简单的数学题题目描述由于出题人懒得写背景了，题目还是简单一点好。输入一个整数\(n\)和一个整数\(p\)，你需要求出：\[\left(\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^nij\gcd(i,j)\right)\bmodp\]其中\(\gcd(a,b)\)表示\(a\)与\(b\)的最大公约数。输入格式一行两个整数\(p,n\)。

椭圆的第二定义平面内到定点\(F(c，0)\)的距离和到定直线\(\displaystylel:x=\frac{a^{2}}{c}\)（点\(F\)不在\(l\)上）的距离之比为常数\(\displaystyle\frac{c}{a}\)（即离心率\(e\)，\(0<e<1\)）的点的轨迹是椭圆。(即点\(P\)轨迹)其中定点\(F\)为椭圆的焦点，定直线\(l\)称为椭圆的

[国家集训队]Crash的数字表格/JZPTAB题目描述今天的数学课上，Crash小朋友学习了最小公倍数（LeastCommonMultiple）。对于两个正整数\(a\)和\(b\)，\(\text{lcm}(a,b)\)表示能同时被\(a\)和\(b\)整除的最小正整数。例如，\(\text{lcm}(6,8)=24\)。回到家后，Crash还在想

[SDOI2015]约数个数和题目描述设\(d(x)\)为\(x\)的约数个数，给定\(n,m\)，求\[\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^md(ij)\]输入格式输入文件包含多组测试数据。第一行，一个整数\(T\)，表示测试数据的组数。接下来的\(T\)行，每行两个整数\(n,m\)。输出格式\(T\)行，每行一个整数，表

[SDOI2014]数表题目描述有一张\(n\timesm\)的数表，其第\(i\)行第\(j\)列（\(1\lei\len\)，\(1\lej\lem\)）的数值为能同时整除\(i\)和\(j\)的所有自然数之和。给定\(a\)，计算数表中不大于\(a\)的数之和。输入格式输入包含多组数据。输入的第一行一个整数\(Q\)表

其实是因为莫反的题非常非常要用这个所以才来学。有些莫反甚至要求灵活运用，而不只是求\(\sum\mu(n)\)和\(\sum\phi(n)\)前置的芝士狄利克雷卷积对于两个数论函数\(f,g\)，他们两个函数的前\(n\)项的狄利克雷卷积表示为\((f*g)(n)\)，\((f*g)(n)=\displaystyle\sum_{d|n}f(d)g(\fra

来自这位大佬的视频的整理先整理几个重要的数论函数。1.莫比乌斯函数$\mu(n)$当\(n=1\)时取1，当\(n\)存在平方因子的时候取0，否则取\((-1)^k\)，其中\(k\)是\(n\)所含的质因子数量。2.欧拉函数\(\phi(n)=\displaystyle\sum_{d=1}^n[gcd(d,n)=1]\)，就是小于等于n且与\(n\)互质

P6222「P6156简单题」加强版\(T\)组询问。一开始给定一个常数\(m\)。每次询问单独给定\(n\)。请你求出：\(\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n}(i+j)^m\gcd(i,j)\mu^2(\gcd(i,j))\pmod{2^{32}}\)枚举k=(i,j)\(\displaystyle\sum_{k}k\mu^{2}(k)\sum_{i=1}^{n/k}\sum_{j=1}^

考虑竖直下落水柱中的\(AB\)两点\[\begin{matrix}\displaystyle\frac12\rhoU_0^2+\rhogz+P_A=\frac12\rhoU^2(z)+P_B\\[2ex]\displaystyle\nabla\cdotn=\frac1{R_1}+\frac1{R_2}\approx\frac1r\\[2.5ex]\displaystyleP_A\approxP_0+\frac\gammaa,

Day10考试T3形式化题意，给定\(n,m\)，求\(\sum^n_{i=1}\sum^m_{j=1}\displaystyle\begin{pmatrix}n\\i\\\end{pmatrix}\displaystyle\begin{pmatrix}i\\j\\\end{pmatrix}\)推式子:\[\sum^n_{i=1}\sum^m_{j=1}\displaystyle\begin{pmatrix}n\\i

n=0,1,2,

声明：在本节范围内，所有同余号（多项式运算）均在\((\text{mod}x^n)\)意义下进行；所有等号（代数运算）均在模某个质数\(p\)意义下进行。暴力多项式计算加法\(H(x)=F(x)+G(x)\)，求\(H(x)\)解：类比高精度加法\(h_i=f_i+g_i\)，复杂度\(O(n)\)#include<bits/stdc++.h>usingnames

