​哇你竟然看到了，恭喜<(￣︶￣)↗[GO!]本人水平有限，如有问题请各位大佬指出基础算法算法复杂度双指针模拟贪心递推二分三分排序递归枚举分治排序前缀和差分离散化STLsetmap基础数据结构链表队列栈二叉树哈夫曼树堆字符串后缀自动机,SAM字典树,Tri

中心极限定理零基础到精通概率论的重要内容——中心极限定理作者：bhh一、证明的关键思路本节目的为概括方法，并推动接下来的代数运算。1、基础知识（1）、矩母函数：具备一个随机变量各阶中心矩的函数（正如其名）2、正题为了证明Zn收敛于服从标准正态分

今天才知道这几个定理，网上没搜到证明方式，别人不会证那我就证明一下。定理1：\[\gcd(a^m-1,a^n-1)=a^{\gcd(m,n)}-1\]证明：根据\(\gcd\)具有\(\gcd(a,b)=\gcd(a-b,b)\)的性质，不妨设\(m\gen\)，作差有：\[\begin{aligned}\gcd(a^m-1,a^n-1)&=\gcd(a

5.2中心极限定理定义和基础概念定义5.2（按分布收敛）设随机变量序列\(X_n\)和随机变量\(X\)的分布函数分别为\(F_n(x)\)和\(F(x)\)。如果对\(F(x)\)的任一连续点\(x\)，都有\[\lim_{n\to\infty}F_n(x)=F(x)\]则称随机变量序列\(\{X_n\}\)按分布收敛于随机变量

5.2中心极限定理中心极限定理定理5.6（林德伯格-莱维中心极限定理）设\(X_1,X_2,\cdots,X_n,\cdots\)是独立同分布的随机变量序列，且\(E(X_1)=\mu\),\(D(X_1)=\sigma^2\)。记\[Y_n=\frac{\sum_{i=1}^nX_i-n\mu}{\sigma\sqrt{n}}\]则对任意实数\(x\)，有\[\lim_

矩阵树定理感谢这篇文章对我更深层次理解矩阵树定理的帮助。预备知识行列式图的关联矩阵对于一张无向图\(G=(V,E)\)，定义其关联矩阵\(M\)为（在此我们给边暂定方向，一条边\(e\)的入点和出点分别为\(\text{in}(e)\)和\(\text{out}(e)\)）：\[M_{i,j}=\begin{cases}1&V_i=\t

目录原问题与对偶问题的定义定义该原问题的对偶问题如下在定义了函数  的基础上，对偶问题如下：综合原问题和对偶问题的定义得到：定理一对偶差距（DualityGap）强对偶定理（StrongDualityTheorem）假如  成立，又根据定理一推出不等式转化为对偶问题首先将得到最小化：限制

内容来源数理金融初步（原书第3版）SheldonM.Ross著冉启康译机械工业出版社先看上篇套利定理线性规划中的对偶定理这部分是运筹学的内容原问题与对偶问题的形式原问题

证明并解释微积分基本定理（第二部分）这个定理建立了不定积分（原函数）和定积分之间的联系。微积分基本定理（第二部分）定理陈述：如果(f(x))是在区间([a,b])上连续的函数，并且(F(x))是(f(x))的一个原函数（即(F'(x)=f(x))），那么：[\int_{a}^{b}f(x),dx=F(b)-F(a)

复变函数是数学四大科里面最容易速通的，两三天就可以学完所有的知识，因为基本上都是高数下的迁移但是选择填空题好多小概念容易出错，大家一定要快速学完之后多做几套题才有用本人感觉最美的思维是发现把柯西积分定理、柯西积分公式、高阶导数公式、留数定理统一起来的时候 

用途和介绍用于求解线性方程组:\(\begin{cases}x\equiva1(\bmodm1)\\x\equiva2(\bmodm2)\\......\\x\equivan(\bmodmn)\end{cases}\)数学归纳法：设\(x\)为前\(k-1\)个同余方程的一个特解，则通解为\(x+t\timesM\)，其中\(M=lcm(m[1],m[2],m[3],......,m[k-1])\)，那么\(

公式若n,m为整数，p为质数\[C_{n}^{m}\bmodp=C_{n\bmodp}^{m\bmodp}\timesC_{n/p}^{m/p}\bmodp\]这个式子有什么作用呢，最简单的一种就是求组合数。有时候n,m过大，可能是p的倍数，这时候n,m对于p没有逆元，自然没办法用费马小定理求逆元。这个时候我们就需要卢卡斯定理了求组合

