【数学】概率论与数理统计（二）

文章目录

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• 条件概率
• • 条件概率
  • 乘法公式
  • • 定理
    • • 证明
  • 全概率公式
  • • 划分
    • 全概率公式
    • • 证明
    • 示例
    • • 问题
      • 解答
  • 贝叶斯公式
  • • 示例
    • • 问题
      • 解答
• 事件的独立性
• • 相互独立
  • • 定理1
    • • 证明
    • 一般性
    • 定理2
    • 示例
    • • 问题
      • 解答
  • 伯努利概型
  • • 定理
    • • 证明
  • 系统的可靠度
  • • 串并联系统
    • 并串联系统

条件概率

条件概率

• 设概率空间 ( Ω , F , P ) (\Omega, \mathscr{F}, P) (Ω,F,P)，事件 B ∈ F B \in \mathscr{F} B∈F，且 P ( B ) > 0 P(B) > 0 P(B)>0，则对任意事件 A ∈ F A \in \mathscr{F} A∈F称 P ( A ∣ B ) = P ( A B ) P ( B ) P(A | B) = \frac{P(AB)}{P(B)} P(A∣B)=P(B)P(AB)​为事件 B B B发生的条件下事件 A A A发生的条件概率，亦称为事件 A A A关于事件 B B B的条件概率

乘法公式

• 由条件概率 P ( A ∣ B ) = P ( A B ) P ( B ) P(A | B) = \frac{P(AB)}{P(B)} P(A∣B)=P(B)P(AB)​得 P ( A B ) = P ( B ) P ( A ∣ B ) ( P ( B ) > 0 ) P(AB) = P(B) P(A | B) (P(B) > 0) P(AB)=P(B)P(A∣B)(P(B)>0)或 P ( A B ) = P ( A ) P ( B ∣ A ) ( P ( A ) > 0 ) P(AB) = P(A) P(B | A) (P(A) > 0) P(AB)=P(A)P(B∣A)(P(A)>0)称为概率的乘法公式

定理

• 设 A 1 A_{1} A1​， A 2 A_{2} A2​， ⋯ \cdots ⋯， A n A_{n} An​为任意 n n n个事件 ( n ≥ 2 ) (n \geq 2) (n≥2)，且 P ( A 1 A 2 ⋯ A n − 1 ) > 0 P(A_{1} A_{2} \cdots A_{n - 1}) > 0 P(A1​A2​⋯An−1​)>0则 P ( A 1 A 2 ⋯ A n ) = P ( A 1 ) P ( A 2 ∣ A 1 ) P ( A 3 ∣ A 1 A 2 ) ⋯ P ( A n ∣ A 1 A 2 ⋯ A n − 1 ) P(A_{1} A_{2} \cdots A_{n}) = P(A_{1}) P(A_{2} | A_{1}) P(A_{3} | A_{1} A_{2}) \cdots P(A_{n} | A_{1} A_{2} \cdots A_{n - 1}) P(A1​A2​⋯An​)=P(A1​)P(A2​∣A1​)P(A3​∣A1​A2​)⋯P(An​∣A1​A2​⋯An−1​)

