1 随机事件
1.1 随机现象
自然界和社会中存在两类现象：
- 确定性现象（一定条件实现时，一定发生；可预测。）
- 随机性现象（一定条件实现时，结果无法断言。）
随机现象的研究是建立在大量重复试验或观察之上的。人们发现随机现象的结果出现某些规律性，这种规律性就是所谓的统计规律性。
《概率论与数理统计》课程就是研究和揭示随机现象统计规律的学科；随机现象是本课程的主要研究对象。
1.2 随机试验和样本空间
随机试验的共同点：
①可重复性（相同条件下可重复进行）
②一次实验结果的随机性（预先无法断言）
③全部试验结果的可知性（所有可能的试验结果是可知的）
满足以上所有三个特点的试验称为随机试验，用 E E E表示。（本课程的试验均指随机试验）
随机试验的每一个可能出现的结果称为一个样本点，用 ω \omega ω表示；把试验 E E E的所有可能的结果组成的集合称作样本空间，用 Ω \Omega Ω表示。
==>样本空间中所含样本点的个数可以是无限个也可以是有限个。
==>样本点是随机试验最基本且不可再分的结果。
==>当随机试验的内容确定后，样本空间也就随即确定。
1.3 随机事件的概念
理论上称随机试验 E E E所对应的样本空间 Ω \Omega Ω的某一个子集为： E E E的一个随机事件 A A A（一般用 A 、 B 、 C 、 D A、B、C、D A、B、C、D……表示），简称“事件”。
在每一次试验中，当这属于某一随机事件A中的一个样本点 t t t出现时(即 t ∈ A t \in A t∈A)称为该随机事件A发生。
若 Ω \Omega Ω的子集 A A A仅包含1个样本点 ω \omega ω，即 A = { ω } A = \{ \omega \} A={ω}；这种事件称为基本事件。
因 Ω \Omega Ω是自身的子集，它在每次试验中必然发生，因此称为必然事件，仍然记作 Ω \Omega Ω。
空集 ∅ \emptyset ∅不含任何样本点，它也是 Ω \Omega Ω的子集，称为不可能事件。
这里的事件与通俗含义和理论意义存在差异，需要特别注意。
1.4 随机事件的关系与运算
事件与事件之间有一定的关系，事件可以用集合表示，因此他们之间的关系运算可以按照集合论中的集合运算处理。
1.4.1 事件的包含与相等
事件 A 、 B A、B A、B，若事件 A A A发生则 B B B必然发生，则 A ⊂ B A \subset B A⊂B或 B ⊃ A B \supset A B⊃A；显然：
① ∅ ⊂ A ⊂ B \emptyset \subset A \subset B ∅⊂A⊂B；
②若 A ⊂ B A \subset B A⊂B且 B ⊂ A B \subset A B⊂A，则 A = B A = B A=B。(A与B相等，它们是同一事件的不同表述。)
1.4.2 和事件
称事件 A 、 B A、B A、B中至少有一个发生为事件 A A A与事件 B B B的和事件，也称为 A A A和 B B B的并，记作 A ∪ B A \cup B A∪B；代表：只有A发生或者只有B发生或者A和B都发生。显然：
① A ⊂ A ∪ B , B ⊂ A ∪ B A \subset A \cup B, \ B \subset A\cup B A⊂A∪B, B⊂A∪B；
② A ⊂ B , A ∪ B = B A \subset B, \ A \cup B = B A⊂B, A∪B=B。
1.4.3 积事件
称事件A、B同时发生为事件A与事件B的积事件，也称为A和B的交，记作 A ∩ B A \cap B A∩B，简记为 A B AB AB。显然：
① A B ⊂ A , A B ⊂ B AB \subset A, AB \subset B AB⊂A,AB⊂B；
②若 A ⊂ B A \subset B A⊂B，则 A B = A AB = A AB=A。
1.4.4 差事件
称事件 A A A发生且事件 B B B不发生为事件A对事件B的差事件，记作 A − B A - B A−B。显然：
① A − B ⊂ A A - B \subset A A−B⊂A；
②若 A ⊂ B A \subset B A⊂B，则 A − B = ∅ A - B = \emptyset A−B=∅。
1.4.5 互不相容
称事件 A A A与事件 B B B不能同时发生为事件 A A A与事件 B B B互不相容或者互斥，即 A B = ∅ AB = \emptyset AB=∅。
1.4.6 对立事件
称事件A不发生的事件为事件A的对立事件，也叫余事件或者逆事件，记作 A ‾ \overline{A} A。
