高等数学 7.9欧拉方程

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形如

\[x^n y^{(n)} + p_1 x^{n - 1} y^{(n - 1)} + \cdots + p_{n - 1} x y' + p_n y = f(x) \tag{1} \]

的方程（其中 \(p_1,p_2, \cdots, p_n\) 为常数），叫做欧拉方程。

作变换 \(x = \mathrm{e}^t\) 或 \(t = \ln x\) ，将自变量 \(x\) 换成 \(t\) ，有

\[\begin{align*} \cfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} &= \cfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t} \cdot \cfrac{\mathrm{d}t}{\mathrm{d}x} = \cfrac{1 \mathrm{d}y}{x \mathrm{d}t},\\ \cfrac{\mathrm{d}^2 y}{\mathrm{d}x^2} &= \cfrac{1}{x^2} \left( \cfrac{\mathrm{d}^2 y}{\mathrm{d}t^2} - \cfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t} \right), \\ \cfrac{\mathrm{d}^3 y}{\mathrm{d}x^3} &= \cfrac{1}{x^3} \left( \cfrac{\mathrm{d}^3 y}{\mathrm{d}t^3} - 3 \cfrac{\mathrm{d}^2 y}{\mathrm{d}t^2} + 2 \cfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t} \right). \end{align*} \]

如果采用记号 \(\mathrm{D}\) 表示对 \(t\) 求导得运算 \(\cfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\) ，那么上述计算结果可以写成

\[\begin{align*} x y' &= \mathrm{D}y, \\ x^2 y'' &= \cfrac{\mathrm{d}^2 y}{\mathrm{d}t^2} - \cfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t} = \left( \cfrac{\mathrm{d}^2}{\mathrm{d}t^2} - \cfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} \right) y = (\mathrm{D}^2 - \mathrm{D}) y = \mathrm{D} (\mathrm{D} - 1)y, \\ x^3 y''' &= \cfrac{\mathrm{d}^3 y}{\mathrm{d}t^3} - 3 \cfrac{\mathrm{d}^2 y}{\mathrm{d}t^2} + 2 \cfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t} = (\mathrm{D}^3 - 3\mathrm{D}^2 + 2\mathrm{D})y = \mathrm{D}(\mathrm{D} - 1)(\mathrm{D} - 2)y. \end{align*} \]

一般地，有

\[x^k y^{(k)} = \mathrm{D}(\mathrm{D} - 1)\cdots(\mathrm{D} - k + 1)y . \]

把它代入欧拉方程 \((1)\) ，便得到一个以 \(t\) 为自变量的常系数线性微分方程。在求出这个方程的解后，把 \(t\) 换成 \(\ln x\)，即得原方程得解。

例题 求欧拉方程 \(x^3 y''' + x^2 y'' - 4xy' = 3x^2\) 的通解。
解：作变换 \(x = \mathrm{e}^t\) 或 \(t = \ln x\) ，原方程化为

\[\mathrm{D}(\mathrm{D} - 1)(\mathrm{D} - 2)y + \mathrm{D}(\mathrm{D} - 1)y - 4\mathrm{D}y = 3 \mathrm{e}^{2t} , \]

即

\[\mathrm{D}^3y - 2\mathrm{D}^2 y - 3 \mathrm{D} y = 3 \mathrm{e}^{2t} , \]

或

\[\cfrac{\mathrm{d}^3 y}{\mathrm{d}x^3} - 2 \cfrac{\mathrm{d}^2 y}{\mathrm{d}t^2} - 3 \cfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t} = 3 \mathrm{e}^{2t} \tag{2} \]

方程 \((2)\) 所对应的齐次方程为

\[\cfrac{\mathrm{d}^3 y}{\mathrm{d}x^3} - 2 \cfrac{\mathrm{d}^2 y}{\mathrm{d}t^2} - 3 \cfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t} = 0 \tag{3} \]

其特征方程为

\[r^3 - 2r^2 - 3r = 0 \]

它有三个根：\(r_1 = 0, r_2 = -1, r_3 = 3\)。于是方程 \((3)\) 的通解为

\[Y = C_1 + C_2 \mathrm{e}^{-t} + C_3 \mathrm{e}^{3t} = C_1 + \cfrac{C_2}{x} + C_3 x^3 \]

其特解形式为

\[y^* = b \mathrm{e}^{2t} = b x^2, \]

代入原方程，求得 \(b = - \cfrac{1}{2}\)，即

\[y^* = - \cfrac{x^2}{2} . \]

于是，所给欧拉方程的通解为

\[y = C_1 + \cfrac{C_2}{x} + C_3 x^3 - \cfrac{1}{2} x^2. \]

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