傅里叶级数和信号频谱对于一个确定的时域信号，我们只需要知道它的函数表达式就可以在任意时刻确定一个信号，但是各种场景下中我们需要的往往并不是这样的解析式，因为这些复杂的式子首先难以快速准确地获得，另外难以进行快速进行分析，其中所蕴含的信息也难以提取。因此需要一种更高效的

一、组合数1.递推式$\displaystyle\binom{n}{m}=\displaystyle\binom{n-1}{m-1}+\displaystyle\binom{n-1}{m}$证：左边相当于从$n$个数中选$m$个数，右边枚举第$n$个数选不选。如果选，就从剩下$n-1$个数中选$m-1$个；如果不选，就从剩下$n-1$个数中选$m$个。2.对称性

欢迎来看“片”（的简介）由于-\(看片\)-生涯转瞬即逝，于是我选择对“\(片\)”进行一定的总结：相信你一定看懂了由于开始的时间有一点晚，就姑且认为我以后会慢慢补充吧......\(CF1789F\)\(Serval\)\(and\)\(Brain\)\(Power\)解：DP见过狗的，没见过这么狗的：分\(3\)类讨论：首先

由于-\(看片\)-生涯转瞬即逝，于是我选择对“\(片\)”进行一定的总结：相信你一定看懂了由于开始的时间有一点晚，就姑且认为我以后会慢慢补充吧......——\(CF1789F\)\(Serval\)\(and\)\(Brain\)\(Power\)——解：见过狗的，没见过这么狗的：分\(3\)类讨论：首先对于偶数的，我们

Pick定理Pick定理：给定顶点均为整点的简单多边形，皮克定理说明了其面积A{\displaystyleA}A和内部格点数目

A读入两个字符串，交换第一位即可。B题意给定整数\(n\)，求一个整数\(x\)，满足：\(2\leqx\leqn\)。\(\displaystyle\sum\limits_{i=1}^ki\cdotx\)最大，其中\(k\)为满足\(kx\leqn\)最大的正整数。思路赛时思路可以直接枚举\(x\)的所有情况，暴力计算答案。

**(2024年新高考2卷19题)**已知双曲线$C:x^2-y^2=m\(m>0)$,点$P_1(5,4)$在$C$上,$k$为常数,$0<k<1$.按照如下方式依次构造点$P_n\\left(n=2,3,\cdots\right)$:过$P_{n-1}$作斜率为$k$的直线与$C$的左支交于点$Q_{n-1}$,令$P_n$为$Q_{n-1}$关于$y$轴的对称点,记$P_{n}$的坐标

枚举，故名思意，是一种把所有情况都列举出来，然后在所有情况中找到需要的答案，看似简单但是也需要加以思考1、找出质数如果一个数不能被自己和1以外的数字整除，那这个数就是质数。找出1~n中的所有质数，两个数之间用括号隔开10

一、转置原理若对于一个\(n\timesm\)的矩阵\(M\)，存在一个线性算法能够对于给定的\(m\)维列向量\(a\)，求出\(b=Ma\)，则一定存在一个线性算法能够在同时间复杂度内，对于一个给定的\(n\)维列向量\(b\)求出\(a=M^Tb\)。若第一个算法的过程为\(b=A_kA_{k-1}\cdots

AtCoderBeginnerContest353abc353_c题意：定义\(F(x,y)\)为\((x+y)mod10^8\)的值,求\(\displaystyle\sum_{i=1}^{N-1}\sum_{j=i+1}^Nf(A_i,A_j).\)思路：对于\(\displaystyle\sum_{i=1}^{N-1}\sum_{j=i+1}^N\f(A_i,A_j).\)来说，每个\(A_i\)的次数都是\(n-1\)次，所以如果没有\(m

四、机器学习1深度学习1.1线性回归与逻辑回归1.1.1线性回归1.1.1.1线性回归——二维线性回归方程1）原理讲述这个应该上过高中的小伙伴都听过,也都用过,那是在高中必修3中出现的知识点,考试也是会考的,可能你想不起那个公式了,但你肯定依稀的记得$\hat{a},\hat{b}$这两个

二项式系数更完整的思考过程以及代数推理过程都可以看数学书，所以我尽量给每个式子都赋予组合意义。因为在有足够强的代数推理能力之前，没有组合意义往往是困难的。恒等式赋予组合意义往往都是左边右边分开找意义。常见公式：\[\begin{aligned}\binom{n}{k}&=\binom{n}{n-k}\en

生成函数我们可以把生成函数看作是代数对象，其形式上的处理使得人们可以通过代数手段计算一个计数问题。通常我们默认级数是收敛的。(主要原因在于代数手段往往是需要保证收敛的)本文章不涉及多项式题目（交给考拉）普通生成函数的定义为：\[\displaystyle\sum_{n}a_nx^n\]常见的