20241022模拟赛A.枚举高手考虑dp，设\(f_{i,j}\)表示考虑到第\(i\)个数，和为\(j\)的答案，\(g_{i,j}\)表示方案数。考虑两种转移：一种是在原序列的末尾加上一个\(1\)，一种是把现有的数一起加上\(1\)，容易发现这样既能保证有序性又能不重不漏。时间复杂度\(O(nm)\)。最近总

在研究某些实际问题时，会遇到由几个微分方程联立起来共同确定几个具有同一自变量的函数的情况。这些联立的微分方程称为微分方程组。如果微分方程组中的每一个微分方程都是常系数线性微分方程，那么，这种微分方程组就叫做常系数线性微分方程组。对于常系数线性微分方程组，我们可以用

形如\[x^ny^{(n)}+p_1x^{n-1}y^{(n-1)}+\cdots+p_{n-1}xy'+p_ny=f(x)\tag{1}\]的方程（其中\(p_1,p_2,\cdots,p_n\)为常数），叫做欧拉方程。作变换\(x=\mathrm{e}^t\)或\(t=\lnx\)，将自变量\(x\)换成\(t\)，有\[\begin{align*}\cfrac{

目录一、\(f(x)=\mathrm{e}^{\lambdax}P_m(x)\)型二、\(f(x)=\mathrm{e}^{\lambdax}[P_l(x)\cos\omegax+Q_n(x)\sin\omegax]\)型二阶常系数非齐次线性微分方程的一般形式是\[y''+py'+qy=f(x)\tag{1}\]其中\(p,q\)是常数由之前的内容可知，求二阶

前情概要如果没有笛卡尔平面直角坐标系，那么涉及平面向量的问题只能用基向量的方法[形的角度]求解，不能用代数方法[数的角度]计算；同理如果没有空间直角坐标系的介入，立体几何中的问题也就只能从形的角度思考，而不能用代数方法[数的角度]来计算；所以建系的目的主要是想把有关形的问题，通

在二阶齐次线性微分方程\[y''+P(x)y'+Q(x)y=0\tag{1}\]中，如果\(y',y\)的系数\(P(x),Q(x)\)均为常数，即\((1)\)式成为\[y''+py'+qy=0\tag{2}\]其中\(p,q\)是常数，那么称\((2)\)为二阶常系数齐次线性微分方程。如果\(p,q\)不全为常数，就称\((1

目录一、线性微分方程的解的结构*二、常数变易法方程\[\cfrac{\mathrm{d}^2y}{\mathrm{d}x^2}+P(x)\cfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}+Q(x)=f(x)\tag{1}\]叫做二阶线性微分方程。当方程右端\(f(x)\equiv0\)时，方程叫做齐次的；当\(f(x)\not\equiv0\)时，方程叫做非

前情概要看到学生对指数不等式和对数不等式比较陌生，故从这篇各种不等式的解法收集博文中分离出来单独成篇，详细说明这两种恼人的不等式的解法算理.指数不等式我们知道，\(2^x\)称为指数式，那么含有指数式的不等式就可以称为指数不等式了，最简单的指数不等式，举个例子，\(2^x\)\(>\)\(

目录一、\(y^{(n)}=f(x)\)型的微分方程二、\(y''=f(x,y')\)型的微分方程三、\(y''=f(y,y')\)型的微分方程一、\(y^{(n)}=f(x)\)型的微分方程微分方程\[y^{(n)}=f(x)\tag{1}\]的右端仅含有自变量\(x\)。容易看出，只要把\(y^{(n-1)}\)作为新的未知函数，那

@目录一、线性方程*二、伯努利方程一、线性方程方程\[\cfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}+P(x)y=Q(x)\tag{1}\]叫做一阶线性微分方程，因为它对于未知函数\(y\)及其导数是一次方程。如果\(Q(x)\equiv0\)，那么方程\((1)\)称为齐次的；如果\(Q(x)\not\equiv0\)，那么方

目录一、齐次方程*二、可化为齐次的方程一、齐次方程如果一阶微分方程可化成\[\cfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=\varphi\left(\cfrac{y}{x}\right)\tag{1}\]的形式，那么就称这方程为齐次方程。在齐次方程\[\cfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=\varphi\left(\cfrac

讨论一阶微分方程\[y'=f(x,y)\tag{1}\]的一些解法。一阶微分方程有时也写成如下的对称形式：\[P(x,y)\mathrm{d}x+Q(x,y)\mathrm{d}y=0\tag{2}\]在方程\((2)\)中，变量\(x\)与\(y\)对称，它既可以看作是以\(x\)为自变量\(y\)为因变量的方程\[\cfrac{\mathr

