：
⚫ 假设锡林郭勒草原的自然环境不会发生突变，即不考虑极端天气的情况；
⚫ 假设在数据处理与计算过程中，锡林郭勒草原采用生长季休牧，即不考虑其他放牧方 式的影响；
⚫ 假设标准羊每天所需食用的植被生物量不变，为一恒定常量；
⚫ 假设水分循环仅考虑垂直方向的水量交换，即不考虑出入径流造成的水分流失； ⚫ 假设锡林郭勒草原的降水量均来自自然降雨，即不考虑人工降雨的可能性。
3 符号说明
| 符号 | 符号说明 |
| P | 土壤含水量 牧区供水（主要指降水率） |
| E ( ) w G w ( ) D km n S S m r w m U R d month E ( ) V | 地表蒸散发率 植被最大增长率 植被生物量 草原的盖度 植被枯萎率 植被最大枯萎率 从变量m到变量n的转化系数，m为自变量，n为因变量 单位面积载畜率 最合理的单位面积载畜率 植物生长的内禀增长率 资源和环境所能容纳的最大植被生物量 牲畜采食的天数 全年连续放牧、禁牧等五种放牧方式 降水量 不同月份时不同深度的土壤含水量 蒸发量 | ||||||||||||||||||||||
| 化学元素含量集合, | V | = | [ v C | , | v N | , | v K | , | v v P nutrition | , | v PH | ] | |||||||||||
| S vj | ) | 放牧强度对土壤化学性质的作用函数 | |||||||||||||||||||||
| X | 沙漠化程度监测点评价对象集合， | X | = | [ , x x x 1 2 3 | ,..., | x 12 | ] | ||||||||||||||||
| Q , | Q , | QRe | 地表因子强度, 气象因子强度, 人文因子强度 沙漠化程度指数 板结化指数 土壤湿度因子强度, 容重因子强度, 有机物因子强度 卖出每单位羊获得的收益 | ||||||||||||||||||||
| SM B | |||||||||||||||||||||||
| Q , W | Q , C | Q O | |||||||||||||||||||||
| M 1 Celli j Statei j | |||||||||||||||||||||||
| 第t时刻位置坐标为( | ,i j 的元胞空间 | ||||||||||||||||||||||
| 第t时刻位置坐标为( | ,i j 元胞的牧羊状态 | ||||||||||||||||||||||
| Ti j Fi j TFm Wi j TWm i j | 第t时刻位置坐标为( | ,i j 元胞的累计踩踏次数 | ||
| 单羊直接踩踏强度 | ||||
| 第t时刻位置坐标为( | ,i j 元胞的土壤肥力 | |||
| 累计踩踏对土壤肥力促进/抑制转变的转折次数 | ||||
| 第t时刻位置坐标为( | ,i j 元胞的土壤湿度 | |||
| 累计踩踏对土壤湿度促进/抑制转变的转折次数 单羊直接啃食强度 | ||||
| 第t时刻位置坐标为( | ,i j 元胞的植被覆盖量 | |||
注：其它符号在正文中详细标注。
4 问题一的分析及模型建立与求解
4.1 问题描述及分析
问题一是研究从机理分析角度构建不同放牧策略对锡林郭勒草原土壤性质（主要是土壤湿度）影响的数学模型以及不同放牧策略对植被生物量影响的数学模型。
首先通过土壤含水量-降水量-地表蒸发模型得到影响土壤湿度的两大因素：牧区降水和地表蒸散发率，考虑到牧区降水随天气变化而非人为控制，在此不多加讨论，根据草原枯荣、盖度相关表达式建立地表蒸散发率的数学模型，最后得出不同放牧策略对土壤湿度的影响。
针对植被生物量这一因变量，其变化情况受到载畜率和自然因素（包括植物自身生长规律与土壤湿度）的共同影响，本文在查阅文献的基础上加以分析，最后得到相关数学模型。因此，问题一的解答需要分为四步：
（1） 讨论草原枯荣、盖度相关表达式，建立地表蒸散发率的数学模型。
