高等数学，但用我的话来说（征程从函数开始）
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函数
函数与白盒转换机
函数是我们的老朋友了，想想看，自己有多少次同它打交道了，求学生涯中无疑是最多的。个人爱吃，所以将函数理解为一个“白盒转换机”，你将材料丢给它，它就会根据某些规则对这个材料进行处理，比如什么型号，什么颜色，什么工艺啊，最后做出来一类零件来。
为什么叫“白盒转换机”呢？因为里面的规则是可见的。
但是，丢材料不能顺便什么材料都丢进去吧？我们需要定义一下哪些材料是有可能被丢进去的，以及计算一下做出的零件有可能是哪些(万一做出什么不合规格的零件怎么办)，以及我们规定某些材料做出的零件是固定的(同样的规则下，不能今天我丢个钢材，它做个螺丝，明天它就突然做个钉子了吧)。
丢的材料，就是我们常说的输入，定义的能丢进去的材料就是称为定义域的集合，至于输出，事实上是我们似乎此前很少见到的上域，而不是我们常说的值域，值域是上域的子集。
上域的话，是可能输出的集合，值域则是实际输出的集合，没想到好的理解，就暂且理解为机器的理论极限和实际极限吧，毕竟理论上有这些能做，不等于实际上都能做到。
其数学表示：
\[f(x)=y \]
实心与空心的区间表示法
曾记否，数轴上的实心端点和空心端点，那是我们最爱的区间表示法，早年画的线，涂的阴影部分，都是沧桑的回忆啊。
扯远了，在数轴上，我们用实心端点表示闭，空心端点表示开，两个点的组合，就可以构成我们的范围区间。
哦对了，无穷不需要点，只需要简单把一个点的某一侧涂黑就能表示了。
举个例子， \([a,b]\) ，表示 \(\{x:a{\le}x{\le}b\}\)，\((a,b)\) ，表示 \(\{x:a{<}x{<}b\}\) ，至于 \(\infty\) ，就不赘述了，只知道无穷是永远无法抵达的真实，所以是开就行了。
题外话：写公式，就是要简洁优雅，如果想简洁优雅地表示除了 \(2\) 以外的集合 \((-8,13]\) ，该怎么做？可以写作 \((-8,13]{\backslash\{2\}}\) ，这里的反斜杠表示“不包括”。
tips：latex中用\backslash表示\
怎么“计算”我们的白盒转换机会做出什么零件
我们知道，转换机做零件，是按照一定规则的，是可以去计算确定的，那么怎么做呢？
一种办法是可视化展示，也就是将定义域的材料全丢进去，看看每种材料对应的最后做成的零件有哪些就好了。
而这，就是我们常说的函数图像，通过函数图像，我们就可以直观地看出其值域是什么(前提是比较简单)。
垂线检验魔法检验图像是否是函数
因为转换机比较特殊，一种材料对应一类零件，那么就不可能有两类零件有同样的一种 \(x\) 材料(毕竟是神奇机器，丢一种材料只能制造一类零件)，也就是一类塑料零件，一类钢铁零件，不可能说它们的材料是一样的吧(至少，这样的实现想来还在想象中，目前达不到)。
那么，我们就可以画一条垂线，如果跟图像的交点多于一次，就说明对应的图像不是函数的图像。
是很神奇的魔法体验。
反函数
白盒还原机，回收零件成为材料
我们还有一个与转换机功能相反的白盒还原机，可以把零件丢进去变成原本的材料出来，实现极高的回收利用率。
但是，这个还原机必须根据对应的转换机定制，转换机能转换的材料才能被丢进去还原(也就是函数对应的值域)，并且限制原本的转换机只能一种材料对应唯一一类零件(原本可以把塑料，钢铁最终都做成统称的零件，现在限制为只能用塑料做成确定的塑料零件，钢铁做成确定的钢铁零件，不然的话，还原机就不知道是将零件还原成塑料还是钢铁了)。
而这个神奇的还原机，我们叫它反函数，哪里反了呢？
-
第一反，原本函数把输入变输出，它要把输出变输入，输入和输出反了；
-
第二反，反函数的定义域就是相应的函数的值域( \(f^{-1}\) 的定义域和 \(f\) 的值域相同)，而反函数的值域，就是相应的函数的定义域( \(f^{-1}\) 的值域和 \(f\) 的定义域相同)，定义域和值域反了。
