微分中值定理
微分中值定理包括四个基本定理：Fermat定理、Rolle定理、Lagrange中值定理、Cauchy中值定理。中值定理名称的由来是因为在定理中出现了具有某种性质的中间值，称为“中值”。虽然我们对中值缺乏定量的了解，但这并不影响我们对它的使用。
Fermat定理
Fermat定理指出：极值点处导数为0。“极值”不同于“最值”，极值是局部概念，只要求存在一个非常小的邻域使得这个点的函数值\(\geq\)（\(\leq\)）邻域内的所有函数值。在极值点的左右考虑\(\dfrac{f(x_0)-f(x)}{x-x_0}\)的左右极限，发现左极限和右极限要么有相反的符号，要么都等于0。要使得极限存在，它必须是0。而这个极限就是导数，所以极值点处导数为0。Fermat定理关注的是局部，证明只涉及了函数极限（局部概念）的定义。
Rolle定理
Rolle定理指出：设\(f\)在\([a,b]\)上连续，在\((a,b)\)上可导，且\(f(a)=f(b)\)，则一定存在\(\xi \in (a,b)\)使得\(f'(\xi)=0\)。这里的\(\xi\)就是中值，它具有能使导函数等于0的性质。证明需要分类讨论，如果\(f\)在区间上是常数函数，那么根据导数的定义得到任意一点处的导数都为0；如果\(f\)不是常数函数，那么根据闭区间上的连续函数一定有最大值点和最小值点，而端点的函数值是相同的，所以至少有一个内点取到最值，最值的内点一定是极值点，因此由Fermat定理得到这一点处导数为0。Rolle定理是区间上连续函数的定理，证明涉及连续函数的区间性质，本质上涉及确界存在定理，即实数系的连续性。
Rolle定理的物理意义是，如果出发之后回到原地，那么至少存在某一时刻速度为0。
Lagrange中值定理
Lagrange中值定理是Rolle定理的推广：设\(f\)在\([a,b]\)上连续，在\((a,b)\)上可导，则一定存在\(\xi \in (a,b)\)使得\(f'(\xi)=\dfrac{f(b)-f(a)}{b-a}\)。构造辅助函数\(\varphi(x)=f(x)-\left[f(a)+\dfrac{f(b)-f(a)}{b-a}(x-a)\right]\)，表示\(f\)到\(a,b\)连线的竖直距离。这个函数满足Rolle定理的条件，因此存在\(\varphi'(\xi)=0\)，即\(f'(\xi)=\dfrac{f(b)-f(a)}{b-a}\)。
Lagrange中值定理的物理意义是，一定存在某一时刻的瞬时速度等于平均速度。
对Lagrange中值定理的表达式恒等变形，可以得到称为“有限增量公式”的形式。我们得到\(f(b)-f(a)=f'(\xi)(b-a)\)，令\(\Delta y=f(b)-f(a),\Delta x=b-a\)，\(\xi=x_0+\theta \Delta x,\theta \in (0,1)\)，就得到\(\Delta y=f'(x_0+\theta \Delta x)\Delta x\)。对比微分的无穷小增量的定义\(\Delta y=f'(x_0)\Delta x+o(\Delta x)\)，我们已经避免了使用高阶无穷小，而有了一个完整描述（尽管我们不能精确给出\(\theta\)的值）。从增长率的角度来看，我们有了\(\dfrac{\Delta y}{\Delta x}=f'(x_0+\theta \Delta x)\)——Lagrange中值定理将函数的增量和函数在一个点上的导数值联系起来，这将成为“用微分学研究函数”的基础。
Cauchy中值定理
Cauchy中值定理是Lagrange中值定理的推广：设\(f,g\)在\([a,b]\)上连续，在\((a,b)\)上可导。那么一定存在\(\xi \in (a,b)\)使得\(\dfrac{f'(\xi)}{g'(\xi)}=\dfrac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}\)。其中我们要求\(g\)的导数恒不为0。我们可以将\(x\)看作参数，那么可以有一个函数\(F\)，它的横坐标是\(g\)，纵坐标是\(f\)。对这个函数应用Lagrange中值定理就得到了Cauchy中值定理。其中等号左侧用到了参数函数求导的原理，这要求\(g\)单调。事实上，由于我们规定了\(g\)的导数恒不为0，这其实说明了\(g\)的单调的，但这要用到导函数的介值性。
导函数的两个定理
连续函数的导函数不一定是连续函数，接下来的问题都是这一现象引发的。
比如说
\[f(x)=\left\{\begin{matrix} x^2\sin \dfrac{1}{x},&x \neq 0 \\ 0,&x=0 \end{matrix}\right. \]它处处可导。但是导函数在0处的极限（\(\lim\limits_{x \to 0}\left(2x\sin \dfrac{1}{x}-\cos \dfrac{1}{x}\right)\)）不存在。
Darboux定理
函数在区间上可导，则其导函数有介值性：如果\(f'(x_1)\neq f'(x_2)\)，那么\(f'(x_1)\)和\(f'(x_2)\)之间的每个值都能被取到。这意味着，介值性并不是连续函数特有的，只要某个函数的导函数在每一点处都存在，它就一定具有介值性。
考虑一个特殊情形：对于\(a<b\)，如果有\(f'(a)<0,f'(b)>0\)，那么根据导数定义可以证明\((a,b)\)内一定有函数值小于\(f(a)\)和\(f(b)\)。所以\((a,b)\)有最小值，因此存在极值点，即存在\(\xi \in (a,b)\)使得\(f'(\xi)=0\)。
对于一般的\(f'(a)<f'(b)\)，取任意的\(c\)满足\(f'(a)<c<f'(b)\)，构造函数\(F(x)=f(x)-cx\)，问题就转化为了特殊情形，得到结论\(f'(\xi)=c\)。
导数极限定理
某点处的导数和“导函数在该点的极限”是不一样的概念，因为导函数不一定连续。
首先来考虑单侧的情况。单侧导数极限定理指出：在某点右侧可导的函数，只要其导函数在\(x_0\)存在右极限，那么它存在右导数，而且有“右导数等于导函数的右极限（即导函数在该点右连续）”（包括无穷的情形）。应用Lagrange中值定理，\(\dfrac{\Delta y}{\Delta x}=f'(x_0+\theta \Delta x)\)恒成立，因为中值被夹在中间，所以在\(\Delta x \to 0\)的过程中，\(\dfrac{\Delta y}{\Delta x}\)始终被压在\(f'(x_0+\Delta x)\)里，后者极限存在自然说明了前者极限存在。
拓展到两边，得到：在某点的去心邻域可导的函数，如果导函数在该点有极限，那么该函数在该点也可导，并且在该点的导数值等于导函数在该点的极限（即导函数在该点连续）。
这说明区间上的可导函数具有这样独特的性质：某点极限存在就意味着连续。导函数只可能出现第二类间断点。因为第一类和第三类极端点都要求左右极限存在，右极限存在意味着右连续，左极限存在又意味着左连续，合在一起推出了函数连续，也就不存在间断点了。
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