首页 > 其他分享 >高等数学,但用我的话说(这不是我的极限)

高等数学,但用我的话说(这不是我的极限)

时间:2024-11-07 22:22:13浏览次数:1  
标签:infty right 极限值 极限 渐近线 但用 高等数学 left

高等数学,但用我的话说(这不是我的极限)

目录

目录


极限须知

极限,是你永远无法到达的真实

什么是极限,极限就是咫尺之间,却触不可及,就是永远都无法到达的真实,就是永远砍不下的现金打款......

极限当中的 \(x\) 是不存在的,它是一个虚拟变量,因为它永远都无法由虚转实。

比如我说,对于这个函数,\(x\) 不能出现 \(2\),那么 \(f(2)\) 就成为了无法到达的值,只能根据函数的规则,去计算极限值,例如 \(f(x)=x\),就会产生:

\[\lim_{x\to2}{f\left(x\right)}=2 \]

但是极限也会区分左右,就好比青春时期你和同桌的“三八线”,一般是均衡分布,左右没有区别,但有时是左边多一点,右边少一点,有时恰好相反。

当然,实际的情况比这要复杂的多,就好比人生起起落落,某个节点的左右的极限值总是相差甚远,且波动很大,难以总结出统一的规律来。

我们附加减号和加号给不可抵达点来区分左右,用 -​ 表示左极限,+​ 表示右极限

例如:

\[\lim_{x\to k^{-}}f\left(x\right)=a \]

\[\lim_{x\to k^{+}}f\left(x\right)=b \]

假如什么都不加,就说明两边的极限值是一样的。

因此,我们可以说,双侧极限在左右不平时会消失,左右不平衡的时候,容不下中间派的摇摆不定。

tips: 你知道吗?我们可以用 \(DNE\) 来表示“不存在”


极限有时不存在

极限不存在通常意味着破限,即垂直渐近线的产生,即叹息之墙,你再大,或者再小,都无法通过此墙的限行,抵达此处的真实。

但,如果我们跑到无穷处呢?在无穷处是否还会有极限的存在呢,答案是可能有,大力能让砖飞,飞向无穷,但是仍然无法让摇摆派彻底倒向某一方,仍然无法突破某些规则定好的限制。

例如:

\[\lim_{x\to\infty}f\left(x\right)=L \]

它就永远无法突破 \(y=L\) 的水平渐近线限高

\(0\),是一个特殊的值,因此,有时我们也会研究接近 \(0\) 的极限值。

例如:

\[\lim_{x\to0}f\left(x\right)=L \]

总结:垂直限行,水平限高。


渐近线须知

  1. 一个函数不一定要在左右两边有相同的水平渐近线
  2. 函数有可能与它的渐近线相交,甚至是反复相交


三明治定理(夹逼定理)

两面包夹之势,咳,串台了。不过道路是相同的,如果一个函数,始终被两个其他的函数夹在中间,那么假如另外两个函数的在 \(a\) 处的极限值为 \(L\) ,这个函数在 \(a\) 处的极限值也为 \(L\)


多项式的极限

\(x\to a\) 时的有理函数的极限

代入法

了解了极限的一些小知识之后,我们就要将其投入到实践当中进行再认识。

我们从下式开始吧:

\[\lim_{x\to a}\frac{p\left(x\right)}{q\left(x\right)} \]

有的时候,我们可以使用我们最爱的,最直观的办法求解极限值,比如将 \(x=a\) 代入进去,这种方法叫代入法

关于 \(\frac00\) ,不定式,因式分解,配方

但是,没有一法破万法的好方法,现实情景下,我们永远只能选择更符合当前情景的方法去做。

有的时候,代入法会出现 \(\frac00\) 的尴尬结果,这被称为不定式

这时,极限有可能是有限的、\(\infty\) 或 \(-\infty\),甚至不存在。

这个时候怎么求极限呢?答案是因式分解,将公因子删除后再代入,也能求得极限值。

如果不那么顺利,我想,大抵是配方的技术还需要多多磨练。

立方差的公式也很重要:

\[a^3-b^3=\left(a-b\right)\left(a^2+ab+b^2\right) \]


关于 \(\frac{?}{0}\) ,垂直渐近线与图像

如果不幸出现了 \(\frac{?}{0}\) 的情况,该怎么做呢?

