对于 x^pi（即x的π次方），x≥0 的证明

今天数学课上刚学幂函数，老师抛出了这样一个问题：

对于 x π x^\pi xπ ，是否必须有 x ≥ 0 x\ge0 x≥0 ？

以下是本人的证明思路.

对于 f ( x ) = x π f(x)={x^\pi} f(x)=xπ 这个函数来讲， π \pi π 是一个无理数，为了方便计算，我们要想一个办法来表示 π \pi π 的精确值.

怎么搞？极限！

注意到， π \pi π 显然可以被表示为
lim ⁡ n → ∞ ⌊ 1 0 n π ⌋ 1 0 n \lim_{n\to\infty} \frac{\left\lfloor10^n\pi\right\rfloor}{10^n} n→∞lim​10n⌊10nπ⌋​
所以有
f ( x ) = lim ⁡ n → ∞ x ⌊ 1 0 n π ⌋ 1 0 n f(x)=\lim_{n\to\infty}x^{\frac{\left\lfloor10^n\pi\right\rfloor}{10^n}} f(x)=n→∞lim​x10n⌊10nπ⌋​
显然可转化为
f ( x ) = lim ⁡ n → ∞ x ⌊ 1 0 n π ⌋ 1 0 n f(x)=\lim_{n\to\infty}\sqrt[10^n]{x^{\left\lfloor10^n\pi\right\rfloor}} f(x)=n→∞lim​10nx⌊10nπ⌋ ​
对于
2 ∣ ⌊ 1 0 n π ⌋ 2\mid\left\lfloor10^n\pi\right\rfloor 2∣⌊10nπ⌋
显然不能确定其是否成立.

换句话说 ⌊ 1 0 n π ⌋ \left\lfloor10^n\pi\right\rfloor ⌊10nπ⌋ 并不一定是偶数，所以如果想让原式恒成立，总要有 x ≥ 0 x\ge0 x≥0 成立.

证毕.