一、函数极限七种类型题：\[\frac{0}{0},\;\frac{\infty}{\infty},\;0\times\infty,\;\infty\infty,\;1^\infty,\;0^0,\;\infty^\infty\]1.常见的等价无穷小\[当x\to0，\left\{\begin{array}{ll}x\sim\sin(x)\sim\arcsin(x)\sim\tan(x)\sim\arctan(x)\sime^

发现有时候确实需要写一下这种东西，不然太容易忘了。杜教筛求积性前缀和，即\(S(n)=\sum_{i=1}^nf(i)\).某些不是积性的函数也可以，只要能找到一个合适的\(g\)。对于任意两个数论函数\(f,g\)，有\(\sum_{i=1}^n(f*g)(i)=\sum_{i=1}^ng(i)S(\lfloor\frac{n}{i}\rfloor)\).\[\sum

目录非精确线搜索技术Armijo-Goldstein准则Wolfe-Powell准则强Wolfe-Powell准则【问题】在迭代中，已知\(x^{(k)}\)和下降方向\(d^{(k)}\)，如何确定下降步长\(\alpha^{(k)}\)，使得\(f(x^{(k)}+\alpha^{(k)}d^{(k)})<f(x^{(k)})\)？非精确线搜索技术求\(\alpha^{(k)}\)

持续更新。。。有些内容因为机房电脑死机而丢失，这里标记为TODO根式指数和Statement求\[2^m\sum_{\sumc_i=n,c_i\ge0}\dfrac{(2n)!}{\prod(2c_i)!}\prod_{i=1}^ma_i^{c_i}\]（若\(n\bmod2=1\)，答案为\(0\)；否则上式中的\(n\)为实际输入的\(n/2\)）给出了\(n(\le10^9)

更好的阅读体验update2024-11-1211:25修改了一些格式错误且增加了二项式反演的例题2024-11-1214:33改进了二项式反演的证明基础知识一、加法原理完成某个工作有\(n\)类办法，第\(i\)类办法有\(a_i\)种，则完成此工作的方案数有\(\sum\limits_{i=1}^na_i\)种。二

P2123皇后游戏/[USACO12JAN]MountainClimbingS/P1248加工生产调度先来看P2123。我们把这个特别重要的公式打出来：\[c_{i}=\begin{cases}a_{1}+b_{1}&,i=1\\\displaystyle\max\left\{c_{i-1},\sum_{j=1}^{i}a_{j}\right\}+b_{i}&,2\leqi\leqn\end{

因为本部不让打CF，所以那最近几场CF的题组了一场IOI模拟赛。ACF2033BSakurakoandWaterE内向基环树上两点最短距离，肯定是多个链连到环上，建出反边后就可以以此处理每个子树，不在环上且不同链的一定没戏，还是得先找环。然后先建出反边统计可达性，F首先，选的数很少，\[\begin

题目编号按照AoPS。√√√√√√√××√.×√√√√.√√√.....P6对啦！首先注意到答案应该是一个正的加两个负的。暴力枚举所有合法的三元组，算得\(10-6-1=\boxed{\mathbf{(B)}\3}\)。☆经验：枚举一个数\(n\)的分解\(x\timesy\timesz\)是可以接受的。A

基本反演推论对于\(|F|=n,|G|=m\)，要证明\(F[x]=\sum_\limits{i=0}^{+\infin}A[x,i]G[i]\iffG[x]=\sum_\limits{i=0}^{+\infin}B[x,i]F[i]\)。\(F\)为\(G\)的前缀和，\(F[x]=\sum_\limits{i=0}^{+\infin}[i\leqx]G[i],G[x]=\sum_\limits{i=0}^{\in

[T241104](Carathéodory)\((\Omega,\mathscrM,\mu^*)\)是完备测度空间,其中\(\mu^*\)是\(\Omega\)上的外测度,\(\mathscrM\)为\(\Omega\)的\(\mu^*-\)可测子集全体.Proof:先证明\((\Omega,\mathscrM,\mu^*)\)是测度空间,再证明它是完备的(若所有测度为零的

常用DP技巧前\(i-1\)个到前\(i\)个，在末尾加入（钦定了相对顺序）以一个分界线（一般为最值），将序列分开，然后插入（一般为最值），两个子段互比计数DP拆式子：有共同变量的不必每次枚举，提出来预处理，优化时间复杂度思路看到前缀最大值\(\to\)将最大值提出来\(\to\)左侧只有

Floyd算法原理Floyd算法用来求出任意两个节点之间的最短路。优点：代码少，思维简单，适用于除了负环以外的任何图。缺点：时间复杂度为\(O(n^3)\)，空间复杂度为\(O(n^2)\)。而Floyd的核心原理是用动态规划实现的，定义一个二维数组\(f_{i,j}\)，遍历图上的所有点\(k\)，可以得

