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一、弧微分
设函数 \(f(x)\) 在区间 \((a, b)\) 内具有连续导数。在曲线 \(y = f(x)\) 上取固定点 \(M_0 (x_0, y_0)\) 作为度两户唱的基点，并规定依 \(x\) 增大的方向为曲线的正向。对曲线上任一点 \(M (x, y)\) ，规定有向弧段 \(\overset{\LARGE{\frown}}{M_0 M}\) 的值 \(s\)（简称为弧 \(s\)）如下：\(s\) 的绝对值等于这弧段的长度，当有向弧段 \(\overset{\LARGE{\frown}}{M_0 M}\) 的方向与曲线的正向一致时 \(s > 0\) ，相反时 \(s < 0\) 。显然，弧 \(s\) 与 \(x\) 存在函数关系 \(s = s(x)\) ，而且 \(s(x)\) 是 \(x\) 的单调增加函数。
设 \(x, x + \Delta x\) 为 \((a, b)\) 内两个邻近的点，它们在曲线 \(y = f(x)\) 上的对应点为 \(M, M'\) ，并设对应于 \(x\) 的增量为 \(\Delta x\) ，弧 \(s\) 的增量为 \(\Delta s\) ，那么
\[\Delta s = \overset{\LARGE{\frown}}{M_0 M'} - \overset{\LARGE{\frown}}{M_0 M} = \overset{\LARGE{\frown}}{M M'} \]于是
\[\begin{align*} \left( \cfrac{\Delta s}{\Delta x} \right)^2 &= \left( \cfrac{\overset{\LARGE{\frown}}{M M'}}{\Delta x} \right) = \left( \cfrac{\overset{\LARGE{\frown}}{M M'}}{|M M'|} \right)^2 \cdot \cfrac{|M M'|^2}{(\Delta x)^2} \\ &= \left( \cfrac{\overset{\LARGE{\frown}}{M M'}}{|M M'|} \right)^2 \cdot \cfrac{(\Delta x)^2 + (\Delta y)^2}{(\Delta x)^2} = \left( \cfrac{\overset{\LARGE{\frown}}{M M'}}{|M M'|} \right)^2 \left[ 1 + \left( \cfrac{\Delta y}{\Delta x} \right)^2 \right], \\ \cfrac{\Delta s}{\Delta x} &= \pm \sqrt{\left( \cfrac{\overset{\LARGE{\frown}}{M M'}}{|M M'|} \right)^2 \left[ 1 + \left( \cfrac{\Delta y}{\Delta x} \right)^2 \right]} \end{align*} \]令 \(\Delta x \to 0\) ，取极限，由于 \(\Delta x \to 0\) 时，\(M' \to M\) ，这时弧的长度与弦的长度之比的极限等于1，即
\[\lim_{M' \to M} \cfrac{|\overset{\LARGE{\frown}}{M M'}|}{|M M'|} = 1 \]又
\[\lim_{\Delta x \to 0} \cfrac{\Delta y}{\Delta x} = y' , \]因此得
\[\cfrac{\mathrm{d}s}{\mathrm{d}x} = \pm \sqrt{1 + y'^2} \]由于 \(s = s(x)\) 是单调增加函数，从而根号前应取正号，于是有
\[\mathrm{d}s = \sqrt{1 + y'^2} \mathrm{d}x . \tag{1} \]这就是弧微分公式。
二、曲率及其计算
设曲线 \(C\) 是光滑的，在曲线 \(C\) 上选定一点 \(M_0\) 作为度量弧 \(s\) 的基点。设曲线上点 \(M\) 对应于弧 \(s\) ，在点 \(M\) 处切线的倾角为 \(\alpha\) （这里假定曲线 \(C\) 所在的平面上已设立了 \(xOy\) 坐标系），曲线上另外一点 \(M'\) 对应于弧 \(s + \Delta s\) ，在点 \(M'\) 处切线的倾角为 \(\alpha + \Delta \alpha\) ，则弧段 \(\overset{\LARGE{\frown}}{M M'}\) 的长度为 \(\Delta s\) ，当动点从点 \(M\) 移动到点 \(M'\) 时切线转过的角度为 \(|\Delta \alpha|\) 。
我们用比值 \(\left| \cfrac{\Delta \alpha}{\Delta s} \right|\) ，即单位弧段上切线转过的角度的大小来表达弧段 \(\overset{\LARGE{\frown}}{M M'}\) 的弯曲程度，把这比值叫做弧段 \(\overset{\LARGE{\frown}}{M M'}\) 的平均曲率，并记作 \(\overline{K}\) ，即
\[\overline{K} = \left| \cfrac{\Delta \alpha}{\Delta s} \right| . \]类似于从平均速度引进瞬时速度的方法，当 \(\Delta s \to 0\) 时（即 \(M' \to M\)），上述平均曲率的极限叫做曲线 \(C\) 在点 \(M\) 处的曲率，即
\[K = \lim_{\Delta x \to 0} \left| \cfrac{\Delta \alpha}{\Delta s} \right| . \]在 \(\lim \limits_{\Delta x \to 0} \cfrac{\Delta \alpha}{\Delta s} = \cfrac{\mathrm{d}\alpha}{\mathrm{d}s}\) 存在的条件下，\(K\) 也可以表示为