实际上这些事件的关系和集合运算中的交并补差是一致的。
1.4.7 事件关系的运算规律
交换律： A ∪ B = B ∪ A , A ∩ B = B ∩ A A \cup B = B \cup A, \ \ \ \ A \cap B = B \cap A A∪B=B∪A, A∩B=B∩A
结合律： A ∪ ( B ∪ C ) = ( A ∪ B ) ∪ C A \cup (B \cup C) = (A \cup B) \cup C A∪(B∪C)=(A∪B)∪C
A ∩ ( B ∩ C ) = ( A ∩ B ) ∩ C A \cap (B \cap C) = (A \cap B) \cap C A∩(B∩C)=(A∩B)∩C
分配律： A ∪ ( B ∩ C ) = ( A ∪ B ) ∩ ( A ∪ C ) A \cup (B \cap C) = (A \cup B) \cap (A \cup C) A∪(B∩C)=(A∪B)∩(A∪C)
A ∩ ( B ∪ C ) = ( A ∩ B ) ∪ ( A ∩ C ) A \cap (B \cup C) = (A \cap B) \cup (A \cap C) A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C)
对偶律： A ∪ B ‾ = A ‾ ∩ B ‾ = A ‾ B ‾ \overline{A \cup B} = \overline{A} \cap \overline{B} = \overline{A} \overline{B} A∪B=A∩B=AB
A ∩ B ‾ = A B ‾ = A ‾ ∪ B ‾ \overline{A \cap B} = \overline{AB} = \overline{A} \cup \overline{B} A∩B=AB=A∪B
注意： A B ‾ \overline{AB} AB与 A ‾ B ‾ \overline{A} \overline{B} AB并不是一样的!!
**【例子1】**设 A 、 B 、 C A、B、C A、B、C为事件，请用运算式表示下列事件：
(1)仅 A A A发生
(2) A 、 B 、 C A、B、C A、B、C都发生
(3) A 、 B 、 C A、B、C A、B、C都不发生
(4) A 、 B 、 C A、B、C A、B、C不全发生
(5) A 、 B 、 C A、B、C A、B、C恰有一个发生
解：
( 1 ) A B ‾ C ‾ (1)A \overline{B} \overline{C} (1)ABC或者 A ∩ B ‾ ∩ C ‾ A \cap \overline{B} \cap \overline{C} A∩B∩C
( 2 ) A B C (2)ABC (2)ABC 或者 A ∩ B ∩ C A \cap B \cap C A∩B∩C
( 3 ) A ‾ B ‾ C ‾ (3)\overline{A} \overline{B} \overline{C} (3)ABC 或者 A ‾ ∩ B ‾ ∩ C ‾ \overline{A} \cap \overline{B} \cap \overline{C} A∩B∩C
( 4 ) A B C ‾ (4)\overline{ABC} (4)ABC或者 A ∩ B ∩ C ‾ \overline{A \cap B \cap C} A∩B∩C
( 5 ) A B ‾ C ‾ ∪ A ‾ B C ‾ ∪ A ‾ B ‾ C (5)A \overline{B} \overline{C} \cup \overline{A} B \overline{C} \cup \overline{A} \overline{B} C (5)ABC∪ABC∪ABC或者 ( A ∩ B ‾ ∩ C ‾ ) ∪ ( A ‾ ∩ B ∩ C ‾ ) ∪ ( A ‾ ∩ B ‾ ∩ C ) (A \cap \overline{B} \cap \overline{C}) \cup (\overline{A} \cap B \cap \overline{C}) \cup (\overline{A} \cap \overline{B} \cap C) (A∩B∩C)∪(A∩B∩C)∪(A∩B∩C)
【例子2】某射手向一目标射击三次， A i A_i Ai表示"第 i i i次命中目标， i = 1 , 2 , 3 i = 1,2,3 i=1,2,3"； B j B_j Bj表示"三次射击后命中的次数， j = 0 , 1 , 2 , 3 j = 0,1,2,3 j=0,1,2,3"。尝试使用运算式表示 B j , j = 0 ， 1 ， 2 ， 3 B_j, j=0，1，2，3 Bj,j=0，1，2，3。
