高等数学，但用我的话说(这不是我的极限)
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极限须知
极限，是你永远无法到达的真实
什么是极限，极限就是咫尺之间，却触不可及，就是永远都无法到达的真实，就是永远砍不下的现金打款......
极限当中的 \(x\) 是不存在的，它是一个虚拟变量，因为它永远都无法由虚转实。
比如我说，对于这个函数，\(x\) 不能出现 \(2\)，那么 \(f(2)\) 就成为了无法到达的值，只能根据函数的规则，去计算极限值，例如 \(f(x)=x\)，就会产生:
\[\lim_{x\to2}{f\left(x\right)}=2 \]但是极限也会区分左右，就好比青春时期你和同桌的“三八线”，一般是均衡分布，左右没有区别，但有时是左边多一点，右边少一点，有时恰好相反。
当然，实际的情况比这要复杂的多，就好比人生起起落落，某个节点的左右的极限值总是相差甚远，且波动很大，难以总结出统一的规律来。
我们附加减号和加号给不可抵达点来区分左右，用 - 表示左极限， 用 + 表示右极限。
例如:
\[\lim_{x\to k^{-}}f\left(x\right)=a \]\[\lim_{x\to k^{+}}f\left(x\right)=b \]假如什么都不加，就说明两边的极限值是一样的。
因此，我们可以说，双侧极限在左右不平时会消失，左右不平衡的时候，容不下中间派的摇摆不定。
tips: 你知道吗？我们可以用 \(DNE\) 来表示“不存在”
极限有时不存在
极限不存在通常意味着破限，即垂直渐近线的产生，即叹息之墙，你再大，或者再小，都无法通过此墙的限行，抵达此处的真实。
但，如果我们跑到无穷处呢？在无穷处是否还会有极限的存在呢，答案是可能有，大力能让砖飞，飞向无穷，但是仍然无法让摇摆派彻底倒向某一方，仍然无法突破某些规则定好的限制。
例如：
\[\lim_{x\to\infty}f\left(x\right)=L \]它就永远无法突破 \(y=L\) 的水平渐近线的限高。
\(0\)，是一个特殊的值，因此，有时我们也会研究接近 \(0\) 的极限值。
例如：
\[\lim_{x\to0}f\left(x\right)=L \]
总结：垂直限行，水平限高。
渐近线须知
- 一个函数不一定要在左右两边有相同的水平渐近线
- 函数有可能与它的渐近线相交，甚至是反复相交
三明治定理(夹逼定理)
两面包夹之势，咳，串台了。不过道路是相同的，如果一个函数，始终被两个其他的函数夹在中间，那么假如另外两个函数的在 \(a\) 处的极限值为 \(L\) ，这个函数在 \(a\) 处的极限值也为 \(L\)
多项式的极限
\(x\to a\) 时的有理函数的极限
代入法
了解了极限的一些小知识之后，我们就要将其投入到实践当中进行再认识。
我们从下式开始吧：
\[\lim_{x\to a}\frac{p\left(x\right)}{q\left(x\right)} \]有的时候，我们可以使用我们最爱的，最直观的办法求解极限值，比如将 \(x=a\) 代入进去，这种方法叫代入法。
关于 \(\frac00\) ，不定式，因式分解，配方
但是，没有一法破万法的好方法，现实情景下，我们永远只能选择更符合当前情景的方法去做。
有的时候，代入法会出现 \(\frac00\) 的尴尬结果，这被称为不定式。
这时，极限有可能是有限的、\(\infty\) 或 \(-\infty\)，甚至不存在。
这个时候怎么求极限呢？答案是因式分解，将公因子删除后再代入，也能求得极限值。
如果不那么顺利，我想，大抵是配方的技术还需要多多磨练。
立方差的公式也很重要：
\[a^3-b^3=\left(a-b\right)\left(a^2+ab+b^2\right) \]
关于 \(\frac{?}{0}\) ，垂直渐近线与图像
如果不幸出现了 \(\frac{?}{0}\) 的情况，该怎么做呢？
只能祭出图像法了，语言概括就是关于叹息之墙两侧的 \((左\in\{-,+\},右\in\{-,+\})\) 组合，无非取值是 \(\left\lbrace\infty,-\infty,DNE\right\rbrace\) 之一。
怎么分辨是哪种情形呢？
- 首先代入法求出分子的值，得到分子的正负，稍微移动 \(x\) ，不会改变分子的正负
- 于是我们去关注分母的正负，看看微微移动 \(x\) 后， 分母的正负是怎么变化的
- 进而判断两边极限值的正负，确定组合，最后得出答案。
\(x\to a\) 时的平方根的极限
求解思路：平方根 \({\left\lbrace+,-\right\rbrace}\) 某个数，把分子分母同时乘以其共轭表达式，就会发现令人惊喜的展开。
\(x\to\infty\) 时的有理函数
如果说，现在 \(x\to\infty\) (这宣布了代入法的死刑)，我们该怎么求极限呢？
我们知道，多项式 \(\frac{p(x)}{q\left(x\right)}\)，是老大(次数最大的项，即首项)才能决定整体走势，在 \(x\) 接近无穷大的时候，就是老大一言堂了。
那么，我们就可以比较两个多项式的首项，来大致确定极限值是 \(\left\lbrace0,C,\pm\infty\right\rbrace\) 中的那个，实际求解则是，分子分母同时除以(处理原来)并乘以各自的最高次项(独立出去)。再根据式子
\[\lim_{x\to\infty}\frac{C}{x^{n}}=0, C \in \mathbb{R} \text{ and } n > 0 \]即可得出结果。
一般有以下情况和对应的结果：
- p的次数 == q的次数，极限为 \(C\)，且非 \(0\)
- p的次数 > q的次数，极限为 \(\pm\infty\) 之一
- p的次数 < q的次数，极限为 \(0\)
\(x\to\infty\) 时的多项式型函数的极限
什么是多项式型函数，看起来像多项式，但是含有分数次数或 \(n\) 次根。
唯一的干扰是，你要关注并找到真正的老大，以及必要的时候采用乘以共轭表达式的方式进行处理。
\(x\to-\infty\) 时的有理函数的极限
思路是相通的，只是这个时候，需要关注根式有无受到正负的影响，化简时是否需要进行相应的正负号的处理。
对于形如 \(\sqrt[n]{{x}^{y}},x<0\) 这样的式子，试图得到 \(x^{m},m=\frac{y}{n}\) 时，当且仅当 \(m \equiv 1 \pmod{2} \quad \text{and} \quad n \equiv 0 \pmod{2}\) 时需要给 \(x^{m}\) 添加 \(-\)
包含绝对值的函数的极限
涉及绝对值，需要做的就是根据绝对值内部的符号，考虑更多 \(x\) 的区间。
标签：infty,right,极限值,极限,渐近线,但用,高等数学,left From： https://www.cnblogs.com/testtraveler/p/18534112/higher-mathematics-but-in-my-words-this-is