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一、原函数与不定积分的概念
定义1 如果在区间 I I I 上，可导函数 F ( x ) F(x) F(x) 的导函数为 f ( x ) f(x) f(x) ，即对任一 x ∈ I x \in I x∈I ，都有
F ′ ( x ) = f ( x ) 或 d F ( x ) = f ( x ) d x , F'(x) = f(x) 或 \mathrm{d}F(x) = f(x) \mathrm{d}x , F′(x)=f(x)或dF(x)=f(x)dx,
那么函数 F ( x ) F(x) F(x) 就称为 f ( x ) f(x) f(x) （或 f ( x ) d x f(x) \mathrm{d}x f(x)dx）在区间 I I I 上的一个原函数。
例如，因 ( sin x ) ′ = cos x (\sin x)' = \cos x (sinx)′=cosx ，故 sin x \sin x sinx 是 cos x \cos x cosx 的一个原函数。
原函数存在定理 如果函数 f ( x ) f(x) f(x) 在区间 I I I 上连续，那么在区间 I I I 上存在可导函数 F ( x ) F(x) F(x) ，使对任一 x ∈ I x \in I x∈I 都有
F ′ ( x ) = f ( x ) . F'(x) = f(x) . F′(x)=f(x).
简单地说就是：连续函数一定有原函数。
下面还有两点要说明：
第一，如果
f
(
x
)
f(x)
f(x) 在区间
I
I
I 上有原函数，即有一个函数
F
(
x
)
F(x)
F(x) ，使对任一
x
∈
I
x \in I
x∈I ，都有
F
′
(
x
)
=
f
(
x
)
F'(x) = f(x)
F′(x)=f(x) ，那么，对任何常数
C
C
C ，显然有
[
F
(
x
)
+
C
]
′
=
f
(
x
)
,
[F(x) + C]' = f(x) ,
[F(x)+C]′=f(x),
即对任何常数
C
C
C ，函数
F
(
x
)
+
C
F(x) + C
F(x)+C 也是
f
(
x
)
f(x)
f(x) 的原函数。这说明，如果
f
(
x
)
f(x)
f(x) 有一个原函数，那么
f
(
x
)
f(x)
f(x) 就有无限多个原函数。
第二，如果在区间
I
I
I 上
F
(
x
)
F(x)
F(x) 是
f
(
x
)
f(x)
f(x) 的一个原函数，那么
f
(
x
)
f(x)
f(x) 的其他原函数与
F
(
x
)
F(x)
F(x) 只差一个常数。当
C
C
C 为任意的常数时，表达式
F
(
x
)
+
C
F(x) + C
F(x)+C
就可以表示
f
(
x
)
f(x)
f(x) 的任意一个原函数。
定义2 在区间 I I I 上，函数 f ( x ) f(x) f(x) 的带有任意常数项的原函数称为 f ( x ) f(x) f(x) （或 f ( x ) d x f(x) \mathrm{d}x f(x)dx）在区间 I I I 上的不定积分，记作
∫ f ( x ) d x . \int f(x) \mathrm{d}x . ∫f(x)dx.
其中几号 ∫ \int ∫ 称为积分号， f ( x ) f(x) f(x) 称为被积函数， f ( x ) d x f(x) \mathrm{d}x f(x)dx 称为被积表达式， x x x 称为积分变量。
由此定义可知，如果
F
(
x
)
F(x)
F(x) 是
f
(
x
)
f(x)
f(x) 在区间
I
I
I 上的一个原函数，那么
F
(
x
)
+
C
F(x) + C
F(x)+C 就是
f
(
x
)
f(x)
f(x) 的不定积分，即
∫
f
(
x
)
d
x
=
F
(
x
)
+
C
.
\int f(x) \mathrm{d}x = F(x) + C .
∫f(x)dx=F(x)+C.
因而不定积分 ∫ f ( x ) d x \int f(x) \mathrm{d}x ∫f(x)dx 可以表示 f ( x ) f(x) f(x) 的任意一个原函数。
从不定积分的定义可知有下述关系：
由于
∫
f
(
x
)
d
x
\int f(x) \mathrm{d}x
∫f(x)dx 是
f
(
x
)
f(x)
f(x) 的原函数，所以
d
d
x
[
∫
f
(
x
)
d
x
]
=
f
(
x
)
,
\cfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \left[ \int f(x) \mathrm{d}x \right] = f(x) ,
dxd[∫f(x)dx]=f(x),
或
d
[
∫
f
(
x
)
d
x
]
=
f
(
x
)
d
x
;
\mathrm{d} \left[ \int f(x) \mathrm{d}x \right] = f(x) \mathrm{d}x ;
d[∫f(x)dx]=f(x)dx;
又由于
F
(
x
)
F(x)
F(x) 是
F
′
(
x
)
F'(x)
F′(x) 的原函数，所以
∫
F
′
(
x
)
d
x
=
F
(
x
)
+
C
,
\int F'(x) \mathrm{d}x = F(x) + C ,
∫F′(x)dx=F(x)+C,
或记作
∫
d
F
(
x
)
=
F
(
x
)
+
C
.
