CF传送门AT传送门两题主要Trick相同。CF的还多了一个小trick。给定一棵根节点为\(1\)的二叉树\(T\)，你需要先保留一个包含\(1\)号节点的连通块，然后给每个点确定一个权值\(a_i\)，使得对于每个点\(u\)都有其权值\(a_u\)大于等于其所有儿子的权值和\(\suma_v[(u,

前情概要斐波那契数列又称黄金分割数列，因数学家列昂纳多·斐波那契（LeonardodaFibonacci）以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”，指的是数列\(1\),\(1\),\(2\),\(3\),\(5\),\(8\),\(13\),\(\cdots\)，在数学上，斐波纳契数列以递归的方法定义\(a_1=1\)，\(a_2=1\)，

5.2中心极限定理定义和基础概念定义5.2（按分布收敛）设随机变量序列\(X_n\)和随机变量\(X\)的分布函数分别为\(F_n(x)\)和\(F(x)\)。如果对\(F(x)\)的任一连续点\(x\)，都有\[\lim_{n\to\infty}F_n(x)=F(x)\]则称随机变量序列\(\{X_n\}\)按分布收敛于随机变量

5.2中心极限定理中心极限定理定理5.6（林德伯格-莱维中心极限定理）设\(X_1,X_2,\cdots,X_n,\cdots\)是独立同分布的随机变量序列，且\(E(X_1)=\mu\),\(D(X_1)=\sigma^2\)。记\[Y_n=\frac{\sum_{i=1}^nX_i-n\mu}{\sigma\sqrt{n}}\]则对任意实数\(x\)，有\[\lim_

§4.4随机向量的数字特征一、二维随机变量函数的数学期望定理：设\((X,Y)\)是二维离散型随机变量，其分布律为\(P\{X=x_i,Y=y_j\}=p_{ij}\)，\(i,j=1,2,\cdots\)，\(Z=g(X,Y)\)是\((X,Y)\)的函数，则：\[E[g(X,Y)]=\sum_{i=1}^{\infty}\sum_{j=1}^{\infty}g(x_i,y_j)p_{ij}\]\(二维连续

§4.4随机向量的数字特征一、二维随机变量函数的数学期望定理：设\((X,Y)\)是二维离散型随机变量，其分布律为\(P\{X=x_i,Y=y_j\}=p_{ij}\)，\(i,j=1,2,\cdots\)，\(Z=g(X,Y)\)是\((X,Y)\)的函数，则：\[E[g(X,Y)]=\sum_{i=1}^{\infty}\sum_{j=1}^{\infty}g(x_i,y_j)p_{ij}\]\(二维连续

针对高维数据的降维问题，PCA的基本思路如下：首先将需要降维的数据的各个变量标准化（规范化）为均值为0，方差为1的数据集，然后对标准化后的数据进行正交变换，将原来的数据转换为若干个线性无关向量表示的新数据：这些新向量表示的数据不仅要求相互线性无关，而且需要所包含的信息量最

以下所有分数默认取整。CRT有\(\begin{cases}x\equiva_1\pmod{p_1}\\x\equiva_2\pmod{p_2}\\\cdots\\x\equiva_n\pmod{p_n}\end{cases}\)，且所有\(p\)互质。令\(p'_i=\dfrac{\prodp}{p_i}\)，且\(p'_i\)在\(\bmodp_i\)意义下逆元为\(q_i\)，则

0.前言线性代数是数学的一个分支，线性代数的研究对象是向量、向量空间（又称线性空间），线性变换和有限维的线性方程组。即线性代数主要处理线性关系问题，线性关系即数学对象之间的关系是以一次形式来表达的。线性（Linear）是指量与量之间按比例、成直线的关系，在数学上可以理解为一

首先考虑最终状态下该如何操作，显然能换牌就换牌。然而问题仍然非常复杂，该怎么继续思考呢？我们打开题解发现，在这个问题中，对于一个局面\((c_1,c_2,\cdots,c_n)\)，与另一个局面\((k,0,\cdots,0)\)是等价的，为什么呢？因为我们有能换就换的策略，对于第一种牌若不断采取能换就换的策略，肯

如存在不全为零的数\(\{\lambda_i;i=1,2,3,\cdots,n\}\),使得对于任意可能的自变量\(z\),以下式子均成立\[\sum_{i=1}^n\lambda_i\phi_i(z)=0\]则该组函数是线性相关的。\(\lambda_i\)不全为零的条件是朗斯基行列式为零:\[\begin{vmatrix}\phi_1(z)&\phi_2(z)

题目已知整数$n\geq2$,实数$x_1,x_2,\cdots,x_n$满足$x_1+x_2+\cdots+x_n=0,$且$x_1^2+x_2^2+\cdots+x_n^2=1.$对每个集合$A\subseteq\{1,2,\cdots,n\}$,定义$\displaystyle{S_A=\sum_{i\inA}x_i,}$其中若$A$为空集,则记$S_A=0.$求证：对任意正实数$\lambda$,满足