只能祭出图像法了,语言概括就是关于叹息之墙两侧的 \((左\in\{-,+\},右\in\{-,+\})\) 组合,无非取值是 \(\left\lbrace\infty,-\infty,DNE\right\rbrace\) 之一。

怎么分辨是哪种情形呢?

  1. 首先代入法求出分子的值,得到分子的正负,稍微移动 \(x\) ,不会改变分子的正负
  2. 于是我们去关注分母的正负,看看微微移动 \(x\) 后, 分母的正负是怎么变化的
  3. 进而判断两边极限值的正负确定组合,最后得出答案。


\(x\to a\) 时的平方根的极限

求解思路:平方根 \({\left\lbrace+,-\right\rbrace}\) 某个数,把分子分母同时乘以其共轭表达式,就会发现令人惊喜的展开。


\(x\to\infty\) 时的有理函数

如果说,现在 \(x\to\infty\) (这宣布了代入法的死刑),我们该怎么求极限呢?

我们知道,多项式 \(\frac{p(x)}{q\left(x\right)}\),是老大(次数最大的项,即首项)才能决定整体走势,在 \(x\) 接近无穷大的时候,就是老大一言堂了。

那么,我们就可以比较两个多项式的首项,来大致确定极限值是 \(\left\lbrace0,C,\pm\infty\right\rbrace\) 中的那个,实际求解则是,分子分母同时除以(处理原来)并乘以各自的最高次项(独立出去)。再根据式子

\[\lim_{x\to\infty}\frac{C}{x^{n}}=0, C \in \mathbb{R} \text{ and } n > 0 \]

即可得出结果。

一般有以下情况和对应的结果:

  1. p的次数 == q的次数,极限为 \(C\),且非 \(0\)
  2. p的次数 > q的次数,极限为 \(\pm\infty\) 之一
  3. p的次数 < q的次数,极限为 \(0\)


\(x\to\infty\) 时的多项式型函数的极限

什么是多项式型函数,看起来像多项式,但是含有分数次数或 \(n\) 次根。

唯一的干扰是,你要关注并找到真正的老大,以及必要的时候采用乘以共轭表达式的方式进行处理。


\(x\to-\infty\) 时的有理函数的极限

思路是相通的,只是这个时候,需要关注根式有无受到正负的影响,化简时是否需要进行相应的正负号的处理。

对于形如 \(\sqrt[n]{{x}^{y}},x<0\) 这样的式子,试图得到 \(x^{m},m=\frac{y}{n}\) 时,当且仅当 \(m \equiv 1 \pmod{2} \quad \text{and} \quad n \equiv 0 \pmod{2}\) 时需要给 \(x^{m}\) 添加 \(-\)


包含绝对值的函数的极限

涉及绝对值,需要做的就是根据绝对值内部的符号,考虑更多 \(x\) 的区间


标签:infty,right,极限值,极限,渐近线,但用,高等数学,left
From: https://www.cnblogs.com/testtraveler/p/18534112/higher-mathematics-but-in-my-words-this-is

