现在是1月5日，八点零二分。高等线性代数，一章没看。明天早九考试，何如？行列式\(|A|\)为行列式，\(M_{i,j}\)为余子式，\(A_{i,j}\)为代数余子式，有\((-1)^{i+j}\)可按照任意行或列展开：\(|A|=\sum\limits_{i=1}^{n}a_{r,i}A_{r,i}\)行列式的组合定义：\(|A|=\sum_P(-1)^{\tau(P

文章目录@[toc]条件概率条件概率乘法公式定理证明全概率公式划分全概率公式证明示例问题解答贝叶斯公式示例问题解答事件的独立性相互独立定理1证明一般性定理2示例问题解答伯努利概型定理证明系统的可靠度串并联系统并串联系统条件概率条件概率设

以下是常见概率分布及其期望和方差公式的表格：分布名称分布列或概率密度期望方差离散型分布0-1分布（两点分布或伯努利分布）\(B(1,p)\)\(p_{k}=p^{k}(1-p)^{1-k},k=0,1\)\(p\)\(p(1-p)\)二项分布\(B(n,p)\)\(p_{k}=\binom{n}{k}p^{k}(1-p)^{n-k},k=0,1,

基本概念矩阵基本概念\(\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&...&a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&...&a_{2n}\\\cdots&\cdots&\cdots&\cdots\\a_{m1}&a_{m2}&\cdots&a_{mn}\\\end{bmatrix}\)称

\[\mathscr{Lorain~y~w~la~Lora~blea.}\newcommand{\DS}[0]{\displaystyle}%operatorsalias\newcommand{\opn}[1]{\operatorname{#1}}\newcommand{\card}[0]{\opn{card}}\newcommand{\lcm}[0]{\opn{lcm}}\newcommand{\char}[0]{\opn{char}}\newc

第五章插值法与拟合法拉格朗日插值已知函数在\(n+1\)个点上的函数值\(f(x_i)\)：基函数：\(l_{in}=\prod\limits_{k=0,k\neqi}^n\dfrac{x-x_k}{x_i-x_k}\)插值多项式：\(L(x)=\sum\limits_{i=0}^ny_il_{in}\)插值余项：\(\dfrac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}\omega_{n+1}(x)\)，其

\(\newcommand{\a}{\alpha}\newcommand{\b}{\beta}\newcommand{\la}{\lambda}\newcommand{\ga}{\gamma}\newcommand{\si}{\sigma}\newcommand{\al}{\mathcal}\newcommand{\sp}[1]{\operatorname{Span}(#1)}\newcommand{\di}[1]{\operatornam

定义K-近邻（K-NearestNeighbors，KNN）模型是一种基于实例的监督学习算法。它的基本思想是给定一个训练数据集，对于一个新的输入实例，在训练数据集中找到与它最相似（距离最近）的K个实例，然后根据这K个实例的类别（对于分类问题）或数值（对于回归问题）来预测新实例的类别或数值。例如，在一

题意有一个初始为\(0\)的变量\(x\)，每次操作会以\(p_i\)的概率选择位于\([0,2^n)\)中的某个整数\(i\)，并将\(x\)或上\(i\)。问期望几次操作后\(x=2^n-1\)。\(n\le20,\sump_i=1\)引入：min-max容斥以两个式子入手：\[\max(S)=\sum_{T\subseteqS}(-1)^{|T|+1}\min(T

SI152:NumericalOptimizationLec1.OptimizationThreeelementsofanoptimizationproblem:Objective（目标）,Variables（变量）,Constraints（约束条件）.\[\textbf{Objective}:\min_{x\in\mathbb{R}^n}f(x)\\\textbf{Variables}:x\\\textbf{Constraints}

引言学习了Haskell、学习了Agda，我们已经初步掌握了使用函数式编程进行编写程序、编写证明的方法。但是目前我们使用Agda进行的证明还是十分规范的代数形式的证明。如果想要严格地证明两个算法的等价性（而不是像OI题解里一样各种画图、感性理解之类的），我们就需要一种方法把算法写成

首先发现的是\(n=2,3\)必定无解。接下来考虑\(n\ge4\)的情况。首先手玩一下小数据\(n=4\)。因为此时对应的图为一个带对角线的正方形，于是可以从对称的角度入手，得到\(\max=3\)的解：\(\begin{matrix}1&{\color{red}{-}}&2\\{\color{blue}{|}}&{\color{gree

学习Kuczma等人的著作基本概念概念1:“neighborhood"是指邻域,“vicinity”是指空心邻域。概念2:设\(X\)是一个拓扑空间，\(Y\)是一个度量空间,称函数序列\(\{f_n:X\toY|n\ge1\}\)几乎一致(almostuniformly,abbreviatedtoa.u.)收敛到\(f\)当且仅当它收敛到