解：
B 0 = A 1 ‾ ∩ A 2 ‾ ∩ A 3 ‾ = A 1 ‾ A 2 ‾ A 3 ‾ B_0 = \overline{A_1} \cap \overline{A_2} \cap \overline{A_3} = \overline{A_1}\ \overline{A_2} \ \overline{A_3} B0=A1∩A2∩A3=A1 A2 A3
B 1 = A 1 A 2 ‾ A 3 ‾ ∪ A 1 ‾ A 2 A 3 ‾ ∪ A 1 ‾ A 2 ‾ A 3 B_1 = A_1 \overline{A_2} \ \overline{A_3} \cup \overline{A_1} A_2 \overline{A_3} \cup \overline{A_1} \ \overline{A_2} A_3 B1=A1A2 A3∪A1A2A3∪A1 A2A3
B 2 = A 1 A 2 A 3 ‾ ∪ A 1 A 2 ‾ A 3 ∪ A 1 ‾ A 2 A 3 B_2 = A_1 A_2 \overline{A_3} \cup A_1 \overline{A_2} A3 \cup \overline{A_1} A_2 A_3 B2=A1A2A3∪A1A2A3∪A1A2A3
B 3 = A 1 A 2 A 3 B_3 = A_1 A_2 A_3 B3=A1A2A3
2 概率
2.1 频率与概率
在某试验中事件 A A A发生的概率记作 P ( A ) P(A) P(A)。
事件概率定义的实际背景：事件的频率和古典概型。
在相同的条件下，进行了 n n n次试验，事件 A A A发生的次数为 n A n_A nA，称作事件 A A A发生的频数，而比值 n A n \frac{n_A}{n} nnA称为事件A发生的频率，记作 f n ( A ) f_n(A) fn(A)。
在实践中，随着试验次数 n n n的大量增加，频率 f n ( a ) f_n(a) fn(a)会逐渐稳定于某一常数，该常数称为频率的稳定值，其实这个稳定值就是事件A的概率 P ( A ) P(A) P(A)。
通过频率稳定值去描述事件的概率有它的缺点，因为在现实世界中，人们无法把一个试验无限重复下去，所以难以得到精确的频率稳定值，但可以提供一个可供猜想的具体值，也就是一个近似值。
根据频率的定义，很容易得到以下基本性质：
(1) 0 ≤ f n ( A ) ≤ 1 0 \le f_n(A) \le 1 0≤fn(A)≤1
进行 n n n次试验，事件 A A A发生 n A n_A nA次， 0 ≤ n A ≤ n 0 \le n_A \le n 0≤nA≤n，则： 0 ≤ [ n A n = f n ( A ) ] ≤ [ n n = 1 ] 0 \le [\frac{n_A}{n} = f_n(A)] \le [\frac{n}{n} = 1] 0≤[nnA=fn(A)]≤[nn=1]。
(2) f n ( ∅ ) = 0 , f n ( Ω ) = 1 f_n(\emptyset) = 0, \ \ f_n(\Omega) = 1 fn(∅)=0, fn(Ω)=1
进行 n n n次试验，不可能事件 ∅ \emptyset ∅发生次数为0，即 n ∅ = 0 n_{\emptyset}=0 n∅=0；故： f n ∅ = n ∅ n = 0 f_n{\emptyset} = \frac{n_{\emptyset}}{n} = 0 fn∅=nn∅=0。
又因必然事件 Ω \Omega Ω一定发生 n n n次，即 n Ω = n n_{\Omega} = n nΩ=n；从而： f n Ω = n n = 1 f_n{\Omega} = \frac{n}{n} = 1 fnΩ=nn=1。
(3)若事件 A A A与 B B B互不相容，则 f n ( A ∪ B ) = f ( A ) + f ( B ) f_n(A \cup B) = f(A) + f(B) fn(A∪B)=f(A)+f(B)
特别要注意：互补相容的两个事件没有交集；且他们的并集可能是整个 Ω \Omega Ω也可能不是。
进行 n n n次试验，事件 A A A发生 n A n_A nA次，事件 B B B发生 n B n_B nB次，因为 A A A与 B B B互不相容，即 A ∩ B = A B = ∅ A\cap B = AB = \emptyset A∩B=AB=∅；所以 A ∪ B A \cup B A∪B发生的次数为 n A ∪ B = n A + n B n_{A \cup B} = n_A + n_B nA∪B=nA+nB次；故：
