微积分学习笔记
微分
导数
导数就是“变化率的最佳近似”。
举个例子，想象一辆快的邪门的自行车在行驶，有一个自行车的路程函数 \(s(t)=t^2\)（图中绿色函数图像），蓝色的是他的速度函数 \(v(t)\)。
考虑 \(v(t)\) 的意义是什么？是在 \(t\) 时刻自行车的速度对吧？
但是速度的意义是什么？是单位时间行驶的距离。
那么在一个瞬间，自行车的速度是什么？怪起来了。没有时间的变化，如何定义速度呢？寄！
不妨考虑在自行车上装一个仪表盘显示速度，那么仪表盘是怎么显示现在的速度的？
原理是测量一个极小的时间段，如 \(2 \sim 2.001\) 中行驶的距离，再除以这个时间段的长度。
所以仪表盘测量的实际上是在这个时刻附近的一个极小的时间段的速度。
导数的意义与之类似，只不过仪表盘需要一个实际的时间差，如 \(0.001\)，但在数学中，这个微小的时间差并不是一个具体的数值，而是当这个时间差无限逼近于 \(0\) 时速度的极限。
在导数中，这个微小的差用字母 \(\mathrm{d}\) 表示。如 \(\mathrm{d}t\) 就表示一个极小的时间差，但是并不是无穷小，更不是 \(0\)，而是一个有限小的量，只是无限趋近于 \(0\) 而已。
其实导数表示在函数图像上，就是图像上一个点的切线的斜率，或者说“某个点附近的斜率的最佳近似”。
所以函数 \(f(x)\) 的导函数被表示成 \(\dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}f(x)\) 或 \(\dfrac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}x}(x)\)，有时也用 \('\) 来表示，如 \(f'(x)\)。
求导
幂函数求导公式
\[\dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(x^n) = n x^{n-1} \]考虑 \(x\) 在变化一个微小的量 \(\mathrm{d}x\) 后 \(x^n\) 的变化量。
也就是 \((x+\mathrm{d}x)^n - x^n\)。
\((x+\mathrm{d}x)^n\) 如果展开会变得非常复杂，但是展开后形如：
\[x^n + nx^{n-1}\mathrm{d}x + \ldots \]后面的每一项 \(\mathrm{d}x\) 的指数都 \(\ge 2\)。考虑当 \(\mathrm{d}x\) 无限趋近于 \(0\) 时，\((\mathrm{d}x)^2\) 小到可以忽略不计，于是就有
\[d(x^n) = x^n + nx^{n-1}\mathrm{d}x - x^n \\ = nx^{n-1}\mathrm{d}x \\ \therefore \dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(x^n) = nx^{n-1} \]求导时一个很重要的东西就是当 \(\mathrm{d}x\) 的指数 \(>=2\) 时，这一项在 \(\mathrm{d}x\) 无限趋近于 \(0\) 时就可以忽略不计。
一些法则
\[\dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(h(x) + g(x)) = \dfrac{\mathrm{d}h}{\mathrm{d}x}(x) + \dfrac{\mathrm{d}g}{\mathrm{d}x}(x) \]这个很好理解。
依然考虑 \(x\) 的变化，则 \(h(x)\) 变化了 \(\mathrm{d}h(x)\)，\(g(x)\) 也变化了 \(\mathrm{d}g(x)\)，那么他们的和 \(h(x) + g(x)\) 显然变化了 \(\mathrm{d}h(x) + \mathrm{d}g(x)\)。
乘法法则
\[\dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(h(x)g(x)) = h(x)\dfrac{\mathrm{d}g}{\mathrm{d}x}(x) + g(x)\dfrac{\mathrm{d}h}{\mathrm{d}x}(x) \]考虑有一个矩形，长为 \(h(x)\)，宽为 \(g(x)\)，则 \(x\) 变化后矩形增加的面积可以分为三部分：
图中蓝色部分面积为 \(g(x) \times \mathrm{d}h\)，绿色部分为 \(h(x) \times \mathrm{d}g\)，紫色部分为 \(\mathrm{d}h \times \mathrm{d}g\)，可以直接忽略。
所以
