高等数学基本知识

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1. 函数与极限

1.函数

1.1 定义

函数f 是从一个集合 D（称为定义域，D包含于实数集R）到另一个集合 Y（称为值域）的映射。对于定义域中的每一个元素 x，函数f都指定了一个唯一的元素 y 在值域中，记作

其中x叫做自变量，y叫做因变量，f叫做映射规则，f(x)表示一个函数值。

函数的两要素是指函数的定义域和值域。

定义域是函数中所有可能的输入值的集合。换句话说，定义域是使得函数有意义的所有 xx 值的集合。

值域是函数中所有可能的输出值的集合。换句话说，值域是函数 f(x)f(x) 在定义域内所有可能的 yy 值的集合。

确定定义域和值域的方法

1. 定义域：

   • 代数方法：通过分析函数的表达式，确定哪些 xx 值使得函数有意义。例如，分母不能为零，对数函数的输入必须为正数，平方根的输入必须为非负数等。

   • 图形方法：通过绘制函数的图形，观察 x 轴上的范围，确定定义域。

2. 值域：

   • 代数方法：通过分析函数的表达式，确定 f(x) 的取值范围。例如，平方函数的结果总是非负的，正弦函数的结果在 −1 和 1 之间。

   • 图形方法：通过绘制函数的图形，观察 y 轴上的范围，确定值域。

1.2函数的特性

1.2.1 有界性

上界：存在一个实数k1，使得

下界：存在一个实数k2，使得

有界：

一个函数 f(x) 在其定义域 D 上称为有界的，如果存在两个实数 M 和 m，使得对于定义域中的任意x，都有：

其中：

• M 称为函数的上界。

• m 称为函数的下界。

一个函数有界的充要条件：既有上界，又有下界。

分类

根据函数的有界性，可以分为以下几种情况：

1. 有界函数：如果函数 f(x) 在其定义域 D 上既有上界又有下界，则称 f(x) 是有界函数。

2. 无界函数：如果函数 f(x) 在其定义域 D 上没有上界或没有下界，则称 f(x) 是无界函数。

1.2.2 单调性

定义

一个函数 f(x) 在其定义域 D 上称为单调的，如果对于定义域中的任意 x1 和 x2，当 x1<x2 时，有：

• 单调递增：如果 f(x1)≤f(x2)，则函数 f 是单调递增的。

• 严格单调递增：如果 f(x1)<f(x2)，则函数 f 是严格单调递增的。

• 单调递减：如果 f(x1)≥f(x2)，则函数 f 是单调递减的。

• 严格单调递减：如果 f(x1)>f(x2)，则函数 f 是严格单调递减的。

1.2.3 奇偶性

定义

一个函数 f(x) 在其定义域 D 上称为：

• 偶函数：如果对于定义域中的任意 x，都有 f(−x)=f(x)，则函数 f 是偶函数。偶函数的图形关于 y 轴对称。

• 奇函数：如果对于定义域中的任意 x，都有 f(−x)=−f(x)，则函数 f是奇函数。奇函数的图形关于原点对称。

1.2.4 周期性

定义

一个函数 f(x) 在其定义域 D 上称为周期函数，如果存在一个正数 T，使得对于定义域中的任意 x，都有：

其中 T称为函数的周期。如果存在最小的正数 T 满足上述条件，则称 T 为函数的最小正周期。

1.3 反函数

定义

给定一个函数 f:X→Y，如果存在一个函数 g:Y→X，使得对于 X 中的每一个 x，都有 g(f(x))=x，并且对于 Y 中的每一个 y，都有 f(g(y))=y，则称 g 为f 的反函数，记作

换句话说，反函数满足以下两个条件：

1. 对于 X 中的每一个x，有

   

2. 对于 Y 中的每一个 y，有

   

注意：原函数和反函数是关于y=x对称的。

存在条件

一个函数 f 存在反函数的充分必要条件是 f 是双射（即一一对应）。具体来说：

1. 一一对应：对于 X 中的任意两个不同的元素 x1 和 x2，都有 f(x1)≠f(x2)。

2. 满射：对于 Y 中的每一个元素 y，都存在 X 中的一个元素 x，使得 f(x)=y。

2.极限

2.1 数列极限

定义

一个数列 {an} 的极限是 L，如果对于任意给定的正数 ϵ，总存在一个正整数 N，使得对于所有 n>N，都有：

换句话说，当 n 足够大时，数列的项 an可以无限接近L。此时，我们称数列 {an} 收敛于 L，记作：

如果数列不收敛于任何有限值，则称该数列为发散的。

极限的性质

1. 唯一性：如果数列 {an}收敛，则其极限是唯一的。

2. 有界性：如果数列 {an}收敛，则它是有界的。

3. 保序性：如果数列 {an} 和 {bn} 都收敛，且对于所有 n，都有 an≤bn，则

   

