导数与微分计算

• 一般函数：

  • 基本求导公式
  • 四则运算
  • 对数求导法（对于多项相乘、相除、开方、乘方）

• 分段函数（分两步）：

  1. 定义法：在分段点处用导数定义，根据\(f_{-}'(x_0)=f_{+}'(x_0)\)是否成立来判断

  2. 公式法：在非分段点处用基本求导公式求导

• 复合函数：

  \[\{f[g{(x)}]\}'=f'[g(x)]\cdot g'(x) \]

• 反函数：

  • 一阶：\(\phi(y)=\frac{1}{f(x)}\)
  • 二阶：\(x_{yy}''=\frac{-y_{xx}''}{(y_x')^3}\)

• 隐函数：

  方程两边对自变量x求导，得到一个关于\(y'\)的方程，解这个方程

• 参数方程所确定的函数\(x=\phi(t),y=\psi(t)\)：

  • 一阶：\(\frac{dy}{dx}=\frac{dy/dt}{dx/dt}=\frac{\psi'(t)}{\phi'(t)}\)

  • 二阶：\(\frac{d^2y}{dx^2}=\frac{\psi''(t)\phi'(t)-\psi'(t)\phi''(t)}{[\phi'(t)]^3}\)

• 幂指函数\(u(x)^{v(x)}\)：

  • 对数求导法
  • \(u(x)^{v(x)}=e^{v(x)lnu(x)}\)

• 变限积分求导

  变限积分求导公式如下

  \[F'(x)=\frac{d}{dx}[\int_{\phi_1(x)}^{\phi_2(x)}f(t)dt]=f[\phi_2(x)]\phi'_2(x)-f[\phi_1(x)]\phi_1(x) \]

• 高阶导数