\int \mathrm{d} F(x) = F(x) + C.
∫dF(x)=F(x)+C.
由此可见，微分运算（以记号 d \mathrm{d} d 表示）与求不定积分的运算（或简称积分运算，以记号 ∫ \int ∫ 表示）是互逆的。当记号 ∫ \int ∫ 与 d \mathrm{d} d 连在一起时，或者抵消，或者抵消后差一个常数。
二、基本积分表
∫ k d x = k x + C ( k 是常数 ) ∫ x μ d x = x μ + 1 μ + 1 + C ( μ ≠ − 1 ) ∫ d x x = ln ∣ x ∣ + C ∫ d x 1 + x 2 = arctan x + C ∫ d x 1 − x 2 = arcsin x + C ∫ cos x d x = sin x + C ∫ sin x d x = − cos x + C ∫ d x cos 2 x = ∫ sec 2 x d x = tan x + C ∫ d x sin 2 x = ∫ csc 2 x d x = − cot x + C ∫ sec x tan x d x = sec x + C ∫ csc x cot x d x = − csc x + C ∫ e x d x = e x + C ∫ a x d x = a x ln a + C ( a > 0 且 a ≠ 1 ) \begin{align} \int k \mathrm{d}x &= kx + C \quad (k是常数) \\ \int x^{\mu} \mathrm{d}x &= \cfrac{x^{\mu + 1}}{\mu + 1} + C \quad (\mu \neq -1) \\ \int \cfrac{\mathrm{d}x}{x} &= \ln{|x|} + C \\ \int \cfrac{\mathrm{d}x}{1 + x^2} &= \arctan x + C \\ \int \cfrac{\mathrm{d}x}{\sqrt{1 - x^2}} &= \arcsin x + C \\ \int \cos x \mathrm{d}x &= \sin x + C \\ \int \sin x \mathrm{d}x &= - \cos x + C \\ \int \cfrac{\mathrm{d}x}{\cos^2 x} &= \int \sec^2 x \mathrm{d}x = \tan x + C \\ \int \cfrac{\mathrm{d}x}{\sin^2 x} &= \int \csc^2 x \mathrm{d}x = - \cot x + C \\ \int \sec x \tan x \mathrm{d}x &= \sec x + C \\ \int \csc x \cot x \mathrm{d}x &= -\csc x + C \\ \int \mathrm{e}^x \mathrm{d}x &= \mathrm{e}^x + C \\ \int a^x \mathrm{d}x &= \cfrac{a^x}{\ln a} + C (a > 0 且 a \neq 1) \end{align} ∫kdx∫xμdx∫xdx∫1+x2dx∫1−x2 dx∫cosxdx∫sinxdx∫cos2xdx∫sin2xdx∫secxtanxdx∫cscxcotxdx∫exdx∫axdx=kx+C(k是常数)=μ+1xμ+1+C(μ=−1)=ln∣x∣+C=arctanx+C=arcsinx+C=sinx+C=−cosx+C=∫sec2xdx=tanx+C=∫csc2xdx=−cotx+C=secx+C=−cscx+C=ex+C=lnaax+C(a>0且a=1)
三、不定积分的性质
性质1 设函数 f ( x ) f(x) f(x) 及 g ( x ) \mathrm{g}(x) g(x) 的原函数存在，则
∫ [ f ( x ) ± g ( x ) ] d x = ∫ f ( x ) d x ± ∫ g ( x ) d x . \int [f(x) \pm \mathrm{g}(x)] \mathrm{d}x = \int f(x) \mathrm{d}x \pm \int \mathrm{g}(x) \mathrm{d}x . ∫[f(x)±g(x)]dx=∫f(x)dx±∫g(x)dx.
性质1对有限个函数都是成立的。
性质2 设函数 f ( x ) f(x) f(x) 的原函数存在， k k k 为非零常数，则
∫ k f ( x ) d x = k ∫ f ( x ) d x . \int k f(x) \mathrm{d}x = k \int f(x) \mathrm{d}x . ∫kf(x)dx=k∫f(x)dx.
原文链接：高等数学 4.1 不定积分的概念与性质
标签：cos,4.1,int,不定积分,原函数,dx,高等数学,mathrm From： https://blog.csdn.net/MowenPan1995/article/details/142460643