4. 四则运算：如果数列 {an}和 {bn} 都收敛，则它们的和、差、积、商（分母不为零）的极限也存在，并且满足相应的极限运算法则。

2.2 函数的极限

定义

设函数 f(x) 在点 x=a 的某个去心邻域内有定义(在a处可以没有定义)。如果对于任意给定的正数 ϵ（无论它多么小），总存在正数 δ，使得当 0<∣x−a∣<δ 时，有

则称 L 为函数 f(x)当 x 趋近于 a 时的极限，记作

2.3 无穷大与无穷小

1. 无穷大：如果对于任意大的正数 M，总存在正数 δ，使得当 0<∣x−a∣<δ时，有 ∣f(x)∣>M，则称 f(x)在 x 趋近于 a 时趋向于无穷大，记作

   

   
   无穷大分为正无穷大和负无穷大。无穷大加无穷大不确定，因为如果负无穷大加正无穷大不知道为多少；同理无穷大减无穷大也不确定；无穷大除以无穷大也不确定；无穷大乘无穷大肯定为无穷大。

2. 无穷小：如果

   

   则称 f(x)在 x 趋近于a或趋近于∞ 时的无穷小。

3. 运算法则：

   1.无穷小加、减、乘无穷小都是无穷小

   2.有界函数与无穷小的乘积也为无穷小

   3.常数与无穷小的乘积也为无穷小

   4.无穷小除以无穷小不确定。

   注意：无穷小和负无穷大的区别及无穷小和非常小的数的区别。

   负无穷大也是无穷大，不是无穷小；非常小的数是一个常数，不是无穷小如果f(x)是无穷大，则1/f(x)为无穷小；如果f(x)是无穷小，则1/f(x)为无穷大。

2.4 无穷大极限

函数 f(x) 当 x趋于无穷大时，如果存在一个常数 A，使得对于任意小的正数 ϵ，总存在一个正数 X，使得当 ∣x∣>X 时， ∣f(x)−A∣<ϵ，则我们说 f(x) 当 x 趋于无穷大时的极限是 A。

具体分类：

1. 当 x→+∞ 时的极限：

   • 如果存在一个常数 A，使得对于任意小的正数 ϵ，总存在一个正数 X，使得当 x>X时， ∣f(x)−A∣<ϵ，则我们说 f(x)当 x→+∞ 时的极限是 A，记作

     

2. 当 x→−∞时的极限：

   • 如果存在一个常数 A，使得对于任意小的正数 ϵ，总存在一个正数 X，使得当 x<−X时， ∣f(x)−A∣<ϵ，则我们说 f(x) 当 x→−∞时的极限是 A，记作

     

2.5 极限存在准则

2.5.1 单调有界准则

如果函数 f(x)在某个区间上单调递增且有上界，或者单调递减且有下界，那么该函数在该区间上必定有极限。

2.5.2 夹逼定理

如果 f(x)≤g(x)≤h(x) 在 x=a 的某个去心邻域内成立，且

则

3.函数的连续性

3.1 连续性

在某点的连续性：

设函数 f(x)在点 x=a的某个邻域内有定义。

如果

则称函数 f(x) 在点 x=a 处连续。

归纳起来：

左连续：

设函数 f(x) 在点 x=a 的左侧有定义（即存在一个 δ>0，使得 (a−δ,a)内的所有 x 都有定义）。

如果

则称函数 f(x) 在点 x=a处左连续。

右连续：

设函数 f(x) 在点 x=a 的右侧有定义（即存在一个 δ>0，使得 (a,a+δ)内的所有 x 都有定义）。

如果

则称函数 f(x)在点 x=a 处右连续。

连续的充要条件

函数连续的充要条件：函数左右连续。

在区间的连续性：

如果函数 f(x) 在区间 (a,b) 内的每一点都连续，则称函数 f(x)在区间 (a,b) 内连续。

如果函数 f(x) 在区间 [a,b] 内的每一点都连续，并且在左端点 x=a 处右连续，在右端点 x=b 处左连续，则称函数 f(x) 在区间 [a,b] 上连续。

3.2 不连续点

定义

可去不连续点：

如果

存在且有限，但 f(a) 不存在或

则称 x=a 是 f(x)的可去不连续点。

跳跃不连续点：

如果

都存在且有极限，但

则称 x=a 是 f(x) 的跳跃不连续点。

无穷不连续点：

如果

不存在或为无穷大，则称 x=a是 f(x) 的无穷不连续点。

3.3 闭区间连续函数性质

零点定理：（后边会用）

设函数 f(x) 在闭区间 [a,b]上连续，并且 f(a) 和 f(b) 异号（即 f(a)⋅f(b)<0），则存在 c∈(a,b) 使得 f(c)=0。

介值定理：（后边会用）

设函数 f(x) 在闭区间 [a,b] 上连续，并且 f(a)≠f(b)。对于任意介于 f(a)和 f(b)之间的数 k（即 min⁡(f(a),f(b))<k<max⁡(f(a),f(b))），存在 c∈(a,b) 使得 f(c)=k。