目录一、定积分的换元法二、定积分的分部积分法一、定积分的换元法定理设函数\(f(x)\)在区间\([a,b]\)上连续，函数\(x=\varphi(t)\)满足条件：（1）\(\varphi(\alpha)=a,\varphi(\beta)=b\)；（2）\(\varphi(t)\)在\([\alpha,\beta]\)（或\([\beta,\alpha]\)）上具

目录一、积分上限的函数及其导数二、牛顿-莱布尼茨公式一、积分上限的函数及其导数定理1如果函数\(f(x)\)在区间\([a,b]\)上连续，那么积分上限的函数\[\Phi(x)=\int_a^xf(t)\mathrm{d}t\]在\([a,b]\)上可导，并且它的导数\[\Phi'(x)=\cfrac{\mathrm{d}}{\mathr

目录一、定积分的定义1.定义2.定积分的几何意义二、定积分的近似计算1.矩形法2.梯形法3.抛物线法三、定积分的性质一、定积分的定义1.定义定义设函数\(f(x)\)在\([a,b]\)上有界，在\([a,b]\)中任意插入若干个分点\[a=x_0<x_1<x_2<\cdots<x_{n-1}<x_n=

第二类换元法是：适当选择变量代换\(x=\psi(t)\)，将积分\(\intf(x)\mathrm{d}x\)化为积分\(\intf[\psi(t)]\psi'(t)\mathrm{d}t\).这是另一种形式的变量代换，换元公式可表达为\[\intf(x)\mathrm{d}x=\intf[\psi(t)]\psi'(t)\mathrm{d}t\]这公式成立是需要一定条件

设\(f(u)\)具有原函数\(F(u)\)，即\[F'(u)=f(u),\quad\intf(u)\mathrm{d}u=F(u)+C\]如果\(u\)是中间变量：\(u=\varphi(x)\)，且设\(\varphi(x)\)可微，那么根据复合函数微分法，有\[\mathrm{d}F[\varphi(x)]=f[\varphi(x)]\varphi'(x)\mathrm{

前情概要本博文是从例说提高运算的速度+准确度中分离处理单独成篇.技巧总结✍️遇到含有指数式的分式型函数判断奇偶性时，乘法比除法快；引例1，比如判断\(f(x)=\cfrac{2^x-1}{2^x+1}\)的奇偶性，分析：定义域为\(R\)，关于原点对称，且有\(f(-x)\)\(=\)\(\cfrac{2^{-x}-1}{2^{-x}+1

前情概要新定义习题01典例剖析【2020陕西省质检二习题】定义：\(N\{f(x)\otimesg(x)\}\)表示\(f(x)<g(x)\)的解集中的整数解的个数.若\(f(x)\)\(=\)\(|log_2x|\)，\(g(x)\)\(=\)\(a(x-1)^2+2\)，\(N\{f(x)\otimesg(x)\}=1\)，则实数\(a\)的范围是【\(\qquad\)】$A.(-3,-1]$$B.(-\i

前情概要正三棱台的概念，表面积，体积公式，相比较棱柱和棱锥，我们对棱台不是非常熟悉，尤其是其体积公式，请参阅相关内容.动态演示结合上图，你能说出正三棱台的各部分的名称吗？你能自行画出正三棱台的图形吗？典例剖析【2025届高三质检一试题】已知正三棱台\(ABC-A_1B_1C_1\)的上底面

目录一、原函数与不定积分的概念二、基本积分表三、不定积分的性质一、原函数与不定积分的概念定义1如果在区间\(I\)上，可导函数\(F(x)\)的导函数为\(f(x)\)，即对任一\(x\inI\)，都有\[F'(x)=f(x)或\mathrm{d}F(x)=f(x)\mathrm{d}x,\]那么函数\(F(x)\)就称

目录一、弧微分二、曲率及其计算三、曲率圆与曲率半径*四、曲率中心的计算公式渐屈线与渐伸线一、弧微分设函数\(f(x)\)在区间\((a,b)\)内具有连续导数。在曲线\(y=f(x)\)上取固定点\(M_0(x_0,y_0)\)作为度两户唱的基点，并规定依\(x\)增大的方向为曲线的正向。对

利用导数描绘函数图形的一般步骤如下：（1）确定函数\(y=f(x)\)的定义域及函数所具有的某些特性（如奇偶性、周期性等），并求出函数的一阶导数\(f^{'}(x)\)和二阶导数\(f^{''}(x)\)；（2）求出一阶导数\(f^{'}(x)\)和二阶导数\(f^{''}(x)\)在函数定义域内的全部零点，并求出函数\(f(x)

泰勒（Taylor）中值定理1如果函数\(f(x)\)在\(x_0\)处具有\(n\)阶导数，那么存在\(x_0\)的一个邻域，对于该领域内的任一\(x\)，有\[f(x)=f(x_0)+f^{'}(x_0)(x-x_0)+\cfrac{f^{''}(x_0)}{2!}(x-x_0)^2+\cdots+\cfrac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n+R_n(x),