证明

• P ( A 1 ) ≥ P ( A 1 A 2 ) ≥ ⋯ ≥ P ( A 1 ⋯ A n − 1 ) > 0 P(A_{1}) \geq P(A_{1} A_{2}) \geq \cdots \geq P(A_{1} \cdots A_{n - 1}) > 0 P(A1​)≥P(A1​A2​)≥⋯≥P(A1​⋯An−1​)>0， P ( A 1 ) P ( A 2 ∣ A 1 ) P ( A 3 ∣ A 1 A 2 ) ⋯ P ( A n ∣ A 1 A 2 ⋯ A n − 1 ) = P ( A 1 ) P ( A 1 A 2 ) P ( A 1 ) P ( A 1 A 2 A 3 ) P ( A 1 A 2 ) ⋯ P ( A 1 A 2 ⋯ A n ) P ( A 1 A 2 ⋯ A n − 1 ) = P ( A 1 A 2 ⋯ A n ) P(A_{1}) P(A_{2} | A_{1}) P(A_{3} | A_{1} A_{2}) \cdots P(A_{n} | A_{1} A_{2} \cdots A_{n - 1}) = P(A_{1}) \frac{P(A_{1} A_{2})}{P(A_{1})} \frac{P(A_{1} A_{2} A_{3})}{P(A_{1} A_{2})} \cdots \frac{P(A_{1} A_{2} \cdots A_{n})}{P(A_{1} A_{2} \cdots A_{n - 1})} = P(A_{1} A_{2} \cdots A_{n}) P(A1​)P(A2​∣A1​)P(A3​∣A1​A2​)⋯P(An​∣A1​A2​⋯An−1​)=P(A1​)P(A1​)P(A1​A2​)​P(A1​A2​)P(A1​A2​A3​)​⋯P(A1​A2​⋯An−1​)P(A1​A2​⋯An​)​=P(A1​A2​⋯An​)

全概率公式

划分

• 若事件族 B 1 B_{1} B1​， B 2 B_{2} B2​， ⋯ \cdots ⋯满足

  • B i ∩ B j = ∅ ( i ≠ j ) B_{i} \cap B_{j} = \emptyset (i \neq j) Bi​∩Bj​=∅(i=j)
  • ⋃ i = 1 ∞ B i = Ω \bigcup\limits_{i = 1}^{\infty}{B_{i}} = \Omega i=1⋃∞​Bi​=Ω

• 则称 B 1 B_{1} B1​， B 2 B_{2} B2​， ⋯ \cdots ⋯为样本空间 Ω \Omega Ω的一个划分（也称为一个完备事件组）

• 如果有限个事件 B 1 B_{1} B1​， B 2 B_{2} B2​， ⋯ \cdots ⋯， B n B_{n} Bn​满足定义中的两个条件，则称 B 1 B_{1} B1​， B 2 B_{2} B2​， ⋯ \cdots ⋯， B n B_{n} Bn​为样本空间 Ω \Omega Ω的一个有限划分

全概率公式

• 设 B 1 B_{1} B1​， B 2 B_{2} B2​， ⋯ \cdots ⋯为样本空间 Ω \Omega Ω的一个划分，且 P ( B i ) > 0 , i = 1 , 2 , ⋯ P(B_{i}) > 0 , i = 1, 2, \cdots P(Bi​)>0,i=1,2,⋯，则对任意事件 A A A有 P ( A ) = ∑ i = 1 ∞ P ( B i ) P ( A ∣ B i ) P(A) = \sum\limits_{i = 1}^{\infty}{P(B_{i}) P(A | B_{i})} P(A)=i=1∑∞​P(Bi​)P(A∣Bi​)

证明

• 由于 B 1 B_{1} B1​， ⋯ \cdots ⋯， B n B_{n} Bn​， ⋯ \cdots ⋯两两互不相容，故 A B 1 A B_{1} AB1​， ⋯ \cdots ⋯， A B n A B_{n} ABn​， ⋯ \cdots ⋯也两两互不相容， A = A Ω = A ( ⋃ i = 1 ∞ B i ) = ⋃ i = 1 ∞ A B i A = A \Omega = A \left(\bigcup\limits_{i = 1}^{\infty}{B_{i}}\right) = \bigcup\limits_{i = 1}^{\infty}{A B_{i}} A=AΩ=A(i=1⋃∞​Bi​)=i=1⋃∞​ABi​

示例

问题

• 设一人群中有 37.5 % 37.5\% 37.5%的人血型为 A A A型， 20.9 % 20.9\% 20.9%为 B B B型， 7.9 % 7.9\% 7.9%为 A B AB AB型， 33.7 % 33.7\% 33.7%为 O O O型，现在人群中任挑选一人为输血者，再选一个受血者，问输血能成功的概率是多少

