中值定理
罗尔中值定理
- f f f 在 [ a , b ] [a,b] [a,b] 区间上连续，
- 在 ( a , b ) (a,b) (a,b) 上可导,
- 且 f ( a ) = f ( b ) f(a)=f(b) f(a)=f(b)
- 则存在 ξ ∈ [ a , b ] \xi\in [a,b] ξ∈[a,b], f ′ ( ξ ) = 0 f'(\xi)=0 f′(ξ)=0
拉格朗日中值定理
- f f f 在 [ a , b ] [a,b] [a,b] 区间上连续，
- 在 ( a , b ) (a,b) (a,b) 上可导,
- 则存在 ξ ∈ [ a , b ] \xi\in [a,b] ξ∈[a,b], f ′ ( ξ ) = f ( b ) − f ( a ) b − a f'(\xi)= \frac{f(b)-f(a)}{b-a} f′(ξ)=b−af(b)−f(a)
- 拉格朗日余项 ∃ ξ \exists \xi ∃ξ, f ( b ) = f ( a ) + f ′ ( ξ ) ( b − a ) f(b)=f(a)+f'(\xi)(b-a) f(b)=f(a)+f′(ξ)(b−a)
- 柯西余项 f ( b ) = f ( a ) + ( b − a ) ∫ 0 1 f ′ ( a + t ( b − a ) ) d t f(b)=f(a)+(b-a)\int_0^1 f'(a+t(b-a)) dt f(b)=f(a)+(b−a)∫01f′(a+t(b−a))dt
柯西中值定理
- f f f, g g g 在 [ a , b ] [a,b] [a,b] 区间上连续，
- 在 ( a , b ) (a,b) (a,b) 上可导,
- 则存在 ξ ∈ [ a , b ] \xi\in [a,b] ξ∈[a,b], f ′ ( ξ ) g ′ ( ξ ) = f ( b ) − f ( a ) g ( b ) − g ( a ) \frac{f'(\xi)}{g'(\xi)}= \frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)} g′(ξ)f′(ξ)=g(b)−g(a)f(b)−f(a)
泰勒中值定理
- f f f 在 x 0 x_0 x0 的某个邻域 U ( x 0 ) U(x_0) U(x0)上连续，
- 在 U ( x 0 ) U(x_0) U(x0) 上 n n n 阶可导,
- 则存在
θ
∈
[
0
,
1
]
\theta\in [0,1]
θ∈[0,1],
z
θ
=
x
+
θ
(
y
−
x
)
z_\theta=x+\theta(y-x)
zθ=x+θ(y−x),
拉格朗日余项 f ( y ) = f ( x ) + f ′ ( x ) ( y − x ) + f ′ ′ ( x ) 2 ( y − x ) 2 + ⋯ + f ( n ) ( x ) n ! ( y − x ) n + f ( n + 1 ) ( z θ ) ( n + 1 ) ! ( y − x ) n + 1 f(y)= f(x) +f'(x)(y-x)+ \frac{f''(x)}{2}(y-x)^2+ \cdots+ \frac{f^{(n)}(x)}{n!}(y-x)^n +\frac{f^{(n+1)}(z_\theta)}{(n+1)!}(y-x)^{n+1} f(y)=f(x)+f′(x)(y−x)+2f′′(x)(y−x)2+⋯+n!f(n)(x)(y−x)n+(n+1)!f(n+1)(zθ)(y−x)n+1 - 柯西余项 f ( y ) = f ( x ) + f ′ ( x ) ( y − x ) + f ′ ′ ( x ) 2 ( y − x ) 2 + ⋯ + f ( n ) ( x ) n ! ( y − x ) n + ∫ 0 1 f ( n + 1 ) ( z θ ) d θ ( n + 1 ) ! ( y − x ) n + 1 f(y)= f(x) +f'(x)(y-x)+ \frac{f''(x)}{2}(y-x)^2+ \cdots+ \frac{f^{(n)}(x)}{n!}(y-x)^n+\frac{\int_0^1 f^{(n+1)}(z_\theta)d \theta}{(n+1)!} (y-x)^{n+1} f(y)=f(x)+f′(x)(y−x)+2f′′(x)(y−x)2+⋯+n!f(n)(x)(y−x)n+(n+1)!∫01f(n+1)(zθ)dθ(y−x)n+1
麦克劳林公式
- f f f 在原点的某个邻域上连续，
- 在该邻域上 n n n 阶可导,
- 则存在
θ
∈
[
0
,
1
]
\theta\in [0,1]
θ∈[0,1],
