文章目录
一、无穷限的反常积分
设函数
f
(
x
)
f(x)
f(x) 在区间
[
a
,
+
∞
)
[a, + \infty)
[a,+∞) 上连续，任取
t
>
a
t > a
t>a ，作定积分
∫
a
t
f
(
x
)
d
x
\displaystyle \int_a^t f(x) \mathrm{d}x
∫atf(x)dx ，再求极限
lim
t
→
+
∞
∫
a
t
f
(
x
)
d
x
,
(1)
\lim_{t \to + \infty} \int_a^t f(x) \mathrm{d}x, \tag{1}
t→+∞lim∫atf(x)dx,(1)
这个对变上限定积分的算式
(
1
)
(1)
(1) 称为函数
f
(
x
)
f(x)
f(x) 在无穷区间
[
a
,
+
∞
)
[a, + \infty)
[a,+∞) 上的反常积分，记为
∫
a
+
∞
f
(
x
)
d
x
\displaystyle \int_a^{+\infty} f(x) \mathrm{d}x
∫a+∞f(x)dx ，即
∫
a
+
∞
f
(
x
)
d
x
=
lim
t
→
+
∞
∫
a
t
f
(
x
)
d
x
,
(1’)
\int_a^{+\infty} f(x) \mathrm{d}x = \lim_{t \to + \infty} \int_a^t f(x) \mathrm{d}x, \tag{1'}
∫a+∞f(x)dx=t→+∞lim∫atf(x)dx,(1’)
根据算式 ( 1 ) (1) (1) 的结果是否存在，可引入反常积分 ∫ a + ∞ f ( x ) d x \displaystyle \int_a^{+\infty} f(x) \mathrm{d}x ∫a+∞f(x)dx 收敛与发散的定义：
定义1 （1）设函数 f ( x ) f(x) f(x) 在区间 [ a , + ∞ ) [a, + \infty) [a,+∞) 上连续，如果极限 ( 1 ) (1) (1) 存在，那么称反常积分 ∫ a + ∞ f ( x ) d x \displaystyle \int_a^{+\infty} f(x) \mathrm{d}x ∫a+∞f(x)dx 收敛，并称此极限为该反常积分的值；如果极限 ( 1 ) (1) (1) 不存在，那么就称反常积分 ∫ a + ∞ f ( x ) d x \displaystyle \int_a^{+\infty} f(x) \mathrm{d}x ∫a+∞f(x)dx 发散。
类似的设函数
f
(
x
)
f(x)
f(x) 在区间
(
−
∞
,
b
]
(-\infty, b]
(−∞,b]上连续，任取
t
<
b
t < b
t<b ，算式
lim
t
→
−
∞
∫
t
b
f
(
x
)
d
x
,
(2)
\lim_{t \to - \infty} \int_t^bf(x) \mathrm{d}x, \tag{2}
t→−∞lim∫tbf(x)dx,(2)
称为函数
f
(
x
)
f(x)
f(x) 在无穷区间
(
−
∞
,
b
]
(-\infty, b]
(−∞,b] 上的反常积分，记作
∫
−
∞
b
f
(
x
)
d
x
\displaystyle \int_{-\infty}^b f(x) \mathrm{d}x
∫−∞bf(x)dx ，即
∫
−
∞
b
f
(
x
)
d
x
=
lim
t
→
−
∞
∫
t
b
f
(
x
)
d
x
,
(2’)
\int_{-\infty}^b f(x) \mathrm{d}x = \lim_{t \to - \infty} \int_t^bf(x) \mathrm{d}x, \tag{2'}
∫−∞bf(x)dx=t→−∞lim∫tbf(x)dx,(2’)
于是有（2）设函数
f
(
x
)
f(x)
f(x) 在区间
(
−
∞
,
b
]
(-\infty, b]
(−∞,b] 上连续，如果极限
(
2
)
(2)
(2) 存在，那么称反常积分
∫
−
∞
b
f
(
x
)
d
x
\displaystyle \int_{-\infty}^b f(x) \mathrm{d}x
∫−∞bf(x)dx 收敛，并称此极限为该反常积分的值；如果极限
(
2
)
(2)
(2) 不存在，那么就称反常积分
∫
−
∞
b
f
(