f n ( A ∪ B ) = n A ∪ B n = n A + n B n = n A n + n B n = f n ( A ) + f n ( B ) f_n(A \cup B) = \frac{n_{A \cup B}}{n} = \frac{n_A + n_B}{n} = \frac{n_A}{n} + \frac{n_B}{n} = f_n(A) + f_n(B) fn(A∪B)=nnA∪B=nnA+nB=nnA+nnB=fn(A)+fn(B)
由于频率是概率的近似值，因此不难想到概率 P ( A ) P(A) P(A)也应有类似的性质。
2.2 古典概型
古典概型是概率论发展史上首先被人们研究的一类概率模型，它出现在较简单的一类随机试验中，在这类随机试验中总共只有有限个不同的结果，并且每个结果出现的机会相等。（这是非常特殊的一类）
最典型的例子有：掷硬币，投骰子。
理论上具有下面两个特点的随机试验的概率模型称为古典概型：
①基本事件的总数有限，即样本空间中的样本点数是有限个。
②每个基本事件发生的可能性相同。
下面介绍古典概型事件概率的计算公式，这随机试验 E E E的样本空间为 Ω \Omega Ω，其中所含样本点总数为 n n n； A A A是其中的某一随机事件， A A A所包含的 样本点数为 r r r，则有：
P ( A ) = r n = A 中样本点数 Ω 中样本点数 P(A) = \frac{r}{n} = \frac{A中样本点数}{\Omega中样本点数} P(A)=nr=Ω中样本点数A中样本点数
例2：抛一枚硬币3次，设事件 A A A为"恰有一次出现反面"，事件 B B B为"三次均出现反面"，事件 C C C为"至少一次出现正面"，试求 P ( A ) , P ( B ) , P ( C ) P(A),P(B),P(C) P(A),P(B),P(C)。
解法一：设正面 H H H，反面 T T T，则样本空间 Ω = { H H H , T H H , H T H , H H T , T T H , T H T , H T T , T T T } \Omega = \{ HHH, THH, HTH, HHT, TTH, THT, HTT, TTT\} Ω={HHH,THH,HTH,HHT,TTH,THT,HTT,TTT}，样本点总数 n = 8 n=8 n=8，又因为：
A = { T T H , T H T , H T T } A = \{TTH, THT, HTT \} A={TTH,THT,HTT}，
B = { T T T } B = \{TTT\} B={TTT}，
C = { H H H , T H H , H T H , H H T , T T H , T H T , H T T } C=\{ HHH, THH, HTH, HHT, TTH, THT, HTT\} C={HHH,THH,HTH,HHT,TTH,THT,HTT}，
所以 A , B , C A,B,C A,B,C样本点数分别为：
r A = 3 , r B = 1 , r C = 7 r_A = 3, \ \ r_B = 1, \ \ r_C = 7 rA=3, rB=1, rC=7
则： P ( A ) = r a n = 3 8 , P ( B ) = r B n = 1 8 , P ( C ) = r C n = 7 8 P(A) = \frac{r_a}{n} = \frac{3}{8}, \ \ P(B) = \frac{r_B}{n}=\frac{1}{8}, \ \ P(C) = \frac{r_C}{n} = \frac{7}{8} P(A)=nra=83, P(B)=nrB=81, P(C)=nrC=87。
解法二：利用排列组合的知识，抛一枚硬币3次，其基本事件总数为 n = 2 3 = 8 n=2^3=8 n=23=8，同样地利用排列组合知识分析得：
A A A包含3个基本事件：“第 i i i次反面，其他两次正面， i = 1 , 2 , 3 i=1,2,3 i=1,2,3”，所以 r A = 3 r_A = 3 rA=3；
B B B只包含1个基本事件， r B = 1 r_B = 1 rB=1；
而 C C C与 B B B为对立事件，它包含的基本事件数为 r C = n − r B = 7 r_C = n - r_B = 7 rC=n−rB=7；