拉格朗日余项 f ( y ) = f ( 0 ) + f ′ ( 0 ) y + 1 2 f ′ ′ ( 0 ) y 2 + ⋯ + f ( n ) ( 0 ) n ! y n + f ( n + 1 ) ( θ y ) ( n + 1 ) ! y n + 1 f(y)= f(0) +f'(0)y+ \frac{1}{2}f''(0)y^2+ \cdots+ \frac{f^{(n)}(0)}{n!}y^n+\frac{f^{(n+1)}(\theta y)}{(n+1)!} y^{n+1} f(y)=f(0)+f′(0)y+21f′′(0)y2+⋯+n!f(n)(0)yn+(n+1)!f(n+1)(θy)yn+1 - 柯西余项 f ( y ) = f ( 0 ) + f ′ ( 0 ) y + f ′ ′ ( 0 ) 2 y 2 + ⋯ + f ( n ) ( 0 ) n ! y n + ∫ 0 1 f ( n + 1 ) ( θ y ) d θ ( n + 1 ) ! y n + 1 f(y)= f(0) +f'(0)y+ \frac{f''(0)}{2}y^2+ \cdots+ \frac{f^{(n)}(0)}{n!}y^n +\frac{\int_0^1 f^{(n+1)}(\theta y)d \theta}{(n+1)!}y^{n+1} f(y)=f(0)+f′(0)y+2f′′(0)y2+⋯+n!f(n)(0)yn+(n+1)!∫01f(n+1)(θy)dθyn+1
积分中值定理
-
第一积分中值定理: 设 f f f 在 [ a , b ] [a,b] [a,b] 上连续
-
∃ ξ ∈ [ a , b ] \exists \xi\in [a,b] ∃ξ∈[a,b], f ( ξ ) ( b − a ) = ∫ a b f ( x ) d x f(\xi)(b-a)= \int_a^b f(x) dx f(ξ)(b−a)=∫abf(x)dx
-
第二积分中值定理: 设 f f f 在 [ a , b ] [a,b] [a,b] 上可积, g g g 在 [ a , b ] [a,b] [a,b] 单调
-
∃ ξ ∈ [ a , b ] \exists \xi\in [a,b] ∃ξ∈[a,b], ∫ a b f ( x ) g ( x ) d x = g ( a ) ∫ a ξ f ( x ) d x + g ( b ) ∫ ξ b f ( x ) d x \int_a^b f(x)g(x) dx= g(a)\int_a^\xi f(x)dx+ g(b)\int_\xi^b f(x) dx ∫abf(x)g(x)dx=g(a)∫aξf(x)dx+g(b)∫ξbf(x)dx
洛必达法则
0 0 \frac{0}{0} 00
- lim f ( x ) = lim g ( x ) = 0 \lim f(x)=\lim g(x)=0 limf(x)=limg(x)=0
- lim f ′ ( x ) \lim f'(x) limf′(x), 存在 lim g ′ ( x ) ≠ 0 \lim g'(x)\neq 0 limg′(x)=0
- lim f ( x ) g ( x ) = lim f ′ ( x ) g ′ ( x ) \lim \frac{f(x)}{g(x)}=\lim \frac{f'(x)}{g'(x)} limg(x)f(x)=limg′(x)f′(x).
∞ ∞ \frac{\infty}{\infty} ∞∞
- lim f ( x ) = lim g ( x ) = ∞ \lim f(x)=\lim g(x)=\infty limf(x)=limg(x)=∞
- lim f ′ ( x ) \lim f'(x) limf′(x), 存在 lim g ′ ( x ) ≠ 0 \lim g'(x)\neq 0 limg′(x)=0
- lim f ( x ) g ( x ) = lim f ′ ( x ) g ′ ( x ) \lim \frac{f(x)}{g(x)}=\lim \frac{f'(x)}{g'(x)} limg(x)f(x)=limg′(x)f′(x).
∞ − ∞ \infty-\infty ∞−∞
- ∞ − ∞ = 1 0 − 1 0 = 0 − 0 0 ⋅ 0 \infty-\infty= \frac{1}{0}-\frac{1}{0}= \frac{0 -0}{0\cdot 0} ∞−∞=01−01=0⋅00−0 按照 0 0 \frac{0}{0} 00 计算
- 0 0 , 1 ∞ , ∞ 0 0^0, 1^\infty, \infty^0 00,1∞,∞0 对数化
函数单调性与最值
极值点可导情况
- f ′ ( x ) ≤ 0 f'(x)\leq 0 f′(x)≤0, x < x 0 x<x_0 x<x0, f f f 单调减少
- f ′ ( x ) ≥ 0 f'(x)\geq 0 f′(x)≥0, x > x 0 x>x_0 x>x0, f f f 单调增加
- 且 f ′ ( x ) = 0 f'(x)=0 f′(x)=0, \textbf{则} x 0 x_0 x0 是极小值点
极值点不可导情况
- f ′ ( x ) ≤ 0 f'(x)\leq 0 f′(x)≤0, x < x 0 x<x_0 x<x0, f f f 单调减少
- f ′ ( x ) ≥ 0 f'(x)\geq 0 f′(x)≥0, x > x 0 x>x_0 x>x0, f f f 单调增加
- f ′ ( x ) f'(x) f′(x)不存在, \textbf{则} x 0 x_0 x0 是极小值点
函数凹凸性与拐点
二阶可导
- f ′ ′ ( x ) ≤ 0 f''(x)\leq 0 f′′(x)≤0, x < x 0 x<x_0 x<x0, f f f 凸
- f ′ ′ ( x ) ≥ 0 f''(x)\geq 0 f′′(x)≥0, x > x 0 x>x_0 x>x0, f f f 凹