x
)
d
x
\displaystyle \int_{-\infty}^b f(x) \mathrm{d}x
∫−∞bf(x)dx 发散。
设函数
f
(
x
)
f(x)
f(x) 在区间
(
−
∞
,
+
∞
)
(-\infty, +\infty)
(−∞,+∞) 上连续，反常积分
∫
−
∞
0
f
(
x
)
d
x
\displaystyle \int_{-\infty}^0 f(x) \mathrm{d}x
∫−∞0f(x)dx 与反常积分
∫
0
+
∞
f
(
x
)
d
x
\displaystyle \int_0^{+\infty} f(x) \mathrm{d}x
∫0+∞f(x)dx 之和称为函数
f
(
x
)
f(x)
f(x) 在无穷区间
(
−
∞
,
+
∞
)
(-\infty, +\infty)
(−∞,+∞) 上的反常积分，记作
∫
−
∞
+
∞
f
(
x
)
d
x
\displaystyle \int_{-\infty}^{+\infty} f(x) \mathrm{d}x
∫−∞+∞f(x)dx ，即
∫
−
∞
+
∞
f
(
x
)
d
x
=
∫
−
∞
0
f
(
x
)
d
x
+
∫
0
+
∞
f
(
x
)
d
x
(3)
\int_{-\infty}^{+\infty} f(x) \mathrm{d}x = \int_{-\infty}^0 f(x) \mathrm{d}x + \int_0^{+\infty} f(x) \mathrm{d}x \tag{3}
∫−∞+∞f(x)dx=∫−∞0f(x)dx+∫0+∞f(x)dx(3)
于是有（3）设函数
f
(
x
)
f(x)
f(x) 在区间
(
−
∞
,
+
∞
)
(-\infty, +\infty)
(−∞,+∞) 上连续，如果反常积分
∫
−
∞
0
f
(
x
)
d
x
\displaystyle \int_{-\infty}^0 f(x) \mathrm{d}x
∫−∞0f(x)dx 与反常积分
∫
0
+
∞
f
(
x
)
d
x
\displaystyle \int_0^{+\infty} f(x) \mathrm{d}x
∫0+∞f(x)dx 均收敛，那么称反常积分
∫
−
∞
+
∞
f
(
x
)
d
x
\displaystyle \int_{-\infty}^{+\infty} f(x) \mathrm{d}x
∫−∞+∞f(x)dx 收敛，并称反常积分
∫
−
∞
0
f
(
x
)
d
x
\displaystyle \int_{-\infty}^0 f(x) \mathrm{d}x
∫−∞0f(x)dx 的值与反常积分
∫
0
+
∞
f
(
x
)
d
x
\displaystyle \int_0^{+\infty} f(x) \mathrm{d}x
∫0+∞f(x)dx 的值之和称为反常积分
∫
−
∞
+
∞
f
(
x
)
d
x
\displaystyle \int_{-\infty}^{+\infty} f(x) \mathrm{d}x
∫−∞+∞f(x)dx 的值，否则就称反常积分
∫
−
∞
+
∞
f
(
x
)
d
x
\displaystyle \int_{-\infty}^{+\infty} f(x) \mathrm{d}x
∫−∞+∞f(x)dx 发散。
上述反常积分统称为无穷限的反常积分。
由上述定义及牛顿—莱布尼兹公式，可得如下结果：
设
F
(
x
)
F(x)
F(x) 为
f
(
x
)
f(x)
f(x) 在
[
a
,
+
∞
)
[a, +\infty)
[a,+∞) 上的一个原函数，若
lim
x
→
+
∞
F
(
x
)
\lim\limits_{x \to +\infty} F(x)
x→+∞limF(x) 存在，则反常积分
∫
a
+
∞
=
lim
x
→
+
∞
F
(
x
)
−
F
(
a
)
;
\int_a^{+\infty} = \lim_{x \to +\infty} F(x) - F(a) ;
∫a+∞=x→+∞limF(x)−F(a);
若
lim
x
→
+
∞
F
(
x
)
\lim\limits_{x \to +\infty} F(x)
x→+∞limF(x) 不存在，则称反常积分
∫
a
+
∞
f
(
x
)
d
x