故得： P ( A ) = r a n = 3 8 , P ( B ) = r B n = 1 8 , P ( C ) = r C n = 7 8 P(A) = \frac{r_a}{n} = \frac{3}{8}, \ \ P(B) = \frac{r_B}{n}=\frac{1}{8}, \ \ P(C) = \frac{r_C}{n} = \frac{7}{8} P(A)=nra=83, P(B)=nrB=81, P(C)=nrC=87。
例3：从 0 ∼ 9 0 \sim 9 0∼9十个数字中任意选出3个不同数字，试求3个数字中不含0和5的概率。
解：设事件 A A A表示"三个数字中不含0和5"；
从10个数字中任意选择三个不同的数字，共有 C 10 3 C^3_{10} C103种选法，即基本事件总数 n = C 10 3 n = C_{10}^3 n=C103；而事件 A A A表示从 1 , 2 , 3 , 4 , 6 , 7 , 8 , 9 1,2,3,4,6,7,8,9 1,2,3,4,6,7,8,9共8个数字中选择三个数字，共有 C 8 3 C_8^3 C83种选法，即 A A A包含的基本事件数 r A = C 8 3 r_A = C_8^3 rA=C83；因此：
P ( A ) = n A n = C 8 3 C 10 3 = 8 × 7 × 6 10 × 9 × 8 = 7 15 P(A) = \frac{n_A}{n} = \frac{C_8^3}{C_{10}^3} = \frac{8 \times 7 \times 6}{10 \times 9 \times 8} = \frac{7}{15} P(A)=nnA=C103C83=10×9×88×7×6=157
例4：从 1 ∼ 9 1 \sim 9 1∼9这9个数字种任意取一个数，取后放回，而后再取一个数，试求取出的两个数字不同的概率。
解：基本事件总数 n = C 9 1 × C 9 1 = 81 n = C_9^1 \times C_9^1 = 81 n=C91×C91=81；
设事件 A A A表示"取出的两个数字不同"，因此 A A A包含的基本事件数为 r A = C 9 1 × C 8 1 = 72 r_A = C_9^1 \times C_8^1 = 72 rA=C91×C81=72；故：
概率 P ( A ) = r A n = 8 9 P(A) = \frac{r_A}{n} = \frac{8}{9} P(A)=nrA=98
例5：袋中有5个黑球、3个白球，从中任取两个，试求取到两个球颜色相同的概率。
解：8球任取2个的试验岩本空间包含的基本事件总数 n = C 8 2 n = C_8^2 n=C82；
设 A A A表示"取到两个球颜色相同"； A A A包含两种情况：全是黑球或者全是白球；
全是黑球的取法总数有 C 5 2 C_5^2 C52，全是白球的取法总数有 C 3 2 C_3^2 C32；所以 A A A的取法即 A A A包含的基本事件： r A = C 5 2 + C 3 2 r_A = C_5^2 + C_3^2 rA=C52+C32；故：
概率 P ( A ) = r A n = ( 5 × 4 ) + ( 3 × 2 ) 8 × 7 = 13 28 P(A) = \frac{r_A}{n} = \frac{(5 \times 4) + (3 \times 2)}{8 \times 7} = \frac{13}{28} P(A)=nrA=8×7(5×4)+(3×2)=2813
例6：一批产品共100件，其中3件次品，现从该批产品中接连抽取两次，每次抽取一件，考虑两种情形：
①不放回抽样（第一件取出后不放回，在抽取第二件）
②放回抽样（第一件取出后放回，再抽取第二件）
试分别求第一次抽取到正品，第二次抽取到次品的事件 A A A的概率。
解：①不放回抽样；基本事件总数 n = C 100 2 = 100 × 99 n = C_{100}^2 = 100 \times 99 n=C1002=100×99；其中事件A包含的基本事件总数为 r A = C 97 1 × C 3 1 = 97 × 3 r_A = C_{97}^1 \times C_3^1 = 97 \times 3 rA=C971×C31=97×3；故：
概率 P ( A ) = r A n = 97 × 3 100 × 99 ≈ 0.0294 P(A) = \frac{r_A}{n} = \frac{97 \times 3}{100 \times 99} \approx 0.0294 P(A)=nrA=100×9997×3≈0.0294