零点定理与介值定理的关系：

零点定理是介值定理的特例：

• 零点定理可以看作是介值定理在 k=0时的特例。

• 如果 f(a)和 f(b)异号，则 0 介于 f(a) 和 f(b)之间，因此存在 c∈(a,b) 使得 f(c)=0。

导数

1.概念

1.1 导数定义

当函数y=f（x）的自变量x在一点x0上产生一个增量Δx时，函数输出值的增量Δy与自变量增量Δx的

即：

1.2 单侧导数

1.2.1 左导数

函数 f(x)在点 x=a 处的左导数定义为：

其中 h→0−表示 h 从负方向趋近于 0。

1.2.2 右导数

函数 f(x)在点 x=a处的右导数定义为：

其中 h→0+表示 h 从正方向趋近于 0。

1.2.3 导数的存在性

函数 f(x) 在点 x=a 处的导数 f′(a)存在，当且仅当左导数和右导数都存在且相等：

2.导数的几何意义

2.1 切线

由导数定义可知，f(x)在点 (a,f(a))处的斜率：

所以切线方程可以表示为：

其中：

• y 是切线上的点的纵坐标。

• f(a) 是函数在点 x=a 处的值。

• f′(a) 是函数在点 x=a 处的导数，即切线的斜率。

• x 是切线上的点的横坐标。

• a 是切点处的横坐标。

• 2.2 法线

  是与切线垂直的直线。切线的斜率为f'(a)，则法线的斜率为

  

   

  法线方程的一般形式是：

  

   

  其中：

• y 是法线上的点的纵坐标。

• f(a是函数在点 x=a处的值。

• f′(a)是函数在点 x=a处的导数，即切线的斜率。

• x 是法线上的点的横坐标。

• a 是法线点处的横坐标。

• 3.可导与连续的关系

  3.1 定义

  连续性

  一个函数 f(x) 在点 x=a 处连续，如果满足以下条件：

  

   

  这意味着当 x 接近 a 时，函数值 f(x)也接近 f(a)。换句话说，函数在点 x=a处没有跳跃或断裂。

  可导性

  一个函数 f(x) 在点 x=a处可导，如果它在该点处的导数存在，即：

  

   

  这意味着函数在点 x=a 处的变化率是有限的，并且有一个确定的值。

  所以从连续和可导定义看出，可导的条件比连续的条件更严格。

  3.2 定理

  1.可导性蕴含连续性

  2.连续性不一定蕴含可导性

微分

1.定义

微分是函数在某个变化过程中的改变量的线性主要部分。

若函数y=f(x)在点x处有导数f'(x)存在，则y因x的变化量△x所引起的改变量

可以表示为

其中o(△x)是△x的高阶无穷小，即当△x趋于0时，o(△x)相对于△x趋于0的速度更快。因此，

微分dy可以近似地表示为

它描述了函数值y随自变量x变化而变化的线性部分。‌

2.可微的充要条件

函数 f(x) 在点 x=a 处可微的充要条件是：

1. 函数在点 x=a处连续：

2. 函数在点 x=a 处左右导数存在且相等：

简单来说，就是可微的充要条件是函数 f(x) 在点 x=a 处可导。

3.微分公式与法则

根据微分定义

可知，求微分实际上就是求导数，所以微分公式同求导公式。

4.微分中值定理

4.1 罗尔定理

如果函数 f(x)满足以下条件：

1. 在闭区间 [a,b]上连续。

2. 在开区间 (a,b)上可导。

3. 在区间端点的函数值相等，即 f(a)=f(b)。

那么，在开区间 (a,b)内至少存在一点 c，使得：f′(c)=0

罗尔定理的几何意义是：如果函数 f(x) 在区间 [a,b]上的两个端点处的函数值相等，那么在区间 (a,b)内至少存在一点 c，使得该点处的切线是水平的（即导数为零）。