- f ′ ′ ( x 0 ) = 0 f''(x_0)=0 f′′(x0)=0, \textbf{则} x 0 x_0 x0 是拐点
拐点处二阶不可导
- f ′ ′ ( x ) ≤ 0 f''(x)\leq 0 f′′(x)≤0, x < x 0 x<x_0 x<x0, f f f 凸
- f ′ ′ ( x ) ≥ 0 f''(x)\geq 0 f′′(x)≥0, x > x 0 x>x_0 x>x0, f f f 凹
- f ′ ′ ( x 0 ) f''(x_0) f′′(x0) 不存在, \textbf{则} x 0 x_0 x0 是拐点
一阶可导
- f ′ ( x ) f'(x) f′(x) 单调减少, x > x 0 x>x_0 x>x0
- f ′ ( x ) f'(x) f′(x) 单调增加, x < x 0 x<x_0 x<x0
- f ′ ( x ) f'(x) f′(x) 取得极小值, \textbf{则} x 0 x_0 x0 是拐点
函数渐近线
水平渐近线 lim x → ∞ f ( x ) = c \lim\limits_{x\to \infty} f(x)=c x→∞limf(x)=c, y = c y=c y=c
铅直渐近线 lim x → x 0 f ( x ) = ∞ \lim\limits_{x\to x_0}f(x)=\infty x→x0limf(x)=∞, x = c x=c x=c
斜渐近线
- k = lim x → ∞ f ( x ) x k=\lim\limits_{x\to \infty} \frac{f(x)}{x} k=x→∞limxf(x),
- b = lim x → ∞ f ( x ) − k x b=\lim\limits_{x\to \infty} f(x)-kx b=x→∞limf(x)−kx,
- y = k x + b y=kx+b y=kx+b
其他方面的应用举例
相关变化率
- 已知 变量 x x x, y y y 满足关系式 F ( x , y ) = 0 F(x,y)=0 F(x,y)=0, 则考虑 x = x 0 , y = y 0 x=x_0,y=y_0 x=x0,y=y0 时, 若 x x x 的变化率为 x ′ x' x′, 求 y ′ y' y′.
- d d t F ( x , y ) = ∂ F ∂ x d x d t + ∂ F ∂ y d y d t = 0 \frac{d}{dt} F(x,y)= \frac{\partial F}{\partial x} \frac{dx}{dt}+\frac{\partial F}{\partial y} \frac{dy}{dt}=0 dtdF(x,y)=∂x∂Fdtdx+∂y∂Fdtdy=0.
增长率
- r = y ′ ( x ) y ( x ) r= \frac{y'(x)}{y(x)} r=y(x)y′(x)
曲率、曲率半径
弧微分
- 弧微分 d s = ( d x ) 2 + ( d y ) 2 ds=\sqrt{(dx)^2+(dy)^2} ds=(dx)2+(dy)2
- 直角坐标系: d s = 1 + ( y ′ ) 2 d x ds=\sqrt{1+(y')^2} dx ds=1+(y′)2 dx
- 参数方程: d s = ( x t ′ ) 2 + ( y t ′ ) 2 d t ds=\sqrt{(x_t')^2+(y_t')^2}dt ds=(xt′)2+(yt′)2 dt
- 极坐标系 d s = ( r ( θ ) ) 2 + ( r ′ ( θ ) ) 2 d θ ds= \sqrt{(r(\theta))^2+(r'(\theta))^2}d\theta ds=(r(θ))2+(r′(θ))2 dθ
曲率
- k = d α d s k= \frac{d \alpha}{ds} k=dsdα
- 直角坐标系: k ( x ) = y ′ ′ ( x ) 1 + ( y ′ ( x ) ) 2 k(x)= \frac{y''(x)}{1+(y'(x))^2} k(x)=1+(y′(x))2y′′(x)
- 参数方程: k ( t ) = ϕ ′ ( t ) ψ ′ ′ ( t ) − ϕ ′ ′ ( t ) ψ ′ ( t ) ( ( ϕ ′ ( t ) ) 2 + ( ψ ′ ( t ) ) 2 ) 3 2 k(t)= \frac{\phi'(t)\psi''(t)-\phi''(t)\psi'(t)}{((\phi'(t))^2+(\psi'(t))^2)^{\frac{3}{2}}} k(t)=((ϕ′(t))2+(ψ′(t))2)23ϕ′(t)ψ′′(t)−ϕ′′(t)ψ′(t), ( x = ϕ ( t ) x=\phi(t) x=ϕ(t), y = ψ ( t ) y=\psi(t) y=ψ(t))
- 极坐标: k ( θ ) = 2 ( r ′ ) 2 − r ′ ′ r + r 2 ( ( r ′ ) 2 + r 2 ) 3 2 k(\theta)= \frac{2(r')^2-r''r+r^2}{((r')^2+r^2)^{\frac{3}{2}}} k(θ)=((r′)2+r2)232(r′)2−r′′r+r2, ( r = r ( θ ) r=r(\theta) r=r(θ))