椭圆三个定义(待更新)

椭圆的第二定义

平面内到定点 \(F(c，0)\)的距离和到定直线 \(\displaystyle l:x=\frac{a^{2}}{c}\)（ 点\(F\)不在\(l\)上）的距离之比为常数\(\displaystyle \frac{c}{a}\)（即离心率\(e\)，\(0<e<1\)）的点的轨迹是椭圆。(即点\(P\)轨迹)
其中定点\(F\)为椭圆的焦点，定直线\(l\)称为椭圆的准线〈该定直线的方程是\(\displaystyle x=\pm \frac{a^{2}}{c}\)（焦点在\(x\)轴上），或\(\displaystyle y=\pm \frac{a^{2}}{c}\)（焦点在\(y\)轴上）〉。
如图：
推导过程：

已知\(\displaystyle P(x,y),|PF|=\sqrt{(x-c)^{2} +y^{2}} ,|PQ|=\frac{a^{2}}{c} -x,\)

\(\displaystyle \frac{|PF|}{|PQ|} =\frac{\sqrt{(x-c)^{2} +y^{2}}}{\frac{a^{2}}{c} -x} =e=\frac{c}{a} ,\)

注：\(\displaystyle \frac{c}{a} =e\) 是一个常数，即离心率

两边同时平方，整理得：

\(\displaystyle (1-\frac{c^{2}}{a^{2}} )x^{2} +y^{2} =a^{2} -c^{2}\) ...........\(\displaystyle Ⅰ,\)

目前已知：\(\displaystyle a^{2} =b^{2} +c^{2} ,\)

故\(\displaystyle 1-\frac{c^{2}}{a^{2}}\)可看成\(\displaystyle \frac{a^{2} -c^{2}}{a^{2}}\)即\(\displaystyle \frac{a^{2}}{b^{2}} ,\)

所以\(\displaystyle Ⅰ\)式可以化简为\(\displaystyle \frac{a^{2}}{b^{2}} x^{2} +y^{2} =b^{2} ,\)

即\(\displaystyle \frac{x^{2}}{a^{2}} +\frac{y^{2}}{b^{2}} =1,\)

得证.