解答

• 设 B i ( i = 1 , 2 , 3 , 4 ) B_{i} (i = 1, 2, 3, 4) Bi​(i=1,2,3,4)表示“从人群中任选一人，其血型分别为 A A A， B B B， A B AB AB， O O O型”， S S S表示“受血者输血成功”，当输血者血型为 A A A型时，受血者血型只能是 A A A型或 A B AB AB型，此时输血成功的概率为 P ( S ∣ B 1 ) = P ( B 1 ) + P ( B 3 ) = 37.5 % + 7.9 % = 45.4 % P(S | B_{1}) = P(B_{1}) + P(B_{3}) = 37.5\% + 7.9\% = 45.4\% P(S∣B1​)=P(B1​)+P(B3​)=37.5%+7.9%=45.4%
• P ( S ) = ∑ i = 1 4 P ( S ∣ B i ) P ( B i ) P(S) = \sum\limits_{i = 1}^{4}{P(S | B_{i}) P(B_{i})} P(S)=i=1∑4​P(S∣Bi​)P(Bi​)

贝叶斯公式

• 设 B 1 B_{1} B1​， B 2 B_{2} B2​， ⋯ \cdots ⋯为样本空间 Ω \Omega Ω的一个划分， A A A为 Ω \Omega Ω中的事件，且 P ( A ) > 0 P(A) > 0 P(A)>0， P ( B i ) > 0 , i = 1 , 2 , ⋯ P(B_{i}) > 0 , i = 1, 2, \cdots P(Bi​)>0,i=1,2,⋯，则 P ( B i ∣ A ) = P ( B i ) P ( A ∣ B i ) ∑ j = 1 ∞ P ( A ∣ B j ) P ( B j ) P(B_{i} | A) = \frac{P(B_{i}) P(A | B_{i})}{\sum\limits_{j = 1}^{\infty}{P(A | B_{j}) P(B_{j})}} P(Bi​∣A)=j=1∑∞​P(A∣Bj​)P(Bj​)P(Bi​)P(A∣Bi​)​

• 贝叶斯公式又称为逆概率公式

• 假如 B 1 B_{1} B1​， B 2 B_{2} B2​， ⋯ \cdots ⋯是导致 A A A发生的各种可能“原因”，那么 P ( B i ) P(B_{i}) P(Bi​)反映了各种“原因”发生的可能性大小，它们是根据以往经验获得的，在试验之前已经知道，称之为先验概率，试验之后事件 A A A发生了，称 P ( B i ∣ A ) P(B_{i} | A) P(Bi​∣A)为后验概率，它们反映试验之后对各种“原因”发生的可能性大小的一种新估计，例如在医疗诊断中，为了诊断发生症状 A A A的患者到底患了疾病 B 1 B_{1} B1​， B 2 B_{2} B2​， ⋯ \cdots ⋯中的哪一种，可用贝叶斯公式算出 A A A起因于 B i B_{i} Bi​的概率 P ( B i ∣ A ) P(B_{i} | A) P(Bi​∣A)，若 P ( B i ∣ A ) P(B_{i} | A) P(Bi​∣A)的值最大，则认为患者有疾病 B i B_{i} Bi​的可能性最大，基于这种思想方法发展的统计推断方法，称为贝叶斯统计方法

示例

问题

• 一种称之为酶联免疫吸附测定的血液试验被用来诊断艾滋病，假设艾滋病毒携带者经试验结果为阳性的概率为 95 % 95\% 95%，非艾滋病毒携带者的健康人经试验结果为阴性的概率为 99 % 99\% 99%，在美国据估计大约每 1000 1000 1000人中有一人是艾滋病毒携带者，若进行普查时有一人经此血液试验结果呈阳性，问这人确为艾滋病毒携带者的概率是多少

解答

• 设 A A A表示事件“试验结果呈阳性”， B B B表示事件“接受试验者为艾滋病毒携带者”