②放回抽样；基本事件总数 n = C 100 1 × C 100 1 = 100 × 100 n = C_{100}^1 \times C_{100}^1 = 100 \times 100 n=C1001×C1001=100×100；其中事件A包含的基本事件总数仍为 r A = C 97 1 × C 3 1 = 97 × 3 r_A = C_{97}^1 \times C_3^1 = 97 \times 3 rA=C971×C31=97×3；故：
概率 P ( A ) = r A n = 97 × 3 100 × 100 ≈ 0.0291 P(A) = \frac{r_A}{n} = \frac{97 \times 3}{100 \times 100} \approx 0.0291 P(A)=nrA=100×10097×3≈0.0291
2.3 概率的定义与性质
前面对于概率的定义只是针对特殊情况给出的，不具备一般性，因此我们进一步概括：
定义1： 设 Ω \Omega Ω是随机试验 E E E的样本空间，对于 E E E的每一个事件 A A A赋予一个实数，记作 P ( A ) P(A) P(A)，称 P ( A ) P(A) P(A)为事件 A A A的概率，如果它满足以下条件：
① P ( A ) ≥ 0 P(A) \ge 0 P(A)≥0；
② P ( Ω ) = 1 P(\Omega) = 1 P(Ω)=1；
③设 $A_1,\ A_2,\ …, \ A_m,\ … $是一列互不相同的事件。则有： P ( ∪ k = 1 ∞ A k ) = ∑ k = 1 ∞ P ( A k ) P(\cup_{k=1}^{\infty} A_k) = \sum_{k=1}^{\infty}P(A_k) P(∪k=1∞Ak)=∑k=1∞P(Ak)
由此可以推出一系列非常重要的性质(论证过程这里不展开了)：
性质1： 0 ≤ P ( A ) ≤ 1 , P ( ∅ ) = 0 0 \le P(A) \le 1, \ \ \ \ P(\emptyset)=0 0≤P(A)≤1, P(∅)=0
性质2： 对于任意事件 A , B A,B A,B都有 P ( A ∪ B ) = P ( A ) + P ( B ) − P ( A B ) P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(AB) P(A∪B)=P(A)+P(B)−P(AB)；特别地，当 A A A与 B B B互不相容时： P ( A ∪ B ) = P ( A ) + P ( B ) P(A \cup B) = P(A) + P(B) P(A∪B)=P(A)+P(B) ；且可进一步推广：
P ( A ∪ B ∪ C ) = P ( A ) + P ( B ) + P ( C ) − P ( A B ) − P ( A C ) − P ( B C ) + P ( A B C ) P(A \cup B \cup C) = P(A) + P(B) + P(C) - P(AB) - P(AC) - P(BC) + P(ABC) P(A∪B∪C)=P(A)+P(B)+P(C)−P(AB)−P(AC)−P(BC)+P(ABC)
再进一步推广，且设 A 1 , A 2 , … , A n ; ( n 是正整数 ) A_1,\ A_2,\ …,\ A_n; \ \ (n是正整数) A1, A2, …, An; (n是正整数)互不相容时：
P ( A 1 ∪ A 2 ∪ … ∪ A n ) = P ( A 1 ) + P ( A 2 ) + … + P ( A n ) P(A_1 \cup A_2 \cup … \cup A_n) = P(A_1) + P(A_2) + … + P(A_n) P(A1∪A2∪…∪An)=P(A1)+P(A2)+…+P(An)
性质3： P ( B − A ) = P ( B ) − P ( A B ) P(B-A) = P(B) - P(AB) P(B−A)=P(B)−P(AB)；特别地当 A ⊂ B A \subset B A⊂B时， P ( B − A ) = P ( B ) − P ( A ) P(B-A)=P(B)-P(A) P(B−A)=P(B)−P(A) ，且 P ( A ) < P ( B ) P(A) \lt P(B) P(A)<P(B)。
性质4： P ( A ‾ ) = 1 − P ( A ) P(\overline{A}) = 1 - P(A) P(A)=1−P(A)。
例7：已知12件产品中有2件次品，从中任取4件产品，求至少取得1件次品(记作 A A A)的概率。
解：设事件 B B B表示"未抽到次品"，则 B = A ‾ B = \overline{A} B=A；我们很容易算出：