4.2 拉格朗日中值定理

如果函数 f(x)满足以下条件：

1. 在闭区间 [a,b] 上连续。

2. 在开区间 (a,b)上可导。

那么，在开区间 (a,b) 内至少存在一点 c，使得：

拉格朗日中值定理的几何意义是：在区间 [a,b] 上，函数 f(x) 的图像上至少存在一点 c，使得该点处的切线斜率等于区间端点法线的斜率。

4.3 柯西中值定理

如果函数 f(x) 和 g(x) 满足以下条件：

1. 在闭区间 [a,b]上连续。

2. 在开区间 (a,b)上可导。

3. 在开区间 (a,b) 内，g′(x)≠0。

那么，在开区间 (a,b) 内至少存在一点 c，使得：

柯西中值定理的几何意义是：在区间 [a,b] 上，函数 f(x)和 g(x) 的图像上至少存在一点 c，使得该点处的切线斜率之比等于区间端点连线的斜率之比。

5.4 洛必达法则

洛必达法则用于求解不定型极限问题。不定型极限是指在求极限时，分子和分母都趋向于零（即 0/0 型）或分子和分母都趋向于无穷大（即 ∞/∞ 型）的情况。洛必达法则通过求导数来简化这些极限的计算。

设函数 f(x)和 g(x 满足以下条件：

1. 在点 a 的某个去心邻域内可导，且 g′(x)≠0。

则：

5.函数的单调性

函数的单调性可以通过其导数来判定：

1. 递增函数： 如果函数 f(x)在区间 (a,b)上可导，并且对于区间 (a,b) 内的任意 x，总有 f′(x)≥0，则函数 f(x) 在区间 (a,b)上是递增的。如果 f′(x)>0，则函数 f(x)在区间 (a,b) 上是严格递增的。

2. 递减函数： 如果函数 f(x)在区间 (a,b) 上可导，并且对于区间 (a,b) 内的任意 x，总有 f′(x)≤0，则函数 f(x) 在区间 (a,b) 上是递减的。如果 f′(x)<0，则函数 f(x) 在区间 (a,b)上是严格递减的。

6.函数的凹凸性

6.1 函数凹凸性判定

函数的凹凸性可以通过其二阶导数来判定：

凹函数： 如果函数 f(x) 在区间 (a,b) 上二阶可导，并且对于区间 (a,b) 内的任意 x，总有 f′′(x)≥0，则函数 f(x) 在区间 (a,b) 上是凹的。

凸函数： 如果函数 f(x) 在区间 (a,b)上二阶可导，并且对于区间 (a,b) 内的任意 xx，总有 f′′(x)≤0，则函数 f(x)在区间 (a,b) 上是凸的。

6.2 拐点

拐点是函数图像从凹变凸或从凸变凹的点。对于函数 f(x)，如果 f′′(x)=0 且 f′′(x) 在 x 的两侧符号相反，则 x 是函数的拐点。

7.极值

极值

是指函数在其定义域内的某个局部区间内的最大值或最小值。极值分为局部极大值和局部极小值。

如果存在一个区间 (a,b)，使得对于所有 x∈(a,b)，总有 f(x)≤f(c)，则称 f(c)是函数 f(x) 在点 c 处的局部极大值。

如果存在一个区间 (a,b)，使得对于所有 x∈(a,b)，总有 f(x)≥f(c)，则称 f(c) 是函数 f(x) 在点 c 处的局部极小值。

最值

最值是指函数在其整个定义域内的最大值和最小值。最值分为全局最大值和全局最小值。

如果对于函数 f(x) 的整个定义域内的任意 x，总有 f(x)≤f(c)，则称 f(c)是函数 f(x)的全局最大值。

如果对于函数 f(x) 的整个定义域内的任意 x，总有 f(x)≥f(c)，则称 f(c)是函数 f(x)的全局最小值。

7.1 极值的充分必要条件

必要条件

如果函数 f(x) 在点 x=c 处取得局部极大值或局部极小值，并且 f(x) 在 x=c处可导，则 f′(c)=0。换句话说，极值点必须是函数的驻点。

充分条件

一阶导数判定法

1. 局部极大值： 如果 f′(c)=0，并且在 c 的左侧 f′(x)>0，在c 的右侧 f′(x)<0，则 x=c 是局部极大值。

2. 局部极小值： 如果 f′(c)=0，并且在 c 的左侧 f′(x)<0，在c 的右侧 f′(x)>0，则 x=c 是局部极小值。

二阶导数判定法

1. 局部极大值： 如果 f′(c)=0，并且 f′′(c)<0，则 x=c 是局部极大值。

2. 局部极小值： 如果 f′(c)=0，并且 f′′(c)>0，则 x=c 是局部极小值。

不定积分

1.定义

如果函数 F(x) 满足 F′(x)=f(x)，则称 F(x) 是 f(x) 的一个原函数。不定积分

表示 f(x) 的所有原函数，通常写成：

其中，C是积分常数，表示原函数的不确定性。 f(x)是被积函数，dx表示对 x 的积分变量。

不定积分的结果是一个函数簇，而不是一个具体的数值。其几何含义是一组平行的曲线簇。

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