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高等数学,但用我的话说(求解微分问题)

时间:2024-11-08 18:31:11浏览次数:4  
标签:right frac 函数 导数 mathrm 微分 但用 高等数学 left

高等数学,但用我的话说(求解微分问题)

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使用定义求导

求导的方法很多,在前面我们可以通过导数定义,也就是两个无限逼近的点,结合变化的 \(y\) 和 \(x\) ,就可以用定义求出函数对应的导数,也就是,我们最爱的简单粗暴的代入法

但是,代入法在面对 \(n\) 次方这样的需要推广的处理。

设 \(f(x)=x^{n}\) ,求得其导数如下:

\[f^{^{\prime}}(x)=\lim_{h\to0}\frac{\left(x+h\right)^{n}-x^{n}}{h} \]

我们要怎么处理 \(\left(x+h\right)^{n}\) 呢?

将其展开的式子如下:

\[\left(x+h\right)^{n}=(x+h)(x+h)\ldots\left(x+h\right) \]

我们首先可以从这个式子提取 \(x\) 得到 \(x^{n}+含有h的项\)。

但是,不够啊,就算我们消除了 \(h\),根据减号去掉了提取的 \(x^n\),也不知道剩下的项是啥啊,那我们还要进一步想想怎么进行提取,比如,我们知道 \(h\to0\),因此消去一个 \(h\) 后还剩下有 \(h\) 的项就会完蛋,那么我们只需要关注含有一个 \(h\) 的项了。

好的,那么怎么做到只提取一个 \(h\) 呢?

对于每一个 \((x+h)\),我们可以选择提取 \(x\) 或者 \(h\),我们总共有 \(n\) 种提取的选择,也就是说,我们最终可以提取出 \(nhx^{n-1}\),那么剩下的部分,每间隔一项至少有两个 \(h\),那么就可以提取出 \(h^{2}\times(其他)\) 的成分。

那么,我们就可以最终对原式化简得到下式:

\[\lim_{h\to0}\frac{nhx^{n-1}+h^2\times\left(其他\right)}{h}=\lim_{h\to0}\left(nx^{n-1}+h\times\left(其他\right)\right)=nx^{n-1} \]

很复杂不是吗?明明我们记公式就可以解决了,为什么要进行这些推导呢?

比方说,这里我们记一个 \(\frac{d}{\mathrm{d}x}\left(x^{a}\right)=ax^{a-1},a\in\mathbb{R}\) 就行了。

这个推导是要告诉我们,那些现成结论是来源于哪些部分,以及给我们最后一种选择,在公式等等便利的脚手架失去之后,我们还能自己现场制造一个,而不是呆坐着发愣。

有的东西,有但不用,和根本没有,是两码事。


求导高效化

用定义,是最直接,但也肯定不是最高效的求导方法。

常数倍函数,函数和差

常数倍函数,只需要单独提出来处理即可

函数和差,对每个部分单独处理即可。


乘积法则求积函数的导数

处理函数乘积时要复杂一些,例如对于下式:

\[h(x)=f(x)g(x) \]

我们可以使用乘积法则,

\[如果h(x)=f(x)g(x),那么h^{'}(x)=f^{'}(x)g(x)+f(x)g^{'}(x) \]

即,求得两个函数各自的导数后,进行交叉相乘

另一个版本的乘积法则,如果 \(y=uv\) ,

\[\frac{dy}{\mathrm{d}x}=v\frac{du}{\mathrm{d}x}+u\frac{dv}{\mathrm{d}x} \]

如果有三个变量呢?即如果 \(y=uvw\) ,

\[\frac{dy}{\mathrm{d}x}=\frac{du}{\mathrm{d}x}vw+u\frac{dv}{\mathrm{d}x}w+uv\frac{dw}{\mathrm{d}x} \]

如果有更多变量呢?我不能都硬记吧,简单,几个变量有几项,每个项中挑一个不重复的求导

小口诀:几个变量几微分,每个微分不重样。


商法则求商函数的导数

商函数也有对应的处理法则,例如对于下式:

\[h(x)=\frac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)} \]

我们求得的就是:

\[h^{^{\prime}}(x)=\frac{f^{^{\prime}}\left(x\right)g\left(x\right)-f\left(x\right)g^{^{\prime}}\left(x\right)}{\left(g\left(x\right)\right)^2} \]

如果 \(y=\frac{u}{v}\) 可以得到:

\[\frac{dy}{\mathrm{d}x}=\frac{v\frac{du}{\mathrm{d}x}-u\frac{dv}{\mathrm{d}x}}{v^2} \]

微分子减母,得差母平方。


通过链式求导法则求复合函数的导数

复合函数也有相应法则,例如对于下式:

\[如果h(x)=f(g(x)),那么h^{'}(x)=f^{'}(g(x))g^{'}(x) \]

直接理解起来复杂,那么我们就从套娃的角度理解。

首先面前是一个套娃,你知道套娃里面有一个套娃,那么你肯定要先打开这个包着套娃的套娃,才能再打开里面的套娃。

因此,对于复合函数的求导,就是一步步解套娃的过程,或者换另一个比喻,拆有多个包装的快递,你只能一层层去拆,一层处理一层的事情,又或者说剥洋葱,一层层去剥。

如果 \(y\) 是 \(u\) 的函数,且 \(u\) 是 \(x\) 的函数,那么:

\[\frac{dy}{\mathrm{d}x}=\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}u}\frac{du}{\mathrm{d}x} \]

同样的是一步步拆开,每一步只处理当层的事情。嘶,好像很像分治法。

总之,当遇到抽象的复杂函数时,要做的就是将这个复杂的函数一步步进行拆分,每一步处理每一步的事情,再顺着往下,直到最后的操作是原子化时,问题就得到解决了。


为什么乘积法则和链式求导法则可以使用

留个空,后面补。


一些应用

求切线方程

求切线步骤:求斜率->求直线上任意一点->使用点斜式

点斜式:

\[y-y_0=m(x-x_0) \]


速度和加速度

速度:位置的一阶导数

加速度:位置的二阶导数,速度的一阶导数


导数伪装的极限

这通常并不容易,因为很多时候我们并不只是在处理一个导数,还是在计算一个特定点上导数。

因而,我们需要先解得一般情况的极限,再将特定点的值代入求得对应的极限值。

如果我们使用似乎是“万能”的洛毕达法则,我们是不需要去识别一个极限是否是一个伪装的导数的。


分段函数的导数

验证一个分段函数在分段连接点可否可导,需要检验分段在连接点上相等(证明连续性),以及分段的导数在连接点上相等。

其实本质上就是证明可导,因为求可导的前提,需要极限存在且有限,也就是连续,可导是建立在连续基础上的。

所以步骤如下:

  1. 证明连续,左右极限值
  2. 证明可导,左右导数值


画出导函数的图像

登山者,关注转折点。


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From: https://www.cnblogs.com/testtraveler/p/18535635/higher-mathematics-but-in-my-words-solve-t

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