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省流：\(90+100+25+10\)。T1题意：给定一个长为\(n\)的排列，定义一次操作为选出排列中至多\(4\)个不同的数，将它们任意重排，求最少操作次数让这个排列单调递增。\(n\leq10^6\)。找出排列的所有置换环，设环长为\(t_1,t_2,t_3,\cdots,t_m\)，则答案为：\[\sum_{i=1}^m\lflo

拉普拉斯方程的球坐标系解法\[\begin{cases}\frac{1}{r^2}\frac{\partial}{\partialr}\left(r^2\frac{\partialu}{\partialr}\right)+\frac{1}{r^2\sin\theta}\frac{\partial}{\partial\theta}\left(\sin\theta\frac{\partialu}{\partial\theta}\right)=0,

勒让德多项式的正交性对于不同项的勒让德多项式：\[\begin{cases}(1-x^2)P_n''(x)-2xP_n'(x)+n(n+1)P_n(x)\equiv0,\quad(1)\\(1-x^2)P_m''(x)-2xP_m'(x)+m(m+1)P_m(x)\equiv0,\quad(2)\end{cases}\]证明其正交性：\(\int_{-1}^1\{(1)\timesP_

勒让德方程\[\begin{cases}(1-x^2)\frac{d^2y(x)}{dx^2}-2x\frac{dy(x)}{dx}+l(l+1)y(x)=0,\quad-1\leqx\leq1\\|y(x)|<\infty,\quad-1\leqx\leq1\end{cases}\]\[y(x)=\sum_{n=0}^{\infty}a_nx^n\qquada_{k+2}=\frac{(k-l)(k+l+1

拉普拉斯方程的球坐标系解法\[\frac{1}{r^2}\frac{\partial}{\partialr}\left(r^2\frac{\partialu}{\partialr}\right)+\frac{1}{r^2\sin\theta}\frac{\partial}{\partial\theta}\left(\sin\theta\frac{\partialu}{\partial\theta}\right)+\frac{1}{r^2\si

设置扬声器阵列，预先设置扬声器阵列的覆盖角根据扬声器阵列的覆盖角得到截止频率F将音频信号小于截止频率F的频段采用空间重采样法进行恒定束宽控制；将音频信号大于或等于截止频率F的频段采用CBT阵列理论进行恒定束宽控制；基本流程图如下：step1:首先，确定系统参数.根据期望的

以下是一个使用Python实现线性回归模型的示例代码：importnumpyasnpclassLinearRegression:def__init__(self,learning_rate=0.01,num_iterations=1000):self.learning_rate=learning_rateself.num_iterations=num_iterationsself

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中值定理罗尔中值定理fff在[a,

前缀和与二维前缀和考虑一个序列\(a\)，我们如何快速求出区间\([l,r]\)的元素和呢？这很简单，我们只需求出它的前缀和序列\(\mathrm{sum}(i)=\sum_{k=1}^ia_i\)，那么答案即为\(\mathrm{sum}(r)-\mathrm{sum}(l-1)\)。而对于序列\(\mathrm{sum}\)，有\(\mathrm{sum}(i)=

拉格朗日插值基本介绍对于一个\(n\)次多项式\(f(x)=\sum\limits_{i=0}^nf_ix^i\)，给出其\(n+1\)个位置上的值，即\(\forall1\leqi\leqn+1,f(x_i)=y_i\)，你需要对于给定的\(X\)，求出\(f(X)\)的值。仿照中国剩余定理，构造\(g_i(x)\)使得\(g_i(x_j)=[i=j]\)，具体构造为

弧度制的创建原理。弧度制的定义和圆的几何性质密切相关。让我们进一步讲解这个概念：弧度制的定义基础圆的周长与半径的关系：圆的周长(C)与其直径(D)的比值是一个常数，称为圆周率(\pi)，即(C=\piD)。因为直径(D=2r)（其中(r)是圆的半径），所以周长也可以表示为(C=2\pi

2013中科大夏令营试题——分析%https://max.book118.com/html/2019/0328/6204135152002020.shtm中国科学技术大学2013年大学生数学夏令营竞赛试题(分析学)数学分析1.设连续函数$f:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}$满足:$\int_0^1f(xt)\mathrm{d}t=0,\forallx\in\mathbb{R}$.证明:

四舍五入100pts对于一个数$x$，可以发现它的答案可以分成两部分，一部分在$[2x+1,n]$范围内，一部分在小于它的数的范围内，前者$\Theta(1)$算，对于后者，我们发现满足这个要求的数$y$一定有$x\mody<w(x,y)$（$w(x,y)$定义为如果$x\mody=0$，则$w(a,

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