标签：微分学 frac rho 一元函数 int dx 积分学 dt

一元函数微分学的物理应用

溶液自深为18cm，上端圆的直径为12cm的正圆锥形漏斗中，漏入一直径为10cm的圆柱形筒中，开始时漏斗中盛满了溶液，已知当溶液在漏斗中深为12cm时，其液面下落的速率为1cm/min，问此时圆柱形筒中的页面上升的速率是多少？

解：设圆柱形筒中页面的高度为\(H\)，同一时刻漏斗中页面的高度为\(h\)，半径为\(r\)，它们都是关于时间\(t\)的函数，\(H=H(t)\)，\(h=h(t)\)，\(r=r(t\))，本题所求的是圆柱体中液面上升的速率\(\frac {dH}{dt}\)，已知的是\(\frac {dh}{dt}=-1\)，\(\frac {h}{18}= \frac {r}{6}\)，溶液的总体积为\(V=\frac {1}{3} \times\pi\times6^2\times18\)。

\[V=\frac {1}{3} \pi r^2 h+\pi5^2H \]

两边同时对\(t\)求导，得

\[ 0=\frac {1}{9}\pi h^2 \times \frac{dh}{dt}+25\pi \frac{dH}{dt} \]

代入数值得，\(\frac{dH}{dt}=\frac{16}{25}\)cm/min

一元函数积分学的物理应用

总路程：\(S=\int_{t_1}^{t_2} v(t) dt\)

变力直线做功：\(W=\int_a^b F(x) dx\)

提取物体做功：\(W=\int_a^b \rho{g}xA(x) dx\)

静水压力：\(P=\int_a^b \rho{g}x \cdot [f(x)-h(x)] dx\)

细杆质心：\(\bar{x}=\frac {\int_a^b x\rho(x) dx}{\int_a^b \rho(x) dx }\)

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