在有且仅有一个输入 x 能满足 \(f(x)=y\) 的前提下，基于\(f^{-1}\) 的定义域和 \(f\) 的值域相同和 \(f^{-1}\) 的值域和 \(f\) 的定义域相同的定义，可以得出：
\[如果f(x)=y,那么f^{-1}(y)=x \]但是，我们怎么知道有且仅有一个输入 x 能满足 \(f(x)=y\) 呢？怎么求得函数对应的反函数呢？反函数的图像又是怎样呢？
水平线检验魔法检验一材一菜，能否制造还原机
前面我们用垂线检验魔法，可以检查我们眼前的神奇机器是不是转换机，这里我们可以用水平线检验魔法，检查我们眼前的转换机，能不能做出对应的还原机。
我们知道图像上的每个点对应一个输入，也就是一类零件对应一种材料，那么，如果我们任意地画一条水平线，发现图像与这个水平线至多有一个交点，也就是我们检查了每一类零件，发现它们都只能由唯一一种材料做出来，就说明这个转换机是可以被制造出对应的还原机的，即，该函数有对应的反函数。
制造还原机
怎么制造还原机呢？转换机怎么把材料做成零件的，那还原机就要怎么反着将零件做成材料，这是最常见的思路。
例如，对于 \(f(x)=x^3\) ，有 \(y=x^3\) (满足反函数的要求)，那么我们就可以得到 \(x=\sqrt[3]{y}^{}\)，进而得到反函数 \(f^{-1}(y)=\sqrt[3]{y}\)，通常会觉得 y 比较碍眼，所以会写成 \(f^{-1}(x)=\sqrt[3]{x}\)
还有一种镜面魔法反射实现，可以将原函数的图像根据 \(y=x\) 的直线进行一个镜面反射，这样就可以得到对应的反函数的图像。
tips: \sqrt[n]{x} 可以表示 \(x\) 的根号 \(n\)
限制做菜机的发挥
前面我们用水平线检验魔法检查做菜机，如果发现转换机不能制造还原机怎么办？既然存在塑料做成零件，钢铁做成零件，对于零件不知道还原成什么材料的情况，那我改造一下转换机，禁止投入塑料或者钢铁其中之一不就行了吗？
这种改造方法，叫做限制投入，正式地说叫限制定义域。经过限制定义域的改造之后的转换机，就又可以被制造出对应的还原机了。
这里我们会有一个小发现，对一个图像先释放水平线检验魔法，再释放镜面反射魔法，就可以发现水平线变成了垂线。
还原机的还原机
既然说，我们可以给转换机制造对应的还原机，那么对于还原机，我们是不是还可以制作出对应的还原机呢？
答案是，当然可以，无非就是再交换一次值域和定义域，以及变换一次规则嘛，制造还原机的还原机，肯定是得到一个做菜机，但是这个转换机同最初的转换机，是可能不同的。
假如前面我们对转换机进行了限制定义域的操作，得到的是改造后的转换机，那么我们还原机的还原机，即还原的转换机肯定是改造后的转换机，而不是原先最初的转换机。简而言之，你不能指望还原得到的改造后的转换机能处理最初的转换机所能处理的所有材料。
用数学语言描述如下：
如果一个函数 \(f\) 的定义域可以被限制，使得 \(f\) 有反函数 \(f^{-1}\) ，那么
- 对于 \(f\) 值域中所有 \(y\) ，都有 \(f({f^{-1}(y)})=y\) ，但是
- \(f^{-1}({f(x)})\) 可能不等于 \(x\) ，\(f^{-1}({f(x)})=x\) 仅当 \(x\) 在限制的定义域中才成立。
复合函数
转换机：我们联合
一个转换机只能转换一种材料，将其做成一类零件，假如我们需要经过多个转换机，才能得到我们最后想要的零件，该怎么办呢？
一个思路是，用不同转换机一个个处理材料。但是我们可是神奇机器，用这样的简陋方法能忍吗？
答案很简单，把转换机丢到转换机中嵌套联合，比方说，我们需要将材料用转换机1转换为零件1，再将零件1用转换机2转换为零件2，那么我们就将转换机1丢进转换机2中嵌套，那么丢进去的材料就会经历下面的加工：
材料->转换机2(转换机1)->转换机2(零件1)->零件2
转换机联合嵌套最神奇的一点就是，嵌套在内层的搞初步加工，外层的搞深度加工，颇有一种锥形塔的美感。