构造不会一点。填数游戏（241215热身赛）有一个\(n\timesm\)的矩阵，将\(1,2,\cdots,n\timesm\)填入矩阵中，满足：每个位置恰好填入一个数字；\(1,2,\cdots,n\timesm\)中每个数字恰好出现一次；矩阵每一行数字的和都不是质数，每一列数字的和都不是质数。输出构造的\(n\times

【每日一题】已知函数\(f(x)=\sin|x|+2|\sinx|\)，则\(f(x)\)在\((-2\pi,\pi)\)的零点个数为________．已知函数\(f(x)(x\in\mathbf{R})\)满足\(f(-x)=2-f(x)\)．设方程\(f(x)-\frac{x+1}{x}=0\)的\(m\)个实数根分别为\(x_1,x_2,\cdots,x_m\)，且\(y_i=f(x_i)\left(i=1

行列式行列式的定义1.n级排列，逆序，逆序数（决定奇偶性），对换2.（1）排列经过对换后，奇偶性改变（2）n个数有n!种排列，奇偶排列各一半3.n阶行列式\[\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n}\\a_{12}&a_{22}&\cdots&a_{2n}\\\cdots&\cdots&\cdots&\cdots\\

问题描述给定nnn个整数a1,

线性代数第五章\(\S1\)向量的内积、长度及正交性定义1内积\[(x,y)=\sumx_i\cdoty_i\]定义2长度（范数）\[||x||=\sqrt{(x,x)}\]定理1若\(n\)维向量\(a_1,a_2，\cdots,a_n\)是一组两两正交的非零向量，则\(a_1,a_2，\cdots,a_n\)线性无关。证：设有\(\lamb

扩展欧几里得：令\(c=\gcd(a,b)\)，则：\[ax_0+by_0=c\]考虑求出一个\(x_1,y_1\)满足：\[bx_1+(a\bmodb)y_1=c\]若\(x_1,y_1,a,b\)已知，我们如何找到\(x,y\)的一组解？\[\begin{aligned}LHS&=bx_1+(a\bmodb)y_1\\&=bx_1+(a-b\lfloor

Let\(H\)beasubgroupof\(G\),if\(g\inG\),showtha\[gHg^{-1}=\{g^{-1}hg\midh\inH\}\]isalsoasubgroupof\(G\).Proof:Since\(e~(\text{identity})\ingHg^{-1}\subseteqG\),\(gHg^{-1}\)isnonempty.Forany\(g^{-1}h_1g,

对偶空间对于域\(F\)上线性空间\(V\)，\(V\)上的线性函数指的是映射\(f\colonV\rightarrowF\)，满足对于任意\(u,v\inV,\alpha,\beta\inF\)，\[f(\alphau+\betav)=\alphaf(u)+\betaf(v)\]\(V\)上线性函数的集合用我们熟知的记号可表示为\(\hom(V,F)\)，此时我们将其记

特征值与特征向量设\(V\)为\(F\)-向量空间，对于\(T\in\text{end}(V)\)，\(\lambda\inF\)：\(V_\lambda=\ker(\lambda\cdot\text{id}_V-T)\)称为其特征子空间，即所有\(u\)满足\(\lambdau=Tu\)构成的空间。若\(V_{\lambda}\neq\{0\}\)，则\(\lambda\)称为\(T\)

置换群变换群与置换群设\(X\)为非空集合，集合\(X\)到\(X\)的一对一变换称为双射变换，X上全体双射变换集合记成T(X)。如果X为有限集合，则称T(X)中的元素为X上的置换。在T(X)中引入一个二元运算$\circ$,\(\forallα,β∈T(X)\)，定义\(α\circβ\)为变换\(α\)与\(β\)的复合，即对

上一章节的线性规划学习基本完成，进入下一章对偶问题的学习（部分笔记以及实例从书上摘录，仅供复习参考）一、情景引入某厂在计划期内要安排生产1、2两种产品，需要用到劳动力设备以及A和B两种原材料。期望生产两种产品得到最大利润产品1产品2资源限额劳动力84360工时设备45200台

加氏积设\(A_1\)\(A_2\)\(\cdots\)\(A_n\)是N个集合，一切从中顺序取出的元素组\((a_1,a_2,\cdots,a_n)\),\(a_i\inA_i\),所组成的集合叫做集合\(A_1\)\(A_2\)\(\cdots\)\(A_n\)的加氏积，记为\(A_1\timesA_2\times\cdots\timesA_n\)映射设\(A,B\)是两个非空集合，如果存在