扩展欧几里得算法（Exgcd）裴蜀定理对于任意一组整数\(a,b\)，存在一组整数\(x,y\)，满足\(ax+by=\gcd(a,b)\)。Proof：考虑数学归纳法。当\(b=0\)时，由于\(\gcd(a,0)=a\)，则对于\(ax+0y=a\)这个不定方程，\(x=1\)，\(y\)取任意整数。假设存在一组整数\(x,y\)，满足$bx+(a\bmodb)y

Findacar注意到矩阵本质上是一个分形，即每次向右下复制当前矩阵，证明考虑归纳法。由此可以知道一个比较好的性质\(a_{i+k,j+k}=a_{i,j}\)其中\(k=2^n\)，由于每次是复制加倍，所以横纵坐标都会加上一个\(2^n\)，且每次增加的二次幂一定是横纵坐标二进制减一后没有的那一位（证明考虑

iou2d_calculator.pyyolov6\assigners\iou2d_calculator.py目录iou2d_calculator.py1.所需的库和模块2.defcast_tensor_type(x,scale=1.,dtype=None): 3.deffp16_clamp(x,min=None,max=None): 4.defiou2d_calculator(bboxes1,bboxes2,mode='iou',is_align

Day0回顾了一下各类字符串算法，切了几道ACAM的题。（果然没考）然后就摆了。Day1上午狠狠的摆。下午去考场。考试过程中被小孩哥干扰，左边砸鼠标，右边砸键盘。有点缺德。T1签。记\(cnt_i\)为战力为\(i\)的怪兽的个数，答案即为\(\max(cnt_i)\)。T2转换成每个车能被下

太菜了怎么办。\[\sum_{x=2}^{\infty}\frac{x(x-1)}{2^x}=4\]只想到一种很麻烦的证法，但是正好前两天学到的。两次扰动法做完了？令\(f(x)=\sum_{i=2}^{x}\frac{i(i-1)}{2^i}\)\[\begin{aligned}f(x)+\frac{(x+1)x}{2^{x+1}}&=\frac{1}{2}+\sum_{i=2}^{x}\frac{i(i+1)}{2^{

NOD2308B.酒杯（glass）题意有一棵\(n\)层的满二叉树，有\(m\)次操作，每次操作从\(2^n-1\)个节点中随机选择一个节点染黑（可以重复染色），问使得每一层都至少有一个节点被染黑的方案数。\(n,m\le2000\)，答案对\(10^9+7\)取模。solution%%%蔡队代码未编写，因此过程可能推错，请

鞅与停时定理呆猫不会数学，要证明也是直接抄别人的，不如直接放一篇（详细证明及介绍主要写点，对鞅与停时定理的理解定理与势能函数对于一个随机过程\(\{X_0,X_1,...,X_t\}\)，其中\(X_t\)是终止状态，对于构造出的函数，设为\(\varphi(X_i)\)，有以下要求：\(E(\varphi(X_{i+1})-\varphi(X

TeamWork题意：求\(\sum_{i=1}^n\dbinom{n}{i}i^k\)\(n<=1e9,k<=5e3\)推式子\[\begin{aligned}记f_{n,k}&=\sum_{i=1}^n\dbinom{n}{i}i^k\\&=\sum_{i=1}^n\left[\dbinom{n-1}{i-1}+\dbinom{n-1}{i}\right]i^k\\&=\sum_{i=1}^n\d

所谓NOIp模拟赛。怎么会有NOIp模拟赛放AT银牌题呢哈哈。A暴力：枚举点对\((c,s)\)，合法点对的贡献是\((A-c+1)\times(B-s+1)\)。对于\(x=1\)的部分分，打表发现合法点对只有\(c=s\)的点对，那么贡献为\[\begin{aligned}&\sum_{i=1}^{\min(A,B)}(A-

容斥原理结论假设现在有\(n\)个集合\(S_i\)，我们希望求得所有\(S_i\)的并集的大小，令集合\(P=\{1,2,3,\dots,n-1,n\}\)，那么就有公式：\[\begin{aligned}|\bigcup_{i=1}^nS_i|&=\sum_{i}|S_i|-\sum_{i,j}|S_i\capS_j|+\sum_{i,j,k}|S_i\capS_j\capS_k|-\dots\\&=\

题目大意：\(2\timesn\)大小的方格矩阵，某些格子不能走，走过的格子不能走。从任意点出发，一次最多走多少次？首先有一个贪心的思想，每次从最左走到最右，只能向上下右走，不能向左走（因为向左走一定不会让步数更多）。动态规划，设\(f_{i,j}\)表示从每个连通块走到\((i,j)\)的最大格子数

会很杂，尽量分类，每个trick会配题。难以分类的难以分类可能只是自己太菜了。曼哈顿距离与切比雪夫距离的转化对于两点\((x_1,y_1),(x_2,y_2)\)，曼哈顿距离为\(|x_1-x_2|+|y_1+y_2|\)，切比雪夫距离为\(\max(|x_1-x_2|,|y_1-y_2|)\)。画图可以发现到原点的曼哈顿距离为\(1\)的点形