\[\mathrm{d}(h(x) g(x)) = g(x) \times \mathrm{d}h + h(x) \times \mathrm{d}g \]乘法法则的口诀：左乘右导，右乘左导。
链式法则
\[\dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(g(h(x))) = \dfrac{\mathrm{d}g}{\mathrm{d}h}(h(x)) \cdot \dfrac{\mathrm{d}h}{\mathrm{d}x}(x) \]看起来怪怪的？这个 \(\dfrac{\mathrm{d}g}{\mathrm{d}h}\) 是啥？其实因为参数是 \(h(x)\)，所以就变成这样了。
或者也可以表示成：
\[g(h(x))' = g'(h(x)) \cdot h'(x) \]
指函数求导
考虑一个函数 \(f(x)=n^x\)，他的导函数应该长这个样子：
\[f'(x) = \dfrac{n^{x+\mathrm{d}x} - n^x}{\mathrm{d}x} \\ = \dfrac{n^xn^{\mathrm{d}x}-n^x}{\mathrm{d}x} \\ = n^x \cdot \dfrac{n^{\mathrm{d}x} - 1}{\mathrm{d}x} \]发现 \(f'(x)\) 和 \(f(x)\) 成正比。
但是这个比例系数 \(\dfrac{n^{\mathrm{d}x}-1}{\mathrm{d}x}\) 是啥？
这是就要提到自然常数 \(e\) 了。
\(e\) 有非常美妙的性质：\(f(x) = e^x \Rightarrow f'(x) = e^x\)。
为什么有这个性质？因为这就是 \(e\) 的定义。
于是就可以解决上面这个问题了：这个比例系数是多少？
因为 \(n = e^{\ln(n)}\)，所以有 \(f(x) = n^x = e^{\ln(n)x}\)
然后用链式法则求导：
\[\dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(n^x) = \dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(e^{\ln(n)x}) \\ = e^{\ln(n)x} \cdot \ln(n) \\ = \ln(n)e^{\ln(n)x} \\ = \ln(n)n^x \]隐函数求导
什么是隐函数曲线：隐函数曲线即为满足某种关于变量 \(x\) 和 \(y\) 的性质的所有 \((x,y)\) 点的集合。
如一个以原点为圆心，半径为 \(5\) 的圆就是一个隐函数曲线。
什么是隐函数求导：就是对一个隐函数曲线求导，即求这个曲线上过某个点的切线的斜率的表达式。
方法很简单，就是对等式两边分别求导。
比如上面这个例子
\[x^2 + y^2 = 25 \\ 2x \cdot \mathrm{d}x + 2y \cdot \mathrm{d}y = 0 \\ \dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = -\dfrac{x}{y} \]再比如，求一条满足 \(y = \ln(x)\) 的曲线的导数：
\[y = \ln(x) \Rightarrow e^y = x \]然后两边分别求导：
\[e^y \cdot \mathrm{d}y = \mathrm{d}x \\ \dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = \dfrac{1}{e^y} = \dfrac{1}{x} \]一个有趣的点：发现对 \(x^2 + y^2 = 25\) 求导后是 \(-\dfrac{x}{y}\)，有两个变量。
这其实属于“多元微积分”：分析取多个变量的函数如何随多个变量的取值的变化而变化。
极限
导数的正式定义：
\[\lim\limits_{h \to 0} \dfrac{f(x+h) - f(h)}{h} \]这里的 \(h\) 和 \(\mathrm{d}x\) 没啥差别，但是 \(\mathrm{d}x\) 比较有争议，总有人觉得 \(\mathrm{d}x\) 是一个无穷小量，或者一个单纯的数学符号。但实际上，他是一个实际的、有限的量。
洛必达法则
若函数 \(f(x)\) 和 \(g(x)\) 满足：
- \(\lim\limits_{x \to a} f(x) = 0,\lim\limits_{x \to a}g(x) = 0\)
- 在点 \(a\) 处 \(f(x)\) 和 \(g(x)\) 都可导，且 \(g'(x) \not= 0\)
则有
\[\lim\limits_{x \to a} \dfrac{f(x)}{g(x)} = \lim\limits_{x \to a}\dfrac{f'(x)}{g'(x)} \]