\displaystyle \int_a^{+\infty} f(x) \mathrm{d}x
∫a+∞f(x)dx 发散。
若记
F
(
+
∞
)
=
lim
x
→
+
∞
F
(
x
)
,
F
(
x
)
∣
a
+
∞
=
F
(
+
∞
)
−
F
(
a
)
F(+\infty) = \lim\limits_{x \to +\infty} F(x), \left . F(x) \right|_a^{+\infty} = F(+\infty) - F(a)
F(+∞)=x→+∞limF(x),F(x)∣a+∞=F(+∞)−F(a) ，则当
F
(
+
∞
)
F(+\infty)
F(+∞) 存在时，
∫
a
+
∞
f
(
x
)
d
x
=
F
(
x
)
∣
a
+
∞
;
\int_a^{+\infty} f(x) \mathrm{d}x = \left . F(x) \right|_a^{+\infty} ;
∫a+∞f(x)dx=F(x)∣a+∞;
当
F
(
+
∞
)
F(+\infty)
F(+∞) 不存在时，反常积分
∫
a
+
∞
f
(
x
)
d
x
\displaystyle \int_a^{+\infty} f(x) \mathrm{d}x
∫a+∞f(x)dx 发散。
类似的，若在
(
−
∞
,
b
]
(-\infty, b]
(−∞,b] 上
F
′
(
x
)
=
f
(
x
)
F'(x) = f(x)
F′(x)=f(x) ，则当
F
(
−
∞
)
F(-\infty)
F(−∞) 存在时，
∫
−
∞
b
f
(
x
)
d
x
=
F
(
x
)
∣
−
∞
b
;
\int_{-\infty}^b f(x) \mathrm{d}x = \left . F(x) \right|_{-\infty}^b ;
∫−∞bf(x)dx=F(x)∣−∞b;
当
F
(
−
∞
)
F(-\infty)
F(−∞) 不存在时，反常积分
∫
−
∞
b
f
(
x
)
d
x
\displaystyle \int_{-\infty}^b f(x) \mathrm{d}x
∫−∞bf(x)dx 发散。
若在
(
−
∞
,
+
∞
)
(-\infty, +\infty)
(−∞,+∞) 内
F
′
(
x
)
=
f
(
x
)
F'(x) = f(x)
F′(x)=f(x) ，则当
F
(
−
∞
)
F(-\infty)
F(−∞) 与
F
(
+
∞
)
F(+\infty)
F(+∞) 都存在时，
∫
−
∞
+
∞
f
(
x
)
d
x
=
F
(
x
)
∣
−
∞
+
∞
\int_{-\infty}^{+\infty} f(x) \mathrm{d}x = \left . F(x) \right|_{-\infty}^{+\infty}
∫−∞+∞f(x)dx=F(x)∣−∞+∞
当
F
(
−
∞
)
F(-\infty)
F(−∞) 与
F
(
+
∞
)
F(+\infty)
F(+∞) 有一个不存在时，反常积分
∫
−
∞
+
∞
f
(
x
)
d
x
\displaystyle \int_{-\infty}^{+\infty} f(x) \mathrm{d}x
∫−∞+∞f(x)dx 发散。
二、无界函数的反常积分
如果函数 f ( x ) f(x) f(x) 在点 a a a 的任一邻域内都无界，那点 a a a 称为函数 f ( x ) f(x) f(x) 的瑕点（也称为无界间断点）。无界函数的反常积分又称为瑕积分。
设函数
f
(
x
)
f(x)
f(x) 在区间
(
a
,
b
]
(a, b]
(a,b] 上连续，点
a
a
a 为
f
(
x
)
f(x)
f(x) 的瑕点。任取
t
>
a
t > a
t>a ，作定积分
∫
t
b
f
(
x
)
d
x
\displaystyle \int_t^b f(x) \mathrm{d}x
∫tbf(x)dx ，再求极限
lim
t
→
a
+
∫
t
b
f
(
x
)
d
x
(4)
\lim_{t \to a^+} \int_t^b f(x) \mathrm{d}x \tag{4}
t→a+lim∫tbf(x)dx(4)
这个对变下限的定积分求极限的算式
(
4
)
(4)
(4) 称为函数
f
(
x
)
f(x)
f(x) 在区间