P ( B ) = C 10 4 C 12 4 = 14 33 P(B) = \frac{C_{10}^4}{C_{12}^4} = \frac{14}{33} P(B)=C124C104=3314，故：
A A A的概率 P ( A ) = 1 − P ( A ‾ ) = 1 − P ( B ) = 19 33 P(A) = 1 - P(\overline{A}) = 1 - P(B) = \frac{19}{33} P(A)=1−P(A)=1−P(B)=3319
例8：设 A 、 B A、B A、B为两个随机事件， P ( A ) = 0.5 , P ( A ∪ B ) = 0.8 , P ( A B ) = 0.3 P(A)=0.5,\ \ P(A \cup B)=0.8,\ \ P(AB)=0.3 P(A)=0.5, P(A∪B)=0.8, P(AB)=0.3，求 P ( B ) P(B) P(B)。
解： P ( A ∪ B ) = P ( A ) + P ( B ) − P ( A B ) = 0.5 + P ( B ) − 0.3 = 0.8 P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(AB) = 0.5 + P(B) - 0.3 = 0.8 P(A∪B)=P(A)+P(B)−P(AB)=0.5+P(B)−0.3=0.8得 P ( B ) = 0.6 P(B) = 0.6 P(B)=0.6
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例9：设 A 、 B A、B A、B为两个随机事件， P ( A ) = 0.8 , P ( A B ) = 0.5 P(A)=0.8,\ \ P(AB)=0.5 P(A)=0.8, P(AB)=0.5，求 P ( A B ‾ ) P(A \overline{B}) P(AB)。
解：我们知道 A = A ∩ Ω = A ∩ ( B ∪ B ‾ ) = ( A ∩ B ) ∪ ( A ∩ B ‾ ) = A B ∪ A B ‾ A = A \cap \Omega = A \cap (B \cup \overline{B}) = (A \cap B) \cup (A \cap \overline{B}) = AB \cup A\overline{B} A=A∩Ω=A∩(B∪B)=(A∩B)∪(A∩B)=AB∪AB； 因此： # 这里还是挺重要的，写的比较细应该都能看懂。
P ( A ) = P ( A B ∪ A B ‾ ) = P ( A B ) + P ( A B ‾ ) − P ( A B ∩ A B ‾ ) = P ( A B ) + P ( A B ‾ ) P(A) = P(AB \cup A\overline{B}) = P(AB) + P(A\overline{B}) - P(AB \cap A\overline{B}) = P(AB) + P(A\overline{B}) P(A)=P(AB∪AB)=P(AB)+P(AB)−P(AB∩AB)=P(AB)+P(AB) # 应该够详细了吧
所以： P ( A B ‾ ) = P ( A ) − P ( A B ) = 0.3 P(A \overline{B}) = P(A) - P(AB) = 0.3 P(AB)=P(A)−P(AB)=0.3
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例10：设 A 与 B A与B A与B互不相容， P ( A ) = 0.5 , P ( B ) = 0.3 P(A)=0.5,\ \ P(B)=0.3 P(A)=0.5, P(B)=0.3，求 P ( A ‾ B ‾ ) P(\overline{A} \ \overline{B}) P(A B)。
解： P ( A ‾ B ‾ ) = P ( A ∪ B ‾ ) = 1 − P ( A ∪ B ) = 1 − [ P ( A ) + P ( B ) ] = 0.2 P(\overline{A} \ \overline{B}) = P(\overline{A \cup B}) = 1 - P(A \cup B) = 1 - [P(A) + P(B)] = 0.2 P(A B)=P(A∪B)=1−P(A∪B)=1−[P(A)+P(B)]=0.2
<字数太多，要求分篇！>
标签：AB,frac,cup,cap,第一章,overline,数理统计,事件,概率论 From： https://blog.csdn.net/Uarethe0ne/article/details/144942819