新高一暑假第一期集训新课【笛卡尔树】(补)B.BeautifulPair如果构建一棵笛卡尔树的话那么两个点之间的\(max\)就在笛卡尔树的\(\operatorname{LCA}\)位置。所以对于每个位置维护一个线段树，然后每次暴力枚举小的那棵子树在大子树的线段树中查询即可。然后线段树合并或者

概率与期望定义期望：对于一个离散随机变量\(X\)，自变量的取值范围为\(\{x_1,x_2,x_3,...\,,x_n\}\)，\(P(x_i)\)为\(X=x_i\)的概率。其期望被定义为：\[E(X)=\sum^n_{i=1}x_iP(x_i)\]简单理解就是加权平均。公式贝叶斯公式：全概率公式：应用1、有\(k\)只小鸟，每只都只能活一天，但

质数唯一分解定理任意一个正整数都可以唯一地表示成若干个素数的乘积，其中素数因子从小到大依次出现（这里的“乘积”可以有0个、1个或多个素因子）。埃氏筛要得到自然数n以内的全部素数，必须把不大于根号n的所有素数的倍数剔除，剩下的就是素数。时间复杂度\(O(nlogn)\)a[1]=1;

前置知识积性函数积性函数指对于所有互质的整数$a$和$b$有性质$f(ab)=f(a)f(b)$的数论函数。若对于所有整数$a$和$b$都有性质$f(ab)=f(a)f(b)$成立，则称$f(n)$是完全积性的。例如$\phi(n)$为积性函数。数论函数定义数论函数（或称算术函数）指定

文章目录无穷限反常积分的审敛法无界函数的反常积分审敛法三、Γ\GammaΓ函数无穷限反常积分的审敛法定理1设函数f(x)f(x)f(x)在区间[a,+∞)[a,+\infty)[a,+∞)上连续，且f(x)⩾0f(x)\geqslant0f(x)⩾0.若函数F(x)=∫axf(t)dtF(x)=\int_a^xf(t)\mathrm{d}t

目录无穷限反常积分的审敛法无界函数的反常积分审敛法三、\(\Gamma\)函数无穷限反常积分的审敛法定理1设函数\(f(x)\)在区间\([a,+\infty)\)上连续，且\(f(x)\geqslant0\).若函数\[F(x)=\int_a^xf(t)\mathrm{d}t\]在\([a,+\infty)\)上有上界，则反常积分\(\disp

目录一、无穷限的反常积分二、无界函数的反常积分一、无穷限的反常积分设函数\(f(x)\)在区间\([a,+\infty)\)上连续，任取\(t>a\)，作定积分\(\displaystyle\int_a^tf(x)\mathrm{d}x\)，再求极限\[\lim_{t\to+\infty}\int_a^tf(x)\mathrm{d}x,\tag{1}\]这个对

目录一、积分上限的函数及其导数二、牛顿-莱布尼茨公式一、积分上限的函数及其导数定理1如果函数\(f(x)\)在区间\([a,b]\)上连续，那么积分上限的函数\[\Phi(x)=\int_a^xf(t)\mathrm{d}t\]在\([a,b]\)上可导，并且它的导数\[\Phi'(x)=\cfrac{\mathrm{d}}{\mathr

ProblemLink[AGC027B]GarbageCollector题意原题翻译已经很不错了，这里不再赘述。思路推论：每次取的垃圾数量应尽可能均分。证明如图，假设有\(4\)个垃圾需要被捡起，有两种取法：取一号垃圾+取二三四号垃圾。取一二号垃圾+取二三号垃圾。前者所需能量为：\(\display

前置芝士：欧拉说：$e^{i\theta}=cos(\theta)+isin(\theta)$定义单位根$\omega_{n}{k}=e{n}}$记$\theta=2\pi/n$,则$\omega_{n}{k}=e=cos(k\theta)+isin(k\theta)$$1.\omega_{n}{0}=e=1,\omega_{n}{n}=e=cos(2\pi)+isin(2\pi)=1$$2.(\omega_{n}{k})2=(e^{i2\pi\frac{k

Jensen不等式定义若\(f(x)\)为区间\(I\)上的下凸函数，则对于任意\(x_{i}\inI\)和满足\(\displaystyle\sum_{i=1}^{n}\lambda_{i}=1\)的\(\lambda_{i}\gt0\left(i=1,2,\cdots,n\right)\)，成立\[f\left(\sum_{i=1}^{n}\lambda_{i}x_{i}\right)

简单的数学题题目描述由于出题人懒得写背景了，题目还是简单一点好。输入一个整数\(n\)和一个整数\(p\)，你需要求出：\[\left(\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^nij\gcd(i,j)\right)\bmodp\]其中\(\gcd(a,b)\)表示\(a\)与\(b\)的最大公约数。输入格式一行两个整数\(p,n\)。

