荒原之梦原创：函数本体偏离点必为尖点：https://zhaokaifeng.com/16812/
补充说明：
前面所说的内容总结起来就是：一个处处可导的本体函数只有一个可导趋势，凡是已经有无数个点满足这个可导趋势的趋势（与本体函数重合）就必须继续满足该可导趋势（继续重合），否则，开始偏离本体函数可导趋势的点一定是一个不可导点。
当然，我最初得出上述结论只是依据直觉和有限个例证。但是，我们仍然可以通过稍微宽泛一些的思维实验，进一步加强上述结论的可靠度。
在进行接下来的思维实验之前，我们首先需要知道以下两个已经被证明成立的结论：
- 可导点一定是连续且光滑的；
- 圆和椭圆都是处处连续且光滑的；
- 一个圆和其他圆或者椭圆只可能有一个点是重合的，不可能有无数个点（一段曲线）是重合的，如果是，那就是同一个圆；
- 在一个极小的区间内，我们总能找到一个椭圆与一个弧是有无数个点重合的——或者说，一个弧上的某部分一定来自某个椭圆（或圆，也可以把椭圆视作特殊的圆）。
接下来，我们将本体看作是某个圆（或者为了满足函数的要求，只取该圆的一部分）。假设，我们可以找到一个“弧”，这个弧有无数个点是与本体圆重合的，但又有无数个点与本体圆不重合——换句话说，我们可以找到一个椭圆，这个椭圆有无数个点是与本体圆重合的，但又有无数个点与本体圆不重合——但是，根据前面的已知结论，这样的椭圆是不存在，因此，我们便不能保证这条偏离了本体圆的线在偏离点处是光滑的，那么，偏离点就是一个不可导点。
此外，关于圆与椭圆只能有一个交点这一问题，我们可以从椭圆无法用 \(\pi\) 精确表示周长这一结论得出：如果圆与椭圆有无数个点重合，那么椭圆就可以有多个圆表示出来，也就是说椭圆的周长可以用 \(\pi\) 精确表示了，这显然与前面的结论矛盾。
2023年8月20日
标签：椭圆,重合,可导,偏离,本体,无数个,必为,尖点,考研 From： https://www.cnblogs.com/zhaokaifengcom/p/17644824.html