FFT复数复数在极坐标上表示：\(z=r(\cos\theta+\textbfi\sin\theta)\)，其中\(\arg(z)=\theta\)。复数相乘，模长相乘，辐角相加。单位根单位根模长为\(1\)，其中\(\omega_{n}=\cos\dfrac{2\pi}n+\textbfi\sin\dfrac{2\pi}n\)。单位根性质：\(\omega^{k}_{n}=\omega^{a\b

杭州某高中高一期中考试最后一道题目涉及到组合数学和数论的分拆数问题，题目如下：前两问是平凡的，第三问官方解答如下：上述标准解答最后的论证有点不严谨，只需要注意到n为奇数的时候，偶数排列个数\(f_n=0\)，奇数排列个数\(g_n\geq1\).\(n=2,4\),有\(f_n=g_n\)\(n\geq6\)且是

%!TEXprogram=xelatex%!TEXendoding=UTF-8(utf8)\documentclass[a4paper,fleqn]{article}\usepackage{amsmath}\usepackage{amssymb}%与exam-zh冲突\usepackage{ctex}\usepackage[dvipsnames,svgnames,x11names,table]{xcolor}\usepackage{tikz}\usepackage{tkz-

前缀和与二维前缀和考虑一个序列\(a\)，我们如何快速求出区间\([l,r]\)的元素和呢？这很简单，我们只需求出它的前缀和序列\(\mathrm{sum}(i)=\sum_{k=1}^ia_i\)，那么答案即为\(\mathrm{sum}(r)-\mathrm{sum}(l-1)\)。而对于序列\(\mathrm{sum}\)，有\(\mathrm{sum}(i)=

数学题可爱捏~HintAnalysis注意到形式很好看，猜测是某种神奇迭代。考虑特殊情况\(k=1\)，于是有：\(g(i)=\sum_{i_1\midi}f(i_1)=(f*1)(i)\)$即\(g=f*1\)。于是猜测\(g=f*1^k\)，这里的幂运算表示多次Dirichlet卷积。简单证明一下，采用数学归纳法：基本情况\(k=1\)，已经证过，

RSA--p-1光滑对于CTF--Crypto--RSA中的p-1光滑问题，在此记录本人的学习记录以及心得。欢迎各位师傅斧正。前备知识：光滑数(Smoothnumber)：可以分解成小素数的正整数。费马小定理：\[\begin{flalign}&(a,p)=1\Longrightarrowa^{p-1}≡1(mod\quadp)\\&费马小定理证明：\\&首先你

你说得对，但是这个是\(\Large{\textsf{巨大}}\)浓缩版。非浓缩版作者并没有写完。作者删掉了所有的证明，居心不良。定义：\(S\)是Lyndon串（Lyndonword）当且仅当\(S\)是所有后缀中最小的。也当前仅当\(S\)比所有他的其他cyclic-shift都小。性质：Lyndon串无非空的border。

2013中科大夏令营试题——分析%https://max.book118.com/html/2019/0328/6204135152002020.shtm中国科学技术大学2013年大学生数学夏令营竞赛试题(分析学)数学分析1.设连续函数$f:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}$满足:$\int_0^1f(xt)\mathrm{d}t=0,\forallx\in\mathbb{R}$.证明:

快速傅里叶变换（FFT）前言本文为个人学习笔记，大量参考了oi-wiki以及其他博客的内容。问题记：\[f(x)=c_0+c_1x+c_2x^2+\cdots+c_{n}x^{n}\\g(x)=d_0+d_1x+d_2x^2+\cdots+d_{m}x^{m}\\h(x)=f(x)\timesg(x)\]在\(\mathcalO(n\logn)\)内解决

设\(A\inM_{m\timesn}(\mathbbF)\)，令\(r=\dimR(A),s=\dimC(A)\).不妨设\(A\)的基行为前\(r\)行，令\(\tilde{A}\)为截取\(A\)的前\(r\)行所得矩阵，令\(t=\dimC(\tilde{A})\)，不妨设\(\tilde{A}\)的基列为前\(t\)列.任取\(1\lek\len\)，则存在\(\l

内容来源数理统计学导论（原书第7版）机械工业出版社因为要计算统计量的pdfpdfpdf，一般情况下，用定义直接验证

线性方程组的解是一组数\(x_1,x_2,\cdots,x_n\)，对于\(i=1,2,\cdots,m\)，满足\[a_{i1}x_1+a_{i2}x_2+\cdots+a_{in}x_n=b_i\]它的系数矩阵和增广矩阵分别是\[\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\cdots&a_{2n}\\\vdots&\vdots