（2） 根据土壤含水量-蒸发量-地表蒸发模型得到放牧策略对土壤性质（主要是土壤湿
度）影响的数学模型。
（3） 根据文献和机理分析求得载畜率、植物自身生长规律土壤湿度如何影响植被生物
量。
（4） 构建得到放牧策略对植被生物量影响的数学模型。
图4.1 问题一思维导图
4.2 模型建立与求解
4.2.1 不同放牧策略对土壤性质（土壤湿度）影响的机理模型
根据土壤含水量-降水量-地表蒸发模型得到土壤含水量的变化率与牧区供水率、地表蒸散发率的数学关系为
考虑到牧区降水随天气变化而非认为控制，在此不多加讨论，仅对地表蒸散发率的机理模型进行讨论。
通过查阅文献得到多种测算蒸散发方法，例如波文比能量平衡法、空气动力学方法、涡度相关法、Penman-Monteith(P-M)公式等，上述方法均可以进行地表蒸发率的测算[1]。同时，有学者发现地表蒸发率与该地域的时空分布、气象条件、土壤含水量、植被覆盖等因素彼此关联又相互制约[2]。针对本文所研究的锡林郭勒草原，与地表蒸散发率关系最密切的是地表的植被覆盖率。通过简单分析易知植被覆盖率越高，地表蒸散发率越低，即
公式为
盖度，其表达式为
其中w表示植被生物量。随着植被生物量的增多，势必伴随着枯荣生长更替，同时种群数量进一步接近环境容纳量，进而达到饱和，因此枯萎率必须纳入考虑，枯萎率的表达公式为
那么
根据式(4.8)可以看出枯萎率与土壤植被覆盖率有正相关作用，考虑到在一定范围内可以将正相关作用简化为正比例关系，不妨设
在放牧过程中，牲畜会对植物进行踩踏，随着畜牧密度的增加，最大枯萎率也会随之增加，故得到最大枯萎率和畜牧密度的关系为
代入式(4.9)整理得到
一方面，适当放牧会刺激植物的超补偿生长。由于家畜的适度采食践踏造成植被枯萎，得到的枯落物分解充分进入土壤，从而提高土壤有机质和氮和钾含量，增加土壤肥力，促进植物生长。另一方面，过度放牧会加重土壤盐碱化程度，进一步降低植物的生长速率。
因此引入logistic影响因子表达这一促进与抑制的转折关系，即
整理得到
代入地表蒸发率表达式有
(4.14)
代入式(4.1)得到放牧强度（畜牧密度）对锡林郭勒草原土壤湿度影响的数学模型为
根据式(4.15)可以得到土壤湿度的主要影响因素有牧区降水、植被生物量（盖度）、最大生长率以及放牧强度。
4.2.2 不同放牧策略对植被生物量影响的机理模型（基于logistic模型）
植被生物量的变化主要受到两方面的影响：一方面，自然因素的恶劣（地表因素和气候因素）与否会影响植被生长的快慢，在植物自身生长规律的基础上，畜牧强度会影响土壤湿度的变化，而土壤湿度的变化会引起植物生长速度的变化。另一方面，载畜率会影响植被生长的快慢，适当的畜牧密度有利于枯落物分解，充分进入土壤，提高土壤肥力，而畜牧密度过大会破坏草原植被结构，不利于植物的生长。下面将对这两大影响因素进行详细讨论，并得到不同放牧策略对锡林郭勒草原植被生物量的影响。
对于自然因素，查阅相关文献得到植物自身生长可以采用logistic模型
除植物的内禀增长率外，草原所处的气候等环境指标，如降水、温度、土壤湿度、土壤 PH、营养等都决定植物的生长情况。其中降水和温度可以通过土壤湿度指标衡量，其余指标一方面在经纬海拔的地域约束之下，相对变化较少，另一方面无法对植物生长产生直接影响。因此对于自然因素，通过主成分分析进一步降维，只抓住主要影响因素，考虑土壤含水率对植物生长的影响。
考虑到在一定范围内，土壤湿度越大，植被生物量增长越快，不妨设土壤湿度对植被
生物量的作用呈一次线性关系，即对植物自身生长规律模型做出修正得
其中表示土壤含水率。由于放牧强度会对植被率造成影响，因此会间接影响植被生
物量的变化。
对于人文因素，主要考虑人畜活动带来的影响。草原作为牧区，主要关注放牧方式和放牧强度等主观活动指标。
一方面，因为牲畜对植物的采食造成植被生物量减少，查阅资料可得一只标准羊一天需要吃 2000g 干草（植被生物量），实验以 1m*1m 的牧户面积进行实验，而畜牧密度以公顷为单位，因此经过单位转换，得到一只标准羊一天的进食量为