1.数列运算法则假设\(lim_{x\to\infty}x_n=a\),\(lim_{y\to\infty}y_n=b\)（1）\(lim_{n\to\infty}(x_n+y_n)=lim_{n\to\infty}x_n+lim_{n\to\inftyy_n}=a+b\)（减法，乘法同）（2）\(lim_{n\to\infty}\frac{x_n}{y_n}=\frac{lim_{n\to\infty}x_

在Ubuntu 22.04.1安装acl2（“A Computational Logicfor Applicative Common Lisp".）安装环境如下所示：Linuxubun6.8.0-47-generic#47~22.04.1-UbuntuSMPPREEMPT_DYNAMICWedOct216:16:55UTC2x86_64x86_64x86_64GNU/Linux ACL2官网：https://www.cs.utexas

时间序列分析是数据科学中的一个重要分支，旨在探索和理解随着时间变化的数据背后的模式和结构。无论是在金融市场预测、经济政策分析、环境监测还是医学研究中，时间序列数据的广泛应用证明了其在预测未来趋势、制定决策和风险管理方面的重要性。然而，时间序列数据的复杂性和多样性使

内容来源数理统计学导论（原书第7版）机械工业出版社因为要计算统计量的pdfpdfpdf，一般情况下，用定义直接验证

卢卡斯定理对于非负整数\(a\)，\(b\)和质数\(p\)，有\[C_{a}^{b}\equivC_{a~mod~p}^{b~mod~p}\cdotC_{\lfloor{a/p}\rfloor}^{\lfloor{b/p}\rfloor}~~\left({mod~p}\right)\]证明引理\[\left({1+x}\right)^{p^{\alpha}}\equiv1+x^{p^{\alpha}}~~\left(

      解的存在唯一定理的证明解的延拓定理逐次逼近法 

给定一个DAG，定义链：一条链内任意两点之间都存在一条路径反链：任意两点都不存在路径Dilworth定理：最长反链\(=\)最小链覆盖。最小链覆盖内一个点只能归属于一条链，但链不一定是连续的。事实上这个还能转化为“选出若干条（一般定义下的）链，但一个点可以在多条链内”，本质相同。

2.2.3数据结构1.线性结构【5】双端栈【5】双端队列【5】单调队列【6】优先队列【6】ST表（SparseTable）2.集合与森林【6】并查集【6】树的孩子兄弟表示法3.特殊树【6】二叉堆【6】树状数组【6】线段树【6】字典树（Trie树）【7】笛卡尔

鞅与停时定理呆猫不会数学，要证明也是直接抄别人的，不如直接放一篇（详细证明及介绍主要写点，对鞅与停时定理的理解定理与势能函数对于一个随机过程\(\{X_0,X_1,...,X_t\}\)，其中\(X_t\)是终止状态，对于构造出的函数，设为\(\varphi(X_i)\)，有以下要求：\(E(\varphi(X_{i+1})-\varphi(X

一、第一中值定理如果函数f(x)在闭区间[a，b]上连续，则在积分区间[a，b]上至少存在一个点ξξ，使得∫baf(x)dx=f(ξ)(b−a).(a⩽ξ⩽b)∫abf(x)dx=f(ξ)(b−a).(a⩽ξ⩽b)二、微积分基本定理积分上限函数：函数f(x)在区间[a，b]上连续，对于定积分∫xaf(x)dx∫axf(x)dx每一个取值的x

Stolz定理是处理分式极限的强大工具，其形式类似未定式函数极限的洛必达法则.定理一：设数列\(\{b_n\}\)严格单调递增且趋于\(+\infty\).若\[\lim_{n\rightarrow\infty}\dfrac{a_n-a_{n-1}}{b_{n}-b_{n-1}}=A\]则\(\{a_n/b_n\}\)收敛，且\[\lim_{n\rightarrow\infty}\dfra

原理用到格基规约和LLL算法。。。啊？你问那是什么？去搜吧，反正我没看懂。实现有一个e阶的多项式f,那么可以：在模n意义下，快速求出以内的根给定β，快速求出模某个b意义下较小的根，其中b≥​​​，是n的因数。一般采用sage下的small_roots(X=2^kbits,beta=β)。应用c