[Linear Algebra] 行列式（待续……）

三条基本性质

两个向量可以描述平行四边形的面积，三个向量可以描述平行六面体的体积。再往高维推广，\(n\)个向量可以描述一个“\(n\)维平行多面体”的“体积”。我们将会看到，这样的“体积”拥有一些性质，这些性质将决定这个体积具有唯一的表达式。

对于\(n\)个\(n\)维向量，设它的体积为函数\(D\left(a_{1}, \cdots,a_{n}\right)\)。

第一，“体积”要满足线性性：\(D\left(a_{1}, \cdots, c a_{i}+c^{\prime} a_{i}^{\prime}, \cdots, a_{n}\right)=c D\left(a_{1}, \cdots, a_{i}, \ldots, a_{n}\right)+c^{\prime} D\left(a_{1}, \cdots, a_{i}^{\prime}, \cdots, a_{n}\right)\)。从平行四边形来理解，延长某条变对应着面积也要延长相应的倍数。在“同底”的基础上加上另一个方向的边面积也为增加相应的面积。（\(c\)可以取0）

第二，“体积”要满足列加法不变性：\(D\left(a_{1}, \cdots, a_{i}+ca_{j}, \cdots,a_j,\cdots, a_{n}\right)=D\left(a_{1}, \cdots, a_{i}, \cdots, a_j,\cdots,a_{n}\right)\)。从平行四边形来理解，将某条边的端点沿着另一条边的方向平移，平行四边形是同底等高的，面积不变。

第三，单位矩阵的列向量构成的体积为1：\(D\left(e_{1}, \cdots, e_{i}, \cdots,e_{n}\right)=1\)

我们将会看到，这样的函数\(D\)存在且唯一。这\(n\)个\(n\)维向量构成矩阵\(A\)，我们就称\(A\)的行列式为\(D(a_1,\cdots,a_n)\)，记作\(\det(A)\)。而要证明存在性与唯一性，需要这三条性质推出的更多性质。

由三条基本性质推出的其他性质

如果交换两个向量的位置，那么行列式要加上负号。只看两项，\(D(a_i,a_j)=D(a_i,a_i+a_j)=D(-a_j,a_i+a_j)=\)\(D(-a_j,a_i)=\)\(-D(a_j,a_i)\)。

如果存在\(a_i=0\)，那么\(D=0\)。因为\(a_i\)可以看作\(0 \cdot a_i\)，将系数提出即可。如果存在\(a_i=a_j\)，那么\(D=0\)。只需做列加法就会得到一个零向量。进一步，如果某一列是其他列的线性组合，那么\(D=0\)。进一步，如果矩阵不是满秩的，那么\(D=0\)。

如果把某些列的线性组合加到某一列上，那么\(D\)不变。这是性质二的推论。

对角矩阵的行列式等于对角线上数的乘积。依据是线性性（提出系数）和性质三。进一步，三角矩阵一定可以通过列加法消成对角矩阵，因此三角矩阵的行列式也等于对角线上数的乘积。更一般的，我们发现我们已经知道所有初等列变换对行列式的影响，因此对于任意矩阵，我们只需要竖着高斯消元，就可以消成对角矩阵，也就在这过程中求出了行列式的值。我们已经可以计算任何矩阵的行列式了！

根据高斯消元，当且仅当矩阵满秩时对角线上的元素才是全部非0的。因此当且仅当行列式不等于零时方阵可逆。即方阵可不可逆只需要看行列式等不等于零。

我们特别关注方阵\(A\)乘以列初等变换矩阵\(E\)后\(AE\)的行列式的值。当\(E\)表示乘以某个常数\(c\)时，\(\det(E)=c\)，同时有\(\det(AE)=c\det(A)\)；当\(E\)表示交换两列时，\(\det(E)=-1\)，同时有\(\det(AE)=-\det(A)\)；当\(E\)表示列相加时，\(\det(E)=1\)，同时有\(\det(AE)=\det(A)\)。综上，\(\det(AE)=\det(A)\det(E)\)恒成立。