Z=0.2g/m2 (4.18)
整理得到畜牧密度引起植被生物量变化的公式为
牲畜采食的天数。
另一方面，适当的放牧会刺激植物的超补偿生长，增加了植物原有的生长速率，而不合理的放牧也会造成土壤盐碱化、板结化，降低植物的生长速率。根据文献[3]得到放牧对植被生物量变化的影响可以表达为
S表示单位面积畜牧密度，w表示植被生物量。
结合自然因素、牲畜采食和放牧对植被生物量的共同影响，得到不同放牧策略对植被生物量影响的模型为
结合式(4.17)(4.19)(4.20)(4.22)整理得到
4.2.3 模型小结与扩展
由于除了部分区域禁牧外，很多草原实行划区轮牧以及生长季休牧，因此上述分析仅建立在放牧方式不变的情况下进行讨论，现将放牧方式纳入牲畜密度考虑，做出修正如下
其中S’表示加入放牧方式修正系数后的单位面积相对牲畜密度，i表示不同放牧方式对单位面积牲畜密度的影响，即修正系数，S表示单位面积牲畜密度。对于文献中给定的五种放牧方式，分别对取值为
综上，得到修正后的模型方程组为
4.3 模型验证和分析
根据张蕴薇所测数据，土壤含水量随畜牧密度的增加先增加后减小[4]，这时由于放牧导致植被盖度降低，在雨后水分下渗很慢，滞留在土壤表层，造成土壤含水量增加，当放牧强度过大时，土壤板结化的影响超过了雨水滞留的影响，土壤含水量减小。这进一步验证了上述所给的放牧策略对土壤湿度影响的模型
5 问题二的分析及模型建立与求解
5.1 问题描述及分析
问题二是研究基于土壤蒸发与降水数据的土壤湿度建模与预测问题。对于问题二的分
析建立在保持目前放牧策略不变的情况下，即不考虑放牧方式与放牧强度对土壤湿度的影
响，针对附件3中的土壤湿度数据、附件4中的土壤蒸发数据以及附件8中的降水数据（均基于2012-2022年），构建基于土壤蒸发与降水数据的土壤湿度模型，并以此对2022年、2023年不同深度土壤湿度进行预测。因此，问题二的解答需要分为四步：
（1） 应用K-means聚类算法进行数据处理。
（2） 应用最小二乘法拟合建立基于土壤蒸发与降水数据的土壤湿度微分方程模型。 （3） 应用季节系数法分别预测2022、2023年各月降水量、蒸发量。
（4） 根据土壤湿度微分方程模型求解2022、2023年各月土壤湿度预测值。
问题二
应用K-means聚类算法
进行数据处理
建立基于土壤蒸发与降水数
据的土壤湿度模型
应用季节系数法
预测2022、2023年各月
降水量、蒸发量
根据微分方程求解
2022、2023年各月土壤
湿度预测值
结果与分析
结束
图5.1 问题二求解思路
18
5.2 模型建立与求解
5.2.1 数据处理
内蒙古锡林郭勒草原是温带草原中具有代表性和典型性的草原，其气候类型为温带半
干旱型草原气候，年平均降水量为340mm，降水主要集中在6-9月。将2012-2022年每月的降水量绘制成折线图，如图 5.2 所示，可以看到内蒙古锡林郭勒草原的降水量随季节呈周期性变化。
图5.2 锡林郭勒草原2012-2022年每月降水量变化图
同样将2012-2022年每月的蒸发量绘制成折线图，如图5.3所示，可以看到内蒙古锡林郭勒草原的蒸发量同样随季节呈周期性变化。
图5.3 锡林郭勒草原2012-2022年每月蒸发量变化图
考虑到上述数据皆存在周期性与波动性，为简化分析，对降水量和蒸发量进行K-means聚类算法分析。对附件 8 所给的锡林郭勒盟气候指标观测量，将提供的平均气温(℃)、平均最高气温(℃)、平均最低气温(℃)、平均气温≥18℃的天数、平均气温≤0℃的天数、降水量(mm)、最大单日降水量(mm)、降水天数、平均风速(knots)、最高气温极值(℃)、最低气温极值(℃)、平均露点温度(℃)进行 K-means 均值聚类处理，经过 3 次迭代完成聚类中心的收敛确定，对指标进行聚类算法分析，得到四个聚类中心，结果如表5.1所示
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