• 据题意有 P ( A ∣ B ) = 0.95 P(A | B) = 0.95 P(A∣B)=0.95， P ( A ˉ ∣ B ˉ ) = 0.99 P(\bar{A} | \bar{B}) = 0.99 P(Aˉ∣Bˉ)=0.99， P ( B ) = 0.001 P(B) = 0.001 P(B)=0.001

• P ( B ∣ A ) = P ( B ) P ( A ∣ B ) P ( A ) = P ( B ) P ( A ∣ B ) P ( B ) P ( A ∣ B ) + P ( B ˉ ) P ( A ∣ B ˉ ) P(B | A) = \frac{P(B) P(A | B)}{P(A)} = \frac{P(B) P(A | B)}{P(B) P(A | B) + P(\bar{B}) P(A | \bar{B})} P(B∣A)=P(A)P(B)P(A∣B)​=P(B)P(A∣B)+P(Bˉ)P(A∣Bˉ)P(B)P(A∣B)​

• 得出结论：虽然试验方法相当可靠，但普查时试验结果呈阳性的人中确实带有艾滋病毒的可能性并不大（ < 9 % < 9\% <9%）

事件的独立性

相互独立

• 若 P ( A ∣ B ) = P ( A ) P(A | B) = P(A) P(A∣B)=P(A)，这时 B B B的发生对 A A A发生的概率没有影响， P ( A B ) = P ( A ) P ( B ) P(AB) = P(A) P(B) P(AB)=P(A)P(B)， P ( B ∣ A ) = P ( A B ) P ( A ) = P ( A ) P ( B ) P ( A ) = P ( B ) P(B | A) = \frac{P(AB)}{P(A)} = \frac{P(A) P(B)}{P(A)} = P(B) P(B∣A)=P(A)P(AB)​=P(A)P(A)P(B)​=P(B)
• 若事件 A A A， B B B，满足 P ( A B ) = P ( A ) P ( B ) P(AB) = P(A) P(B) P(AB)=P(A)P(B)，则称事件 A A A与 B B B相互独立

定理1

• 若事件 A A A与 B B B相互独立，则 A A A与 B ˉ \bar{B} Bˉ， A ˉ \bar{A} Aˉ与 B B B， A ˉ \bar{A} Aˉ与 B ˉ \bar{B} Bˉ分别相互独立

证明

• 证 A A A与 B ˉ \bar{B} Bˉ相互独立
• 由于 A = A B ∪ A B ˉ A = AB \cup A \bar{B} A=AB∪ABˉ，且 A B AB AB与 A B ˉ A \bar{B} ABˉ互不相容，可见 P ( A ) = P ( A B ) + P ( A B ˉ ) P(A) = P(AB) + P(A \bar{B}) P(A)=P(AB)+P(ABˉ)，从而 P ( A B ˉ ) = P ( A ) − P ( A B ) = P ( A ) − P ( A ) P ( B ) P(A \bar{B}) = P(A) - P(AB) = P(A) - P(A) P(B) P(ABˉ)=P(A)−P(AB)=P(A)−P(A)P(B)

