设 \(f(u)\) 具有原函数 \(F(u)\) ，即
\[F'(u) = f(u), \quad \int f(u) \mathrm{d}u = F(u) + C \]如果 \(u\) 是中间变量：\(u = \varphi(x)\) ，且设 \(\varphi (x)\) 可微，那么根据复合函数微分法，有
\[\mathrm{d} F[\varphi (x)] = f[\varphi (x)] \varphi'(x) \mathrm{d} x \]从而根据不定积分定义，得
\[\int f[\varphi (x)] \varphi'(x) \mathrm{d} x = F[\varphi (x)] + C = \left[ \int f(u) \mathrm{d}u \right]_{u = \varphi (x)} \]于是有下述定理：
定理1 设 \(f(u)\) 具有原函数，\(u = \varphi(x)\) 可导，则有换元公式
\[\int f[\varphi (x)] \varphi'(x) \mathrm{d}x = \left[ \int f(u) \mathrm{d}u \right]_{u = \varphi (x)} . \tag{1} \]
由此定理可见，虽然 $ \int f[\varphi (x)] \varphi'(x) \mathrm{d}x $ 是一个整体的记号，但从形式上看，被积表达式中的 \(\mathrm{d}x\) 也可当做变量 \(x\) 的微分来对待，从而微分等式 \(\varphi'(x)\mathrm{d}x = \mathrm{d}u\) 可以方便地应用到被积表达式中来。
应用公式 \((1)\) 来求不定积分，可以设 \(\int \mathrm{g}(x)\mathrm{d}x\) ，如果函数 \(\mathrm{g}(x)\) 可以化为 \(\mathrm{g}(x) = f[\varphi(x)] \varphi'(x)\) 的形式，那么
\[\int \mathrm{g}(x)\mathrm{d}x = \int f[\varphi(x)] \varphi'(x) \mathrm{d}x = \left[ \int f(u)\mathrm{d}u \right]_{u = \varphi (x)} , \]这样，函数 \(\mathrm{g}(x)\) 的积分即转化为函数 \(f(u)\) 的积分。如果能求得 \(f(u)\) 的原函数，那么也就得到了 \(\mathrm{g}(x)\) 的原函数。
例1 求 \(\int 2 \cos 2x \mathrm{d}x\)
解：被积函数中，\(\cos 2x\) 是一个由 \(\cos 2x = \cos u, u = 2x\) 复合而成的复合函数，常数因子恰好是中间变量 \(u\) 的导数。因此，做变换 \(u = 2x\) ，便有
再以 \(u = 2x\) 代入，即得
\[\int 2 \cos 2x \mathrm{d}x = \sin 2x + C. \]例2 求 \(\int \cfrac{1}{3 + 2x} \mathrm{d}x\) .
解：被积函数 \(\cfrac{1}{3 + 2x} = \cfrac{1}{u} ,u = 3 + 2x\) 。这里缺少 \(\cfrac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}x} = 2\) 这样一个因子，但由于 \(\cfrac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}x}\) 是个常数，故可改变系数凑出这个因子：
从而令 \(u = 3 + 2x\) ，便有
\[\begin{align*} \int \cfrac{1}{3 + 2x} \mathrm{d}x &= \int \cfrac{1}{2} \cdot \cfrac{1}{3 + 2x} (3 + 2x)' \mathrm{d}x = \int \cfrac{1}{2} \cdot \cfrac{1}{u} \mathrm{d}u \\ &= \cfrac{1}{2} \ln{|u|} + C = \cfrac{1}{2} \ln{|3 + 2x|} + C . \end{align*} \]一般地，对于积分 \(\int f(ax + b) \mathrm{d}x (a \neq 0)\) ，总可作变换 \(u = ax + b\) ，把它化为
\[\int f(ax + b) \mathrm{d}x = \int \cfrac{1}{a} f(ax + b) \mathrm{d}(ax + b) = \cfrac{1}{a} \left[ \int f(u) \mathrm{d}u \right]_{u = ax + b} \]
例3 求 \(\int \cfrac{x^2}{(x + 2)^3} \mathrm{d}x\) .
解：令 \(u = x + 2, \mathrm{d}x = \mathrm{d}u\) ,于是
例4 求 \(\int 2x \mathrm{e}^{x^2} \mathrm{d}x\) .
解：被积函数中的一个因子为 \(\mathrm{e}^{x^2} = \mathrm{e}^u, u = x^2\) ,剩下的因子 \(2x\) 恰好是中间变量 \(u = x^2\) 的导数，于是有
例5 求 \(\int x \sqrt{1 - x^2} \mathrm{d}x\) .
解：设 \(u = 1 - x^2\) ,则 \(\mathrm{d}u = -2x \mathrm{d}x\) ,即 \(- \cfrac{1}{2} \mathrm{d}u = x \mathrm{d}x\) ,因此，
例6 求 \(\int \cfrac{1}{a^2 + x^2} \mathrm{d}x\) .
