拉格朗日中值定理:若函数 \(f(x)\) 在 \([a, b]\) 上连续,在 \((a, b)\) 上可微,则在 \((a, b)\) 中必有一点 \(\xi\) 使得 \(f'(\xi) = \dfrac{f(b) - f(a)}{b - a}\).
几何意义:若函数在 \([a, b]\) 上连续,在 \((a, b)\) 上可微,则在 \((a, b)\) 中必有一点使得这一点的切线与连接 \((a, f(a))\),\((b, f(b))\) 的直线平行.
首先证明 \(\text{Fermat}\) 定理(费马定理):若函数 \(f(x)\) 在 \(x_0\) 点可微,且在该点取到极值,则 \(f'(x_0) = 0\).
证明:
设 \(f(x)\) 在 \(x_0\) 处取到极大值,则存在 \(x_0\) 的一个邻域 \((x_0 - \delta, x_0 + \delta)\) 使得 \(\forall x \in (x_0 - \delta, x_0 + \delta)\),有 \(f(x) \leq f(x_0)\).
设一正实数 \(\alpha\) 使得 \(\alpha < \delta\),则有 \(\dfrac{f(x_0) - f(x_0 - \alpha)}{\alpha} \leq 0\),\(\dfrac{f(x_0 + \alpha) - f(x_0)}{\alpha} \geq 0\).
令 \(\alpha \rightarrow 0\),则有 \(f'(x_0) \leq 0\),\(f'(x_0) \geq 0\),于是 \(f'(x_0) = 0\).
对于最小值,可类似证明.
接着需要证明 \(\text{Rolle}\) 定理(罗尔定理):若函数 \(f(x)\) 在 \([a, b]\) 上连续,在 \((a, b)\) 上可微,且 \(f(a) = f(b)\),则必有一点 \(\xi \in (a, b)\) 使得 \(f'(\xi) = 0\).
证明:
若 \(f(x)\) 在 \([a, b]\) 上恒为常数,则显然对于任意的 \(\xi \in (a, b)\) 有 \(f'(\xi) = 0\);
若 \(f(x)\) 在 \([a, b]\) 上不恒为常数,则必有一极大值点与极小值点.设分别在 \(M\)、\(m\) 处取得极大值与极小值,由费马定理可知 \(f'(M) = f'(m) = 0\).
然后可以开始证明拉格朗日中值定理.
证明:
设 \(f(x)\) 在 \([a, b]\) 上连续,在 \((a, b)\) 上可微,\(\phi(x) = f(x) - f(a) - \dfrac{f(b) - f(a)}{b - a}(x - a)\).
显然有 \(\phi(a) = \phi(b) = 0\).于是,在 \((a, b)\) 上必有一点 \(\xi\) 使得 \(\phi'(\xi) = 0\).
对 \(\phi(x)\) 求导,得 \(\phi'(x) = f'(x) - \dfrac{f(b) - f(a)}{b - a}\).由于 \(\phi'(\xi) = 0\) ,有 \(f'(\xi) = \dfrac{f(b) - f(a)}{b - a}\).
证毕.
参考:《简明微积分(第四版)》.
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