一般性

• 一般地，设有 n n n个事件 A 1 A_{1} A1​， A 2 A_{2} A2​， ⋯ \cdots ⋯， A n A_{n} An​，如果对于任意 s ( 2 ≤ s ≤ n ) s (2 \leq s \leq n) s(2≤s≤n)和任意 1 ≤ i 1 < i 2 < ⋯ < i s ≤ n 1 \leq i_{1} < i_{2} < \cdots < i_{s} \leq n 1≤i1​<i2​<⋯<is​≤n，有 P ( A i 1 A i 2 ⋯ A i s ) = P ( A i 1 ) P ( A i 2 ) ⋯ P ( A i s ) P(A_{i_{1}} A_{i_{2}} \cdots A_{i_{s}}) = P(A_{i_{1}}) P(A_{i_{2}}) \cdots P(A_{i_{s}}) P(Ai1​​Ai2​​⋯Ais​​)=P(Ai1​​)P(Ai2​​)⋯P(Ais​​)成立（实际共代表 2 n − n − 1 2^{n} - n - 1 2n−n−1个等式），则称事件 A 1 A_{1} A1​， A 2 A_{2} A2​， ⋯ \cdots ⋯， A n A_{n} An​相互独立
• 特别地，对于 n n n个事件 A 1 A_{1} A1​， A 2 A_{2} A2​， ⋯ \cdots ⋯， A n A_{n} An​，若 P ( A i 1 A i 2 ) = P ( A i 1 ) P ( A i 2 ) ( 1 ≤ i 1 < i 2 ≤ n ) P(A_{i_{1}} A_{i_{2}}) = P(A_{i_{1}}) P(A_{i_{2}}) (1 \leq i_{1} < i_{2} \leq n) P(Ai1​​Ai2​​)=P(Ai1​​)P(Ai2​​)(1≤i1​<i2​≤n)，则称 A 1 A_{1} A1​， A 2 A_{2} A2​， ⋯ \cdots ⋯， A n A_{n} An​两两独立

定理2

• 设事件 A 1 A_{1} A1​， A 2 A_{2} A2​， ⋯ \cdots ⋯， A n A_{n} An​相互独立，若其中任意 m ( 1 ≤ m ≤ n ) m (1 \leq m \leq n) m(1≤m≤n)个事件相应地换成它们的对立事件，则所得 n n n个事件仍然相互独立

示例

问题

• 甲、乙、丙 3 3 3人同时各自独立地对同一目标进行射击， 3 3 3人击中目标的概率分别为 0.4 0.4 0.4， 0.5 0.5 0.5， 0.7 0.7 0.7，设 1 1 1人击中目标时，目标被击毁的概率为 0.2 0.2 0.2， 2 2 2人击中目标时，目标被击毁的概率为 0.6 0.6 0.6， 3 3 3人击中目标时，目标必定被击毁，已知目标被击毁，求是由甲击中的概率

解答

• 设事件 A A A， B B B， C C C分别表示甲，乙，丙击中目标， D D D表示目标被击毁， H i H_{i} Hi​表示有 i i i个人击中目标（ i = 0 , 1 , 2 , 3 i = 0, 1, 2, 3 i=0,1,2,3）
• 所求概率为 P ( A B ˉ C ˉ ∣ D ) = P ( A B ˉ C ˉ ) P ( D ∣ A B ˉ C ˉ ) P ( D ) = P ( A ) P ( B ˉ ) P ( C ˉ ) P ( D ∣ H 1 ) P ( D ) P(A \bar{B} \bar{C} | D) = \frac{P(A \bar{B} \bar{C}) P(D | A \bar{B} \bar{C})}{P(D)} = \frac{P(A) P(\bar{B}) P(\bar{C}) P(D | H_{1})}{P(D)} P(ABˉCˉ∣D)=P(D)P(ABˉCˉ)P(D∣ABˉCˉ)​=P(D)P(A)P(Bˉ)P(Cˉ)P(D∣H1​)​

伯努利概型

• 将试验重复进行 n n n次，如果每次试验的结果都互不影响，即各次试验结果相互独立，则称这 n n n次重复试验是 n n n次重复独立试验
• 把只有两种可能结果 A A A和 A ˉ \bar{A} Aˉ的 n n n重独立试验概型称为伯努利概型

定理

• 对 n n n重伯努利试验，设每次试验中事件 A A A发生的概率为 p ( 0 < p < 1 ) p (0 < p < 1) p(0<p<1)，则 A A A在 n n n次试验中恰好发生 k k k次的概率为 P n ( k ) = C n k p k q n − k ( k = 0 , 1 , 2 , ⋯   , n ) P_{n}(k) = C_{n}^{k} p^{k} q^{n - k} (k = 0, 1, 2, \cdots, n) Pn​(k)=Cnk​pkqn−k(k=0,1,2,⋯,n)，其中 q = 1 − p q = 1 - p q=1−p