而这样的联合嵌套处理，我们叫做函数的复合。
数学语言描述的示例如下：
假设我们想计算 \(f(x)=cos(x^2)\) ， 令 \(g(x)=x^2\) ， \(h(x)=cos(x)\)，可以这样表示 \(f=h{\circ}g\)，即 \(f=h(g(x))\)
当我们想要知道一个复杂零件需要经过哪些转换机按怎样的顺序加工，要做到的就是找到最初的材料在哪里，然后逐层建构相应规则的转换机。
什么，你将函数的复合和乘积搞混了，你怎么能把分工序加工和同时加工搞混呢？
有的时候，我们会将材料加工成带花纹的零件，但带花纹不影响本质，最后只是加工成带花纹的产品而已。
所谓带花纹，就是对原始函数图像加减常数的平移操作。
这里给出我最爱的口诀：左加右减
奇函数和偶函数
关于奇偶函数，我想大家都不陌生，关于 \(y\) 对称的则是偶函数，关于 \(y=x\) 对称的则是奇函数。
偶函数： \(f(-x)=f(x)\)
奇函数：\(f(-x)=-f(x)\)
函数有可能是 \(\{奇，偶，既奇又偶，非奇非偶\}\) 中的任意一种情况。
怎么证明是奇函数，或者偶函数呢？将每个 \(x\) 转换为 \((-x)\) 后计算 \(f(-x)\) 即可，如果能得到 \(f(x)\)，则是偶函数，得到 \(-f(x)\)，则是奇函数，否则则是非奇非偶函数。
线性函数的图像
线性函数 \(f(x)=mx+b\) (斜截式)，顾名思义，就是函数图像为一条直线的函数。
斜率就好比坡度，正在上坡，负在下坡，绝对值越大越陡峭。
直线还有一般式 \(Ax+By+C=0\)，可以排列得到 \(y=-\frac{A}{B}x-\frac{C}{B}\)
已知直线过一点 \((x_0,y_0)\) 与斜率，点斜式 \(y-y_0=m(x-x_0)\)
根据两点 \((x_1,y_1)\) 和 \((x_2,y_2)\) 求斜率 \(\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}\)
常见函数及其图像
多项式
-
基本项 \(x^n\) 的倍数叫作 \(x^n\) 的系数。
-
最大的幂指数 \(n\) (该项系数不能为零)叫做多项式的次数。
-
次数为 \(n\) 的多项式的数学通式为：
- \[p(x)=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\ldots+a_2x^2+a_1x+a_0 \]
-
多项式的图像左右两端走势由首项系数 \(a_n\) 决定
-
次数为 \(2\) 的多项式，又叫二次函数，形式为 \(p(x)=ax^2+a_1x+a_0\)
- 可以根据 \({\Delta}=b^2-4ac\) 这一判别式来判断二次函数的解为无实数解或者 \(\{1,2\}\) 个
- 二次函数的一个重要技术是配方，既通过加减常数项，提出二次项系数等操作，消除掉一次项，仅留下二次项。
有理函数
形如 \(\frac{p(x)}{q\left(x\right)}\) ，其中 \(p\) 和 \(q\) 为多项式的函数，叫做有理函数。
指数函数和对数函数
-
指数函数：\(y=b^x(b>1)\)，\(y=b^{x}(0<b<1)\)
- 底大上升，底小下行
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指数函数有反函数，即对数函数 \(y=\log_{b}{(x)}\)
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带有绝对值的函数，即 \(f(x)=\left\vert x\right\vert\)
标签：转换,函数,定义域,征程,材料,还原,零件,但用,高等数学 From： https://www.cnblogs.com/testtraveler/p/18531262/higher-mathematics-but-in-my-words-the-jou