(
a
,
b
]
(a, b]
(a,b] 上的反常积分，仍然记为
∫
a
b
f
(
x
)
d
x
\displaystyle \int_a^b f(x) \mathrm{d}x
∫abf(x)dx ，即
∫
a
b
f
(
x
)
d
x
=
lim
t
→
a
+
∫
t
b
f
(
x
)
d
x
(4’)
\int_a^b f(x) \mathrm{d}x = \lim_{t \to a^+} \int_t^b f(x) \mathrm{d}x \tag{4'}
∫abf(x)dx=t→a+lim∫tbf(x)dx(4’)
根据算式 ( 4 ) (4) (4) 的结果是否存在，可引入反常积分 ∫ a b f ( x ) d x \displaystyle \int_a^b f(x) \mathrm{d}x ∫abf(x)dx 收敛与发散的定义：
定义2 （1）函数 f ( x ) f(x) f(x) 在区间 ( a , b ] (a, b] (a,b] 上连续，点 a a a 为 f ( x ) f(x) f(x) 的瑕点，如果极限 ( 4 ) (4) (4) 存在，那么称反常积分 ∫ a b f ( x ) d x \displaystyle \int_a^b f(x) \mathrm{d}x ∫abf(x)dx 收敛，并称此极限为该反常积分的值；如果极限 ( 4 ) (4) (4) 不存在，那么称反常积分 ∫ a b f ( x ) d x \displaystyle \int_a^b f(x) \mathrm{d}x ∫abf(x)dx 发散。
类似地，设函数
f
(
x
)
f(x)
f(x) 在区间
[
a
,
b
)
[a, b)
[a,b) 上连续，点
b
b
b 为
f
(
x
)
f(x)
f(x) 的瑕点。任取
t
<
b
t < b
t<b ，算式
lim
t
→
b
−
∫
a
t
f
(
x
)
d
x
(5)
\lim_{t \to b^-} \int_a^t f(x) \mathrm{d}x \tag{5}
t→b−lim∫atf(x)dx(5)
称为函数
f
(
x
)
f(x)
f(x) 在区间
[
a
,
b
)
[a, b)
[a,b) 上的反常积分，仍然记为
∫
a
b
f
(
x
)
d
x
\displaystyle \int_a^b f(x) \mathrm{d}x
∫abf(x)dx ，即
∫
a
b
f
(
x
)
d
x
=
lim
t
→
b
−
∫
a
t
f
(
x
)
d
x
(5’)
\int_a^b f(x) \mathrm{d}x = \lim_{t \to b^-} \int_a^t f(x) \mathrm{d}x \tag{5'}
∫abf(x)dx=t→b−lim∫atf(x)dx(5’)
于是有（2）设函数
f
(
x
)
f(x)
f(x) 在区间
[
a
,
b
)
[a, b)
[a,b) 上连续，点
b
b
b 为
f
(
x
)
f(x)
f(x) 的瑕点，如果极限
(
5
)
(5)
(5) 存在，那么称反常积分
∫
a
b
f
(
x
)
d
x
\displaystyle \int_a^b f(x) \mathrm{d}x
∫abf(x)dx 收敛，并称此极限为该反常积分的值；如果极限
(
5
)
(5)
(5) 不存在，那么就称反常积分
∫
a
b
f
(
x
)
d
x
\displaystyle \int_a^b f(x) \mathrm{d}x
∫abf(x)dx 发散。
设函数
f
(
x
)
f(x)
f(x) 在区间
[
a
,
c
)
[a, c)
[a,c) 及区间
(
c
,
b
]
(c, b]
(c,b] 上连续，
c
c
c 为
f
(
x
)
f(x)
f(x) 的瑕点。反常积分
∫
a
c
f
(
x
)
d
x
\displaystyle \int_a^c f(x) \mathrm{d}x
∫acf(x)dx 与反常积分
∫
c
b
f
(
x
)
d
x
\displaystyle \int_c^b f(x) \mathrm{d}x
∫cbf(x)dx 之和称为函数
f
(
x
)
f(x)
f(x) 在区间
[
a
,
b
]
[a, b]
[a,b] 上的反常积分，仍然记作
∫
a
b
f
(
x
)
d
x