椭圆的第二定义平面内到定点\(F(c，0)\)的距离和到定直线\(\displaystylel:x=\frac{a^{2}}{c}\)（点\(F\)不在\(l\)上）的距离之比为常数\(\displaystyle\frac{c}{a}\)（即离心率\(e\)，\(0<e<1\)）的点的轨迹是椭圆。(即点\(P\)轨迹)其中定点\(F\)为椭圆的焦点，定直线\(l\)称为椭圆的

[国家集训队]Crash的数字表格/JZPTAB题目描述今天的数学课上，Crash小朋友学习了最小公倍数（LeastCommonMultiple）。对于两个正整数\(a\)和\(b\)，\(\text{lcm}(a,b)\)表示能同时被\(a\)和\(b\)整除的最小正整数。例如，\(\text{lcm}(6,8)=24\)。回到家后，Crash还在想

[SDOI2015]约数个数和题目描述设\(d(x)\)为\(x\)的约数个数，给定\(n,m\)，求\[\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^md(ij)\]输入格式输入文件包含多组测试数据。第一行，一个整数\(T\)，表示测试数据的组数。接下来的\(T\)行，每行两个整数\(n,m\)。输出格式\(T\)行，每行一个整数，表

[SDOI2014]数表题目描述有一张\(n\timesm\)的数表，其第\(i\)行第\(j\)列（\(1\lei\len\)，\(1\lej\lem\)）的数值为能同时整除\(i\)和\(j\)的所有自然数之和。给定\(a\)，计算数表中不大于\(a\)的数之和。输入格式输入包含多组数据。输入的第一行一个整数\(Q\)表

其实是因为莫反的题非常非常要用这个所以才来学。有些莫反甚至要求灵活运用，而不只是求\(\sum\mu(n)\)和\(\sum\phi(n)\)前置的芝士狄利克雷卷积对于两个数论函数\(f,g\)，他们两个函数的前\(n\)项的狄利克雷卷积表示为\((f*g)(n)\)，\((f*g)(n)=\displaystyle\sum_{d|n}f(d)g(\fra

来自这位大佬的视频的整理先整理几个重要的数论函数。1.莫比乌斯函数$\mu(n)$当\(n=1\)时取1，当\(n\)存在平方因子的时候取0，否则取\((-1)^k\)，其中\(k\)是\(n\)所含的质因子数量。2.欧拉函数\(\phi(n)=\displaystyle\sum_{d=1}^n[gcd(d,n)=1]\)，就是小于等于n且与\(n\)互质

P6222「P6156简单题」加强版\(T\)组询问。一开始给定一个常数\(m\)。每次询问单独给定\(n\)。请你求出：\(\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n}(i+j)^m\gcd(i,j)\mu^2(\gcd(i,j))\pmod{2^{32}}\)枚举k=(i,j)\(\displaystyle\sum_{k}k\mu^{2}(k)\sum_{i=1}^{n/k}\sum_{j=1}^

考虑竖直下落水柱中的\(AB\)两点\[\begin{matrix}\displaystyle\frac12\rhoU_0^2+\rhogz+P_A=\frac12\rhoU^2(z)+P_B\\[2ex]\displaystyle\nabla\cdotn=\frac1{R_1}+\frac1{R_2}\approx\frac1r\\[2.5ex]\displaystyleP_A\approxP_0+\frac\gammaa,

Day10考试T3形式化题意，给定\(n,m\)，求\(\sum^n_{i=1}\sum^m_{j=1}\displaystyle\begin{pmatrix}n\\i\\\end{pmatrix}\displaystyle\begin{pmatrix}i\\j\\\end{pmatrix}\)推式子:\[\sum^n_{i=1}\sum^m_{j=1}\displaystyle\begin{pmatrix}n\\i

n=0,1,2,

声明：在本节范围内，所有同余号（多项式运算）均在\((\text{mod}x^n)\)意义下进行；所有等号（代数运算）均在模某个质数\(p\)意义下进行。暴力多项式计算加法\(H(x)=F(x)+G(x)\)，求\(H(x)\)解：类比高精度加法\(h_i=f_i+g_i\)，复杂度\(O(n)\)#include<bits/stdc++.h>usingnames

傅里叶级数和信号频谱对于一个确定的时域信号，我们只需要知道它的函数表达式就可以在任意时刻确定一个信号，但是各种场景下中我们需要的往往并不是这样的解析式，因为这些复杂的式子首先难以快速准确地获得，另外难以进行快速进行分析，其中所蕴含的信息也难以提取。因此需要一种更高效的

一、组合数1.递推式$\displaystyle\binom{n}{m}=\displaystyle\binom{n-1}{m-1}+\displaystyle\binom{n-1}{m}$证：左边相当于从$n$个数中选$m$个数，右边枚举第$n$个数选不选。如果选，就从剩下$n-1$个数中选$m-1$个；如果不选，就从剩下$n-1$个数中选$m$个。2.对称性