[Mathematical Analysis] 函数极限与连续函数（待续……）

写在前面

要当一个创造者。

整理这些笔记是为了有所创造。要有所创造，就必须对我所讨论的问题本身有充分的理解，创造的就是在理解和归纳的过程中找到的最符合我个人的最自然的理解方式。

数学分析本身已经是一门体系非常清晰，逻辑十分严谨的学科了。而我所欠缺的是对定理的直观感受，对证明的直觉上的理解。将代数转化成直觉，这将是工作的重点。

函数极限

函数在某点处可能没有被定义，但是如果函数在这个点附近都有定义，并且在靠近这个点时显示出接近于某个确定的值的现象，我们想知道是否有一种严谨的语言能描述这种现象。这就是函数极限的概念，它被柯西用\(\varepsilon-\delta\)语言严谨地描述。其中，我们考虑的邻域是去心的，因为我们并不关心极限点本身。

有了描述这种直观现象的严谨数学语言就可以推出函数极限的“性质”，这些性质是被这种描述方式决定的。它与数列极限的性质几乎完全相同：首先，函数极限是唯一的，如果不唯一就会与无限趋近某个实数矛盾；函数极限是局部保序的，如果两个函数在同一点趋向不同的值，即极限值有大小关系，那么在这个邻域上的所有函数值也会保持这种大小关系，这也是极限语言中无限趋近的体现；函数极限点的邻域内函数值是有界的。函数极限满足夹逼性，满足四则运算法则。

我们可以用数列极限来描述函数极限。Heine定理告诉我们，在自变量趋向\(x_0\)时函数有极限\(A\)，可以等价于任意极限为\(x_0\)的数列对应的“函数数列”极限都是\(A\)。二者等价，可以互推。函数推数列是容易的，数列推函数要用反证法：如果在函数极限过程中总有点跳出去，那我们在自变量趋向\(x_0\)的过程中不断取这个跳出来的点构造一个数列，这个数列就不收敛于\(A\)。正是定理的条件要求“任意”才使得这种等价成立，“任意”实际上保证了\(x_0\)的邻域内的每个函数值在限制范围内。因此，想说明函数不收敛于\(A\)，只需要找一个数列作为反例。

函数极限也可以发生在自变量趋向无穷时，虽然描述这种趋向无穷的语言和趋向某一点的语言不太相同，但令人的惊奇的是，趋向某点时函数极限的性质统统也能够作为趋向无穷时的极限性质。某种意义上，我们全都可以通过数列极限来描述函数极限，函数极限的这些性质某种意义上都是数列极限性质的体现。

趋向无穷与趋向某点的极限是可以统一为“基上的极限”。这是基于趋向无穷与趋向某点过程中我们对自变量范围的要求有共同点：去心邻域与无穷区间都有一个特点，它们被层层套住，任意两个的交集还是一个去心邻域或者无穷区间。在证明时我们只用到了这种“套”的性质，所以推出了同样的极限性质。

函数极限也相应有柯西收敛原理，它描述了：函数收敛等价于在邻域上的最大摆动幅度收敛。其中由函数收敛推摆动幅度收敛只需要用到极限的语言，而在由摆动幅度收敛推函数极限本质上用到了函数极限的“数列性”：用Heine定理说明任意趋向极限点的数列由于摆动幅度收敛因此函数值收敛。

连续函数的局部性质

连续的概念来自于几何直观——连续就是不间断。在某点连续要求：在这点有定义，在这点附近有定义，这点处的极限等于这点的函数值。

在区间上连续就是区间内的任意一点都连续。对于闭区间端点只要求单侧连续。

根据左右极限的情况将间断点分三类（一定只可能有这三类！）：第一类左右极限都存在但不相等，又称跳跃间断点；第二类左右极限中至少有一个不存在；第三类左右极限都存在而且相等，但是极限不等于函数值或者函数在该点无定义，这种间断点很容易“补上”，称为可去间断点。

区间上的单调函数（整个开区间都有定义）的不连续点一定是第一类间断点，而且间断点至多可数个。可以证明单调递增函数在任意一点处的左极限小于等于右极限：把所有自变量小于\(x_0\)对应的函数值放进一个集合，这个集合一定有上确界，\(f(x_0)\)一定大于等于这个上确界，然后用定义证明这个上确界就是左极限；同样的右边的下确界就是右极限。而每个间断点都可以在值域的区间里取一个有理数，因此间断点可以和\(\Q\)的某个子集双射，因此间断点个数可数。

在闭区间上连续并严格单调递增（递减）的函数有反函数，反函数也连续且严格单调递增（递减）。证明用连续的定义。

由于函数极限是定义在去心邻域上的，因此在复合函数的时候就容易出问题。“趋近”是有很多种方式的，如果函数在“趋近”的时候会到达“心”，就可能导致外层函数极限不存在。但要是函数连续就没有问题。对于连续函数，lim记号可以移进函数里面，证明用定义。

无穷小量与无穷大量的阶

\(o(v(x))\)表示一类函数，这类函数与\(v(x)\)的比值会在\(x \to 0\)时趋向0。假设\(x \to 0\)时有\(\alpha(x) \to 0\)，那么可以作这样的代换：\(o(v(x))=\alpha(x)\cdot v(x)\)。