解：
例7 求 \(\int \cfrac{\mathrm{d}x}{\sqrt{a^2 - x^2}}\) .
解：
例8 求 \(\int \cfrac{1}{x^2 - a^2}\mathrm{d}x\) .
解：由于
所以
\[\begin{align*} \int \cfrac{1}{x^2 - a^2}\mathrm{d}x &= \cfrac{1}{2a} \int \left( \cfrac{1}{x - a} - \cfrac{1}{x + a} \right) \mathrm{d}x = \cfrac{1}{2a} \left( \int \cfrac{1}{x - a} \mathrm{d}x - \int \cfrac{1}{x + a}\mathrm{d}x \right) \\ &= \cfrac{1}{2a} \left[ \int \cfrac{1}{x - a} \mathrm{d}(x - a) - \int \cfrac{1}{x + a}\mathrm{d}(x + a) \right] \\ &= \cfrac{1}{2a} (\ln{|x - a|} - \ln{|x + a|}) + C \\ &= \cfrac{1}{2a} \ln{\left| \cfrac{x - a}{x + a} \right|} + C . \end{align*} \]例9 求 \(\int \cfrac{\mathrm{d}x}{x(1 + 2\ln x)}\) .
解：
例10 求 \(\int \cfrac{\mathrm{e}^{3 \sqrt{x}}}{\sqrt x} \mathrm{d}x\) .
解：由于 \(\mathrm{d} \sqrt x = \cfrac{1}{2} \cfrac{\mathrm{d}x}{\sqrt x}\) ,因此，
例11 求 \(\int \sin^3 x \mathrm{d}x\) .
解：
例12 求 \(\int \sin^2x \cos^5x \mathrm{d}x\)
解：
一般地，对于 \(\sin^{2k + 1}x \cos^n x\) 或 \(\sin^n x \cos^{2k + 1} x\) （其中 \(k \in \mathbb{N}\)）型函数的积分，总可依次作变换 \(u = \cos x\) 或 \(u = \sin x\) ,求的结果。
例13 求 \(\int \tan x \mathrm{d}x\) .
解：
类似地可得
\[\int \cot x \mathrm{d}x = \ln{|\sin x|} + C . \]例14 求 \(\int \cos^2 x \mathrm{d}x\) .
解：
例15 求 \(\int \sin^2x \cos^4x \mathrm{d}x\) .
解：
一般地，对于 \(\sin^{2k}x \cos^{2l}x (k, l \in \mathbb{N})\) 型函数，总可利用三角恒等式：\(\sin^2x = \cfrac{1}{2} (1 - \cos 2x), \cos^2x = \cfrac{1}{2}(1 + \cos 2x)\) 化成 \(\cos 2x\) 的多项式，然后采用例15中的方法求得积分。
例16 求 \(\int \sec^6x \mathrm{d}x\) .
解：
例17 求 \(\int \tan^5x \sec^3x \mathrm{d}x\) .
解：
一般地，对于 \(\tan^nx \sec^{2k}x\) 或 \(\tan^{2k - 1}x \sec^nx (n, k \in \mathbb{N}_+)\) 型函数的积分，可依次做变换 \(u = \tan x\) 或 \(u = \sec x\) 求得结果。
例18 求 \(\int \csc x \mathrm{d}x\) .
解：
因为
\[\tan \cfrac{x}{2} = \cfrac{\sin \cfrac{x}{2}}{\cos \cfrac{x}{2}} = \cfrac{2 \sin^2 \cfrac{x}{2}}{\sin x} = \cfrac{1 - \cos x}{\sin x} = \csc x - \cot x , \]所以上述不定积分又可表示为
\[\int \csc x \mathrm{d}x = \ln{|\csc x - \cot x|} + C . \]例19 求 \(\int \sec x \mathrm{d}x\) .
解：利用上例结果，有
例20 求 \(\int \cos 3x \cos 2x \mathrm{d}x\) .
解：利用三角函数积化和差公式
得
\[\cos 3x \cos 2x = \cfrac{1}{2}(\cos x + \cos 5x), \]于是
\[\begin{align*} \int \cos 3x \cos 2x \mathrm{d}x &= \cfrac{1}{2} \int (\cos x + \cos 5x) \mathrm{d}x \\ &= \cfrac{1}{2} \left[ \int \cos x \mathrm{d}x + \cfrac{1}{5} \int \cos 5x \mathrm{d}(5x) \right] \\ &= \cfrac{1}{2} \sin x + \cfrac{1}{10} \sin 5x + C. \end{align*} \]上述各例用的都是第一类换元法，即形如 \(u = \varphi (x)\) 的变量代换。
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