\displaystyle \int_a^b f(x) \mathrm{d}x
∫abf(x)dx ，即
∫
a
b
f
(
x
)
d
x
=
∫
a
c
f
(
x
)
d
x
+
∫
c
b
f
(
x
)
d
x
(6)
\int_a^b f(x) \mathrm{d}x = \int_a^c f(x) \mathrm{d}x + \int_c^b f(x) \mathrm{d}x \tag{6}
∫abf(x)dx=∫acf(x)dx+∫cbf(x)dx(6)
（3）设函数
f
(
x
)
f(x)
f(x) 在区间
[
a
,
c
)
[a, c)
[a,c) 及区间
(
c
,
b
]
(c, b]
(c,b] 上连续，点
c
c
c 为
f
(
x
)
f(x)
f(x) 的瑕点。如果反常积分
∫
a
c
f
(
x
)
d
x
\displaystyle \int_a^c f(x) \mathrm{d}x
∫acf(x)dx 与反常积分
∫
c
b
f
(
x
)
d
x
\displaystyle \int_c^b f(x) \mathrm{d}x
∫cbf(x)dx 均收敛，那么称反常积分
∫
a
b
f
(
x
)
d
x
\displaystyle \int_a^b f(x) \mathrm{d}x
∫abf(x)dx 收敛，并称反常积分
∫
a
c
f
(
x
)
d
x
\displaystyle \int_a^c f(x) \mathrm{d}x
∫acf(x)dx 的值与反常积分
∫
c
b
f
(
x
)
d
x
\displaystyle \int_c^b f(x) \mathrm{d}x
∫cbf(x)dx 的值之和为反常积分
∫
a
b
f
(
x
)
d
x
\displaystyle \int_a^b f(x) \mathrm{d}x
∫abf(x)dx 的值；否则，就称反常积分
∫
a
b
f
(
x
)
d
x
\displaystyle \int_a^b f(x) \mathrm{d}x
∫abf(x)dx 发散。
计算无界函数的反常积分，也可借助牛顿—莱布尼茨公式。
设
x
=
a
x = a
x=a 为
f
(
x
)
f(x)
f(x) 的瑕点，在
(
a
,
b
]
(a, b]
(a,b] 上
F
′
(
x
)
=
f
(
x
)
F'(x) = f(x)
F′(x)=f(x) ，如果极限
lim
x
→
a
+
F
(
x
)
\lim\limits_{x \to a^+} F(x)
x→a+limF(x) 存在，那么反常积分
∫
a
b
f
(
x
)
d
x
=
F
(
b
)
−
lim
x
→
a
+
F
(
x
)
=
F
(
b
)
−
F
(
a
+
)
;
\int_a^b f(x) \mathrm{d}x = F(b) - \lim_{x \to a^+} F(x) = F(b) - F(a^+) ;
∫abf(x)dx=F(b)−x→a+limF(x)=F(b)−F(a+);
如果
lim
x
→
a
+
F
(
x
)
\lim\limits_{x \to a^+} F(x)
x→a+limF(x) 不存在，那么反常积分
∫
a
b
f
(
x
)
d
x
\displaystyle \int_a^b f(x) \mathrm{d}x
∫abf(x)dx 发散。
我们仍用记号
F
(
x
)
∣
a
b
\left . F(x) \right|_a^b
F(x)∣ab 来表示
F
(
b
)
−
F
(
a
+
)
F(b) - F(a^+)
F(b)−F(a+) ，从而形式上仍有
∫
a
b
f
(
x
)
d
x
=
F
(
x
)
∣
a
b
.
\int_a^b f(x) \mathrm{d}x = \left . F(x) \right|_a^b .
∫abf(x)dx=F(x)∣ab.
对于
f
(
x
)
f(x)
f(x) 在
[
a
,
b
)
[a, b)
[a,b) 上连续，
b
b
b 为瑕点的反常积分也有类似的计算公式。
原文链接：高等数学 5.4反常积分
标签：infty,5.4,int,lim,dx,积分,高等数学,反常,mathrm From： https://blog.csdn.net/MowenPan1995/article/details/142983529