\(O(v(x))\)也表示一类函数，要么是\(v(x)\)的高阶无穷小，要么和\(v(x)\)的比值始终有界。假设\(x \to 0\)时\(\beta(x)\)有界，那么可以作这样的代换：\(O(v(x))=\beta(x)\cdot v(x)\)。显然，\(o(v(x))\)一定是\(O(v(x))\)。

如果\(x \to 0\)是\(\dfrac{u(x)}{v(x)}=1\)那么称\(u(x),v(x)\)为等价无穷小，\(u(x) \sim v(x)\)。移项可以写出\(u(x)-v(x)=o(v(x))\)，即\(u(x)=v(x)+o(v(X))\)。

闭区间上的连续函数

闭区间上的连续函数有界，有最值，满足介值定理。

一致连续

如果两点的函数值之差小于\(\varepsilon\)只要求自变量之差小于某个只依赖于\(\varepsilon\)而不依赖于自变量具体位置的定值\(\delta\)，就称函数一致连续。直觉上看，这个函数图像上没有绝对陡峭的坡度（这只是简单理解，\(\sqrt{x}\)在\(x=0\)处也是一致连续的）

一致连续也可以用数列来等价地描述：取两个自变量的数列，如果这两个数列逼近同一个值，那么它们的函数值也必须逼近同一个值。

连续函数如果在闭区间上连续，那么就在这个闭区间上一致连续。如果在\((a,b)\)上连续，那么当且仅当\(f(a+)\)与\(f(b-)\)存在时它在\((a,b)\)上一致连续。

值得注意的命题与思想

取极限操作对开区间不封闭，极限可能取到开区间的端点上。如果在极限过程中始终有\(f(x) > g(x)\)，只能推出\(\lim f(x) \geq \lim g(x)\)，不能推出\(\lim f(x) > \lim g(x)\)。

Riemann函数的证明思想：对于给定的\(\varepsilon\)，先证明不满足\(< \varepsilon\)的点的个数有限，因为可以用\(\varepsilon\)等已知变量表示（或者放缩）出来，有限个点就一定可以取出一个完整的邻域了。结论：Riemann函数每个点处的极限都是0。

值得记忆的结论

\(\lim\limits_{x \to +\infty} \left(1+\dfrac{1}{x}\right)^x=e\) 及其推论

趋向负无穷：\(\lim\limits_{x \to -\infty} \left(1+\dfrac{1}{x}\right)^x=\lim\limits_{y \to +\infty} \left(1-\dfrac{1}{y}\right)^{-y}=\lim\limits_{y \to +\infty} \left(\dfrac{y-1}{y}\right)^{-y}=\lim\limits_{y \to +\infty} \left(\dfrac{y}{y-1}\right)^{y}\)

\(=\lim\limits_{y \to +\infty} \left(\dfrac{y-1+1}{y-1}\right)^{y}=\lim\limits_{y \to +\infty} \left(1+\dfrac{1}{y-1}\right)^{y}=\lim\limits_{y \to +\infty} \left(1+\dfrac{1}{y-1}\right)^{y-1}\left(1+\dfrac{1}{y-1}\right)\)

\(=e\)

变成减号：\(\lim\limits_{x \to +\infty} \left(1-\dfrac{1}{x}\right)^x=\dfrac{1}{\lim\limits_{x \to +\infty} \left(1-\dfrac{1}{x}\right)^{-x}}=\dfrac{1}{\lim\limits_{y \to -\infty} \left(1+\dfrac{1}{y}\right)^{y}}=\dfrac{1}{e}\)

取倒数换元，变成趋向0：\(\lim\limits_{x \to 0} \left(1+x\right)^{\frac{1}{x}}=e\)

取对数：\(\lim\limits_{x \to 0}\dfrac{\ln(1+x)}{x}=1\)

换元\(y=\ln(1+x)\)：\(\lim\limits_{y \to 0}\dfrac{y}{e^y-1}=1\)

\(\lim\limits_{x \to 0}\dfrac{(1+x)^\alpha-1}{x}=\lim\limits_{x \to 0}\dfrac{e^{\alpha \ln(1+x)}-1}{x}=\lim\limits_{x \to 0}\dfrac{e^{\alpha \ln(1+x)}-1}{\alpha \ln(1+x)}\dfrac{\alpha \ln(1+x)}{x}=\alpha\)

\(\sqrt{|x_1-x_2|} \geq |\sqrt{x_1}-\sqrt{x_2}|\)

等价于\(|x_1-x_2| > |x_1+x_2-2\sqrt{x_1x_2}|\)

等价于\(x_1^2+x_2^2-2x_1x_2 > x_1^2+x_2^2+2x_1x_2+4x_1x_2-4(x_1+x_2)\sqrt{x_1x_2}\)

等价于\(4(x_1+x_2)\sqrt{x_1x_2} >8x_1x_2\)

等价于\((x_1+x_2) >2\sqrt{x_1x_2}\)