证明

• 记 B k B_{k} Bk​为事件“ n n n重伯努利试验中 A A A恰好发生 k k k次”， A i A_{i} Ai​为事件“第 i i i次试验 A A A发生（ i = 1 , 2 , ⋯   , n i = 1, 2, \cdots, n i=1,2,⋯,n）”

• B k = A 1 A 2 ⋯ A k A ˉ k + 1 ⋯ A ˉ n ∪ ⋯ ∪ A ˉ 1 ⋯ A ˉ n − k A n − k + 1 ⋯ A n B_{k} = A_{1} A_{2} \cdots A_{k} \bar{A}_{k + 1} \cdots \bar{A}_{n} \cup \cdots \cup \bar{A}_{1} \cdots \bar{A}_{n - k} A_{n - k + 1} \cdots A_{n} Bk​=A1​A2​⋯Ak​Aˉk+1​⋯Aˉn​∪⋯∪Aˉ1​⋯Aˉn−k​An−k+1​⋯An​，等式右边的每一项表示在某 k k k次试验中 A A A发生，而另外 n − k n - k n−k次试验中 A A A不发生，按组合数计算知这种项共 C n k C_{n}^{k} Cnk​个（ k = 0 , 1 , 2 , ⋯   , n k = 0, 1, 2, \cdots, n k=0,1,2,⋯,n），且两两互不相容

• 由事件间相互独立性知 P ( A 1 ⋯ A k A ˉ k + 1 ⋯ A ˉ n ) = P ( A 1 ) ⋯ P ( A k ) P ( A ˉ k + 1 ) ⋯ P ( A ˉ n ) = p k q n − k P(A_{1} \cdots A_{k} \bar{A}_{k + 1} \cdots \bar{A}_{n}) = P(A_{1}) \cdots P(A_{k}) P(\bar{A}_{k + 1}) \cdots P(\bar{A}_{n}) = p^{k} q^{n - k} P(A1​⋯Ak​Aˉk+1​⋯Aˉn​)=P(A1​)⋯P(Ak​)P(Aˉk+1​)⋯P(Aˉn​)=pkqn−k， ⋯ \cdots ⋯ P ( A ˉ 1 ⋯ A ˉ n − k A n − k + 1 ⋯ A n ) = P ( A ˉ 1 ) ⋯ P ( A ˉ n − k ) P ( A n − k + 1 ) ⋯ P ( A n ) = p k q n − k P(\bar{A}_{1} \cdots \bar{A}_{n - k} A_{n - k + 1} \cdots A_{n}) = P(\bar{A}_{1}) \cdots P(\bar{A}_{n - k}) P(A_{n - k + 1}) \cdots P(A_{n}) = p^{k} q^{n - k} P(Aˉ1​⋯Aˉn−k​An−k+1​⋯An​)=P(Aˉ1​)⋯P(Aˉn−k​)P(An−k+1​)⋯P(An​)=pkqn−k，即右边每一项的概率均为 p k q n − k p^{k} q^{n - k} pkqn−k

• 由有限可加性得 P ( B k ) = C n k p k q n − k ( k = 0 , 1 , 2 , ⋯   , n ) P(B_{k}) = C_{n}^{k} p^{k} q^{n - k} (k = 0, 1, 2, \cdots, n) P(Bk​)=Cnk​pkqn−k(k=0,1,2,⋯,n)

• 由于 C n k p k q n − k C_{n}^{k} p^{k} q^{n - k} Cnk​pkqn−k是二项式 ( q + p ) n (q + p)^{n} (q+p)n展开式的第 k + 1 k + 1 k+1项，故该公式称为二项概率公式

系统的可靠度

• 一个元件正常工作的概率称为该元件的可靠度

串并联系统

• 设有 2 n 2n 2n个元件组成一个系统，由 2 2 2个串联子系统并联而成

并串联系统

• 设有 2 n 2n 2n个元件组成一个系统，由 n n n个并联子系统串联而成