看数列裂项相消（差分）求和的时候偶然看到，算是初见数学分析吧。由于手敲Markdown实在太耗时，就直接贴百度百科了，毕竟也是从这里学习的。传送门贴几个心得吧：首先要对定理本身有直观一些的理解，可以从其本身出发，也可以是与其他定理的联系。那么具体到O'Stolz定理，如果已经知道

对于质数\(p\)，有\[{\Large\begin{aligned}&\binom{n}{m}\equiv\binom{\left\lfloorn/p\right\rfloor}{\left\lfloorm/p\right\rfloor}\binom{n\mod{p}}{m\modp}\pmod{p}\end{aligned}}\]引理1\[{\Large\begin{aligned}

矩阵树定理这玩意背一次忘一次，还是写一发吧。前置知识：行列式求值给定一个矩阵，定义一个\(n\)阶矩阵\(A\)的行列式为\(\detA=\sum_{p}(-1)^{\pi(p)}\proda_{i,p_i}\)，其中\(p\)为一个\([1,n]\)的排列，\(\pi(p)\)为排列\(p\)的逆序对数。行列式中行和列是等价的，以下

中值定理微分中值定理微分中值定理是一系列定理的统称，它们在函数的导数与函数值之间架起了一座桥梁，揭示了函数在某区间内的一些深刻性质费马引理若函数\(f(x)\)在可导点\(x_0\)处取极值，则\(f'(x_0)=0\)。理解：就好比一座山峰，当你站在山顶（极值点）时，此刻的切线是水平的（导数为0

没错，本文的一切还是为了它——\(\varphi\)。欧拉定理内容若\(a,n\)互质，则有\(a^{\varphi(n)}\equiv1\pmodn\)。证明设小于\(n\)且与\(n\)互质的自然数集合（即\(n\)的剩余系）为：\(X:x_1,x_2,x_3,\dots,x_{\varphi(n)},P:p_1=a\timesx_1,p_2=a\timesx_2,\dots,p_

数论函数及定理积性函数附OIWiki链接。定义对于函数\(f(x)\)，满足\(f(1)=1\)且\(\forall\gcd(a,b)=1,f(ab)=f(a)f(b)\)。则\(f(x)\)是积性函数。如果对所有\(a,b\)都成立，\(f(x)\)就是完全积性函数。例子欧拉函数\(\varphi(x)\)是积性函数。欧拉函数定义

12月初开始备战期末，首先补作业。但是第一周考复变函数，第二周生病，第三周修电脑，第四周参加ecfinal，于是就完成了一部分作业，所有事情基本上全都是12-29开始到1-10考试周结束完成的。这学期一共选了六门专业课，分别是数学分析III，抽象代数I，复变函数，常微分方程，信息论和金融期权。

一、欧拉函数1.欧拉函数的意义\(\phi(n)\)表示从\(1\)到\(n\)所有与\(n\)互质的数的数量。表达式为：\(\sum\limits_{i=1}^{n}[\gcd(i,n)=1]\)。2.欧拉函数的通解公式\(\phi(n)=n\prod\limits_{i=1}^{k}(1-\frac{1}{p^i})\)（\(p_i\midn\)，\(p_i\)为素数，\(k\)为小于等于

二项式定理十分重要。二项式里面不一定是\(x+y\),也可能是\(ax+by\)，加个快速幂求\(a,b\)在系数里的即可（例）卢卡斯定理用于解决组合数的\(n,m\)太大，但是模数不大的情况模板。若模数也很大并且不是质数，可以将模数分解用卢卡斯定理求，再用中国剩余定理合并。（例）求不定方程解数，给定\(

7.矩阵的逆-定义和定理7.1逆矩阵的定义对于n阶矩阵A，存在一个n阶矩阵B，使：\[AB=BA=E\]则称矩阵A是可逆的。且B是A的逆矩阵，简称“逆阵”，记为：\[B=A^{-1}\]7.2对逆矩阵的理解若存在矩阵\(A_{n×n}\)、\(x_{n×1}\)、\(b_{n×1}\)，使：\[b=Ax\]又存在矩阵\(B_{n×n}\)，使：\[AB=E

采样点数的确定取决于多个因素，以下是一些常见场景及其对应的求解方法：基于信号带宽和采样定理采样定理：为了能够从采样信号中无失真地恢复原始连续信号，采样频率\(f_s\)必须至少是原始信号最高频率\(f_{max}\)的两倍，即\(f_s\geq2f_{max}\)。确定采样点数：假设要采集信号的

调制定理是信号处理和通信领域中的重要定理，以下是关于它的详细介绍：定义与表达式调制定理指出，若\(m(t)=f(t)\cos\omega_ct\)，则\(M(\omega)=\frac{1}{2}[F(\omega+\omega_c)+F(\omega-\omega_c)]\)，其中\(M(\omega)\)是\(m(t)\)的傅里叶变换，\(F(\omega)\)是\(f(t)\)的傅里叶变换.