相关文章

  • 高等数学,但用我的话说(这不是我的极限)
    高等数学,但用我的话说(这不是我的极限)目录‍目录高等数学,但用我的话说(这不是我的极限)目录极限须知极限,是你永远无法到达的真实极限有时不存在渐近线须知三明治定理(夹逼定理)多项式的极限\(x\toa\)时的有理函数的极限代入法关于\(\frac00\),不定式,因式分解,配方关于\(\fr......
  • 高等数学,但用我的话来说(三角学二三事)
    高等数学,但用我的话来说(三角学二三事)目录‍目录高等数学,但用我的话来说(三角学二三事)目录论弧度和度,三角函数弧度和度三角函数扩展三角函数定义域四象限ASTC方法\([0,2\pi]\)以外的三角函数,周期启动三角函数的图像三角恒等式正余切串门记角的和与倍角公式‍‍论弧度和......
  • 高等数学,但用我的话来说(三角学二三事)
    高等数学,但用我的话来说(三角学二三事)目录‍目录高等数学,但用我的话来说(三角学二三事)目录论弧度和度,三角函数弧度和度三角函数扩展三角函数定义域四象限ASTC方法\([0,2\pi]\)以外的三角函数,周期启动三角函数的图像三角恒等式正余切串门记角的和与倍角公式‍‍论弧度和......
  • 高等数学,但用我的话来说(三角学二三事)
    高等数学,但用我的话来说(三角学二三事)目录‍目录高等数学,但用我的话来说(三角学二三事)目录论弧度和度,三角函数弧度和度三角函数扩展三角函数定义域四象限ASTC方法\([0,2\pi]\)以外的三角函数,周期启动三角函数的图像三角恒等式正余切串门记角的和与倍角公式‍‍论弧度和......
  • 高等数学,但用我的话来说(征程从函数开始)
    高等数学,但用我的话来说(征程从函数开始)目录‍目录高等数学,但用我的话来说(征程从函数开始)目录函数函数与白盒转换机实心与空心的区间表示法怎么“计算”我们的白盒转换机会做出什么零件垂线检验魔法检验图像是否是函数反函数白盒还原机,回收零件成为材料水平线检验魔法检验一材一......
  • 高等数学,但用我的话来说(征程从函数开始)
    高等数学,但用我的话来说(征程从函数开始)目录‍目录高等数学,但用我的话来说(征程从函数开始)目录函数函数与白盒转换机实心与空心的区间表示法怎么“计算”我们的白盒转换机会做出什么零件垂线检验魔法检验图像是否是函数反函数白盒还原机,回收零件成为材料水平线检验魔法检验一材一......
  • Accepted极限代码巅峰赛 E Triangle
    题目题解神奇题定义题目要求的“合法序列”为\(a_i\in[1,n],\;a_i+a_{i+1}\lea_{i+2}\)定义长为l的斐波那契序列\(Fib_l\)为序列\(\{fib_1,fib_2,\cdots,fib_l\}\)定义两个数列的和为右对齐然后按位相加(不足补0),如\(\{1,2,3\}+\{3,4\}=\{1,5,7\}\)定义斐波那契序列......
  • 同济大学高等数学第七版上册
    一、简要总结:《同济大学高等数学第七版上册》是同济大学数学系编写的高等数学教材,本书内容符合“工科类本科数学基础课程教学基本要求”,适合高等院校工科类各专业学生使用。本次修订对第六版的内容进行了一些重要修改和完善,旨在使学生更好地学习和理解高等数学的基本概念、理论......
  • 工程师和科学家的高等数学及python实例:2三角函数 II
    2三角函数II学完本章内容后,你应该能够●讨论反三角函数的图形●讨论倒数函数的图形●评估正弦、余弦和正切函数的变换2.1引言本章将继续讨论三角函数,研究上一章中涉及的三个三角函数的倒数和反三角函数。本章还将讨论这些函数的变换。2.2三角函数的倒数正弦、余弦......
  • 工程师和科学家的高等数学及python实例:1三角函数
    1三角函数在学习了本章内容之后,你应该能够说明三角函数比计算任意给定角的正弦、余弦和正切讨论象限及其应用确定特殊角(0°,30°,45°,60°,90°)的三角比使用特殊角的精确正弦值、余弦值和正切值绘制正弦函数、余弦函数和正切函数的图形1.1引言三角学是数学的......