\[K = \left| \cfrac{\mathrm{d}\alpha}{\mathrm{d}s} \right| . \tag{2} \]对于直线来说，切线与直线本身重合，当点沿直线移动时，切线的倾角 \(\alpha\) 不变，\(\Delta \alpha = 0\) ，\(\cfrac{\Delta \alpha}{\Delta s} = 0\) ，从而 \(K = \left| \cfrac{\mathrm{d}\alpha}{\mathrm{d}s} \right| = 0\) 。这就是说，直线上任意点 \(M\) 处的曲率都等于零。
设圆的半径为 \(a\) ，由图可见圆在点 \(M, M'\) 处的切线所夹的角 \(\Delta \alpha\) 等于圆心角 \(MDM'\) 。但 \(\angle MDM' = \cfrac{\Delta s}{a}\) ，于是
从而
\[K = \left| \cfrac{\mathrm{d}\alpha}{\mathrm{d}s} \right| = \cfrac{1}{a} . \]因为点 \(M\) 是圆上任意取定的一点，上述结论表示圆上各点处的曲率都等于半径 \(a\) 的倒数 \(\cfrac{1}{a}\) ，这就是说，圆的弯曲程度到处都一样，且半径越小曲率越大，即圆弯曲得越厉害。
在一般情况下，我们根据 \((2)\) 式来推导出便于实际计算曲率的公式。
设曲线的直角坐标方程是 \(y = f(x)\) ，且 \(f(x)\) 具有二阶导数（这时 \(f'(x)\) 连续，从而曲线是光滑的）。因为 \(\tan \alpha = y'\) ，所以
\[\sec^2 \alpha \cfrac{\mathrm{d}\alpha}{\mathrm{d}x} = y'' , \\ \cfrac{\mathrm{d}\alpha}{\mathrm{d}x} = \cfrac{y''}{1 + \tan^2 \alpha} = \cfrac{y''}{1 + y'^2} , \]于是
\[\mathrm{d} \alpha = \cfrac{y''}{1 + y'^2} \mathrm{d}x . \]又由 \((1)\) 知道
\[\mathrm{d}s = \sqrt{1 + y'^2} \mathrm{d}x . \]从而根据曲率 \(K\) 的表达式 \((3)\) ，有
\[K = \cfrac{|y''|}{(1 + y'^2)^{\frac{3}{2}}} . \tag{3} \]设曲线由参数方程
\[\begin{cases} x = \varphi (t) , \\ y = \psi (t) \end{cases} \]给出，则可利用参数方程所确定的函数的求导法则，求出 \(y'_x\) 及 \(y''_x\) ，代入 (3) 得
\[K = \cfrac{|\varphi' (t) \psi'' (t) - \varphi'' (t) \psi' (t)|}{[\varphi^2 (t) + \psi^2 (t)]^{\frac{3}{2}}} . \tag{4} \]三、曲率圆与曲率半径
设曲线 \(y = f(x)\) 在点 \(M(x, y)\) 处的曲率为 \(K(K \neq 0)\) 。在点 \(M\) 处的曲线的法线上，在凹的一侧取一点 \(D\) ，使 \(|DM| = \cfrac{1}{K} = \rho\) 。以 \(D\) 为圆心，\(\rho\) 为半径作圆，这个圆叫做曲线在点 \(M\) 处的曲率圆，曲率圆的圆心 \(D\) 叫做曲线在点 \(M\) 处的曲率中心，曲率圆的半径 \(\rho\) 叫做曲线在点 \(M\) 处的曲率半径。
按上述规定可知，曲率圆与曲线在点 \(M\) 有相同的切线和曲率，且在点 \(M\) 邻近有相同的凹向。因此在实际问题中，常常用曲率圆在点 \(M\) 邻近的一段圆弧来近似代替曲线弧，使问题简化。
按上述规定，曲线在点 \(M\) 处的曲率 \(K(K \neq 0)\) 与曲线在点 \(M\) 处的曲率半径 \(\rho\) 有如下关系：
\[\rho = \cfrac{1}{K} , \quad K = \cfrac{1}{\rho} . \]*四、曲率中心的计算公式 渐屈线与渐伸线
设已知曲线的方程是 \(y = f(x)\) ，且其二阶导数 \(y''\) 在点 \(x\) 不为零，则曲线在对应点 \(M(x, y)\) 的曲率中心 \(D(\alpha, \beta)\) 的坐标为
\[\begin{cases} \alpha = x - \cfrac{y'(1 + y'^2)}{y''} , \\ \beta = y + \cfrac{1 + y'^2}{y''} . \end{cases} \tag{5} \]
当点 \((x, f(x))\) 沿曲线 \(C\) 移动时，相应的曲率中心 \(D\) 的轨迹曲线 \(G\) 称为曲线 \(C\) 的渐屈线 ，而曲线 \(C\) 称为曲线 \(G\) 的渐伸线。所以曲线 \(y = f(x)\) 的渐屈线的参数方程为
\[\begin{cases} \alpha = x - \cfrac{y'(1 + y'^2)}{y''} , \\ \beta = y + \cfrac{1 + y'^2}{y''} . \end{cases} \tag{6} \]其中 \(y = f(x), y' = f'(x), y'' = f''(x)\) ，\(x\) 为参数，直角坐标系\(\alpha O \beta\) 与 \(xOy\) 坐标系重合。
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