由Gauss-Jordan可知，任何一个可逆矩阵都可以表示为一系列初等矩阵的乘积。（当时我们只考虑了行变换，即\(E_1E_2\cdots E_nA=I\)；如今列变换，也可以有\(AE_1E_2\cdots E_n=I\)，因此这个结论依然成立），所以对于\(\det(B)\neq 0\)，有\(\det(AB)=\det(AE_1E_2\cdots E_n)\)，归纳地得到\(\det(AB)=\det(A)\det(E_1)\det(E_2)\cdots \det(E_n)\)。而我们也可以归纳地得到\(\det(B)=\det(E_1)\det(E_2)\cdots \det(E_n)\)，因此有\(\det(AB)=\det(A)\det(B)\)。而当\(\det(B)=0\)时，\(\det(AB)=0\)也成立，因为我们证明过\(\text{rank}(AB) \leq \min\{\text{rank}(A),\text{rank}(B)\}\)。综上，对于任何矩阵都有\(\det(AB)=\det(A)\det(B)\)。

再来证\(\det(A)=\det(A^T)\)。当\(A\)不可逆时显然成立。当\(A\)可逆时，把它写作初等矩阵地乘积\(A=E_1E_2\cdots E_n\)，于是\(A^T=E_n^T\cdots E_2^TE_1^T\)。只需证\(\det(E_1)\det(E_2)\cdots \det(E_n)=\det(E_n^T)\cdots\det(E_2^T) \det(E_1^T)\)，只需证\(\det(E)=\det(E^T)\)。当\(E\)表示乘以某个常数时成立，当\(E\)表示交换两列时成立，当\(E\)表示列相加时依然成立。

The Big Formula

有了这些性质，我们来看\(D\)的表达式必须具有怎样的形式。

每个向量都可以写成\(a_i=\sum\limits_{k \in [n]}a_{ik}e_k\)的形式（坐标正交分解），再根据\(D\)的线性性，我们把它用如上方式全部展开得到许多\(a_{p_11}a_{p_22}\cdots a_{p_nn}D(e_{p_1},e_{p_2},\cdots,e_{p_n})\)的和，其中\(p_i\)对应着1到n中的一个数，在第\(i\)个向量中分解出\(e_{p_i}\)就必须提出\(a_{p_ii}\)作为乘在前面的系数。总共会有\(n^n\)个项。而我们知道如果存在\(p_i=p_j\)，那么势必有\(D=0\)。在所有这\(n^n\)个项中我们只需要考虑那\(n!\)个\(D=0\)的项，它们刚好对应1到n的全排列。而对于这样的\(D\)只可能是\(-1\)或\(1\)，这取决于把\(D\)换回顺序所需要的交换次数。假设有函数\(\tau(p)\)表示需要交换的次数，那么就有：

\(\det(A)=\sum\limits_{p}(-1)^{\tau(p)}a_{p_11}a_{p_22}\cdots a_{p_nn}\)

我们可以把\(\tau(p)\)定义为\(p\)中逆序对的个数：逆序对的个数一定与任何一个“交换次数”有相同的奇偶性。考虑交换一个逆序对时，会对逆序对总数的变化产生贡献的一定是逆序对对应的区间内部的那些介于两个端点之内的值的个数，每个值原先产生2个逆序对，现在产生0个逆序对。如果交换的不是逆序对，依然只有端点内的值为影响，每个值原来不产生逆序对，现在产生2个逆序对。而端点本身的交换会对总数有1的影响。综上，无论做什么样的交换，只会以奇数的方式改变逆序对数量。假设逆序对总数为奇数，那么不可能有偶数个奇数的和为奇数，因此交换次数必须是奇数；假设逆序对总数为偶数，那么不可能有奇数个奇数的和为偶数，因此交换次数必须是偶数。

这就是行列式的定义！可以返回去验证，这样定义的行列式具有上述讨论的所有性质。