最长上升子序列的优化求法和Dilworth定理最长上升子序列学过DP的都知道，求最长上升子序列的DP做法的时间复杂度是\(O(n^2)\)的，现在介绍一个\(O(n*\logn)\)的二分做法二分做法352371一组原始数据，最长上升子序列的长度应该是3，为序列237使用队列q，先把第一个元素放进去

连分数定义设\(a_0,a_1,...,a_n,...\)是一个无穷实数序列，其中\(a_j>0,j≥1,n\)为非负整数。分数\[a_{0}+\frac{1}{a_{1}+\frac{1}{a_{2}+\cdots+\frac{1}{a_{n}}}}\]称为有限连分数，如果\(a_0\)为整数，\(a_1...a_n\)为正整数，则称为有限简单连分数。当\(n→∞\)时，则分别称为连分

内容源于蜂考 1.戴维南定理和诺顿定理 例题： 2.最大功率传输定理 例题： 

模m的阶定义设\(m>1,(a,m)=1\)则使得：\[a^d\equiv1(modm)\]成立的最小正整数\(d_0\)称为\(a\)模\(m\)的阶记为\(\delta_m(a)\)性质设\(m>1,\quadn>1,\quad(a,m)=1\)1.若\(\delta_m(a)=n\),则\(a^k\equiv1(modm)\)且\(n|k\)2.\(a\equivb(modm),\de

定理内容对于任意不全为\(0\)的整数\(a,b\)，方程\(ax+by=\gcd(a,b)\)一定有整数解\(x,y\)。证明引理\(1\)对于两个正整数\(a,b\)满足\(a>b\)可以推出\(\gcd(a,b)=\gcd(b,a\bmodb)\)。设\(a=kb+c,d\mid\gcd(a,b)\)，那么一定有\(d\mida,d\midb\)。通过移项可以

数论四大定理：包括威尔逊定理、欧拉定理、孙子定理（中国剩余定理）、费马小定理同余同余：对于任意整数a，b，对指定的整数m(m>1)进行整除，若余数相同，则称a和b模m同余，记作\(a\equivb(mod\quadm)\)例如：\(3\equiv10(mod\quad7)\)通过整数m对任意整数进行分类，同余（模m）为一类，即剩余类

考试考察知识点基本解题方法复习优先级数学分析2023.12函数极限定义、柯西准则、归结原则函数极限求渐近线垂直、斜、水平渐近线导数与微分参变量函数极坐标公式函数极限极限计算重要极限、泰勒展开、等价量high微分中值定理及其应用凸

简单的是真简单，难的几乎到天花板。约定一般\(n\)表示原串长度，\(\Sigma\)为字符集。定义字符串的一段前缀能和一段后缀完全匹配（非原串），则称这个前缀/后缀为原串的一个Border。对任意合法\(i\)，\(s_i=s_{i+p}\)，则称\(p\)为原串的一个周期。\(p\midn\)时称之整周期。各种性质或

\(\newcommand{\a}{\alpha}\newcommand{\b}{\beta}\newcommand{\la}{\lambda}\newcommand{\ga}{\gamma}\newcommand{\si}{\sigma}\newcommand{\al}{\mathcal}\newcommand{\sp}[1]{\operatorname{Span}(#1)}\newcommand{\di}[1]{\operatornam

加法原理乘法原理排列数从\(n\)个数中任取\(m\)个元素的排列的方案数，表示为\(A^m_n=\frac{n!}{(n-m)!}\)\(0!=1\)全排列\(A^n_n\)组合数从\(n\)个元素中取出\(m\)个元素的组合的个数，表示为\(\dbinom{n}{m}=\frac{A^m_n}{m!}=\frac{n!}{m!(n-m)!}\)如何理解呢？

学得很肤浅，但是常见的东西还是要记一下。证明以后懂了再补。一些定义：定义\(deg_x\)表示点\(x\)的度数，\(cnt_{i,j}\)表示\(i\)到\(j\)相连有的边数。度数矩阵\(D\)：\(D_{i,i}=deg_i\)，\(D_{i,j}=0(i\neqj)\)；关联矩阵\(A\)：\(A_{i,j}=cnt_{i,j}\)；Laplace

目录中心极限定理抽样分布卡方分布t分布F分布正态总体的【样本均值】与【样本方差】的分布中心极限定理【中心极限定理】设随机变量\(X_k(k=1,2,...,n)\)相互独立且服从同一分布，数学期望\(E(X_k)=\mu\)，方差\(D(X_k)=\sigma^2\)，当\(n\)充分大时，有\(\frac{\bar{X}-\mu}{

欧拉函数定义与\(m\)互素的剩余类的个数记为\(\varphi(m),\varphi(m)\)称之为欧拉函数关于欧拉函数的结论定理1:(欧拉定理)若\((k,m)=1,\)则:\(k^{\varphi(m)}\equiv1(\bmodm)\)$定理2:(费尔玛小定理)若\(p\)为素数,则对所有的整数\(a,a^{p}=a(\bmodm)\)$定