简单的是真简单，难的几乎到天花板。

约定一般\(n\)表示原串长度，\(\Sigma\)为字符集。

定义

字符串的一段前缀能和一段后缀完全匹配（非原串），则称这个前缀/后缀为原串的一个Border。

对任意合法\(i\)，\(s_i=s_{i+p}\)，则称\(p\)为原串的一个周期。\(p\mid n\)时称之整周期。

各种性质

或许叫不上定理，但很有用。

Border和周期

\(s_{1\dots p}\)为Border当且仅当\(|s|-p\)为原串的一个周期。

\(fail\)树

• KMP的\(fail\)边连起来形成一棵树，这是显然的。这里一个前缀在\(fail\)树上对应着一个点。

• 一个前缀的所有Border在\(fail\)树对应着一条根链。两个前缀的最长公共Border就是LCA。

各种定理

不按重要程度排序。当然那几个证明\(O(\log n)\)的都挺重要的。

定理 1：

原串的最长Border和最长Border的所有Border构成了原串的所有Border。

证明显然。可以证明左包含于右并且右包含于左来证明相等。

原串的所有Border就是\(\{fail_n,fail_{fail_n},\dots\}\)。

定理 2:弱周期引理

若\(p,q\)为\(s\)的周期，且\(p+q\le n\)，那么\(\gcd(p,q)\)也是\(s\)的周期。

证明用更相减损术。不妨\(p>q\)，当\(i\le p\)时\(s_i=s_{i+p}=s_{i+p-q}\)，当\(i\ge q\)时\(s_i=s_{i-q}=s_{i+p-q}\)。两种情况包含所有\(i\)，于是\(p-q\)也是周期，于是推出\(\gcd(p,q)\)是\(s\)的周期。

还有强化版周期引理：若\(p,q\)为\(s\)的周期，且\(p+q-\gcd(p,q)\le n\)，那么\(\gcd(p,q)\)也是\(s\)的周期。不会证明。

定理 3：

若\(t\)与周期\(a\)，\(s\)为\(t\)的一段前缀且有周期\(b\)，\(b\mid a\)，\(|s|\ge a\)，那么\(b\)也是\(t\)的周期。

仔细想想就挺显然的。

定理 4:

一个串用自己的前缀匹配后缀后并起来（有交的部分是一个Border），那么这个并有长度为\(|s|-|\texttt{Border}|\)的周期。

很显然。

定理 5：

如果\(2|s|\ge |t|\)，那么\(s\)在\(t\)中的匹配位置必定为等差数列。

来证明。因为\(2|s|\ge |t|\)，\(s\)在\(t\)中的匹配位置一定有交。不妨将\(t\)中没有被\(s\)的匹配位置覆盖到的地方去掉（肯定是首尾的位置）。

匹配次数\(\le 2\)时一定等差，于是来看匹配次数达到\(3\)的情况。不妨设前两次差为\(p\)，后两次差为\(q\)。现在\(p+q+|s|=|t|\)，那么\(p+q\le |s|\)，于是\(r=\gcd(p,q)\)也是\(s\)的周期。

设\(s\)的最小周期为\(x\)，那么一定有\(x\mid r\mid p\)，否则可以用弱周期引理继续构造更小的周期。

由定理 4和定理 3可知前两次并起来也有最小周期\(x\)，并且\(p=x\)否则可以有更靠前的匹配。又\(x\le r\le p\)，于是\(x=r=p\)。

又\(p=r=\gcd(p,q)\)，所以所有匹配的循环节都是重合的，于是\(t\)也有\(x\)的最小周期。

不难发现匹配位置必为等差序列。

定理 6：

长度\(\le \dfrac{n}{2}\)的Border的长度构成一个等差序列。

来证明。假设有最长Border长度为\(n-p\)，另一个Border长度为\(n-q\)，那么\(p,q\)都为周期，且\(p+q\le n\)。由弱周期引理得\(\gcd(p,q)\)为周期，于是存在一个Border的长度为\(n-\gcd(p,q)\)，并且\(p\le \gcd(p,q)\)。所以\(p=\gcd(p,q)\)，\(p\mid q\)，这就构成等差了，公差为\(p\)。

定理 7：

一个串的所有Border按长度排序后可以划分成\(O(\log n)\)个等差序列。

首先将所有长度\(\ge \dfrac{n}{2}\)的Border划分到一个等差序列中。

考虑长度达到\(\dfrac{n}{2}\)的最短的Border\(T\)。设最小周期为\(d\)，那么讨论：

• 若\(d\le \dfrac{n}{4}\)，那么从最长Border不断减去\(d\)得到\(T\)，此时\(|T|\le \dfrac{3}{4}n\)。

• 若\(d>\dfrac{n}{4}\)，那么最长Border的长度\(\le \dfrac{3}{4}n\)。

由定理 1，可知剩下的原串的Border都是\(T\)的Border，于是问题规模缩减到了原来的\(\dfrac{3}{4}\)。所以是\(O(\log n)\)。

一个更紧的上界是\(\lceil \log_2 n\rceil\)。

从过程中可以看到公差成倍增长，于是有推论：公差\(\ge d\)的Border等差序列的总大小是\(O(\dfrac{n}{d})\)的。

Significant suffix

定义\(\texttt{minsuf}\)表示最小后缀，\(\texttt{ssuf}\)是在原串后面接上一个串后可能成为最小后缀的后缀集合。

定理 8：

对于任意两个\(\texttt{ssuf}\ U,V\)，\(|U|<|V|\)时\(U\)是\(V\)的前缀。

如果\(U\)不是\(V\)的前缀，那么\(UT\)和\(VT\)的大小关系只会由\(U,V\)的大小关系决定，二者只有其一是\(\texttt{ssuf}\)，矛盾。得证。

这样\(U\)还是\(V\)的Border。

定理 9：

如果有两个\(\texttt{ssuf}\)\(U\)和\(V\)，满足\(|U|<|V|\)，那么\(2|U|<|V|\)。

假设\(|U|<|V|<2|U|\)，由定理 8知\(U\)是\(V\)的Border。于是\(V\)有长度为\(|V|-|U|\)的周期。

设周期为\(T\)，\(|T|=|V|-|U|\)，那么设\(U=TC\)，\(V=TTC\)。

假设在原串后加上字符串\(R\)，若\(UR>VR\)那么\(U\)不会是\(\texttt{minsuf}\)。若\(UR<VR\)，那么\(TCR<TTCR\iff CR<TCR=UR\)，注意到\(C\)也是后缀，所以\(U\)不会是\(\texttt{minsuf}\)。综上\(U\)不会是\(\texttt{ssuf}\)，这与假设矛盾。得证。

推论：\(|\texttt{ssuf(s)}|=O(\log |s|)\)。