加氏积
设\(A_1\)\(A_2\)\(\cdots\)\(A_n\)是N个集合，一切从中顺序取出的元素组\((a_1,a_2,\cdots,a_n)\),\(a_i\in A_i\),所组成的集合叫做集合\(A_1\)\(A_2\)\(\cdots\)\(A_n\)的加氏积，记为\(A_1\times A_2 \times \cdots \times A_n\)
映射
设 \(A, B\) 是两个非空集合，如果存在一个对应法则 \(f\)，使得对于 \(A\) 中的每一个元素 \(a\)，在 \(B\) 中都有唯一确定的元素 \(b\) 与之对应，则称 \(f\) 是从 \(A\) 到 \(B\) 的映射
记作 \(f: A \to B\)
\(a \to b\)
此时，\(b\) 称为 \(a\) 在 \(f\) 下的像，记作 \(f(a)\)。
映射的合成
映射的合成是将多个映射组合起来，形成一个新的映射。如果映射
\(f:A→B 和 g:B→C\)
那么它们的合成映射 \(g∘f:A→C\) 定义为：
\((g∘f)(x)=g(f(x))\) \(\forall\)\(x∈A\)
这意味着先应用映射 \(f\)，然后再应用映射 \(g\)
映射的合成具有以下性质：
结合律：对于映射
\(f:A→B，g:B→C 和 h:C→D\)，
有 \((h∘g)∘f=h∘(g∘f)\)
单位元：对于映射 \(f:A→B\)
恒等映射 \(I_A:A→A 或I_B:B→B\)
满足 \(I∘f=f=f∘I\)
映射性质
如果映射 \(f: A \to B\) 满足以下条件：
- 对于 \(A\) 中的任意元素 \(a\)，都有 \(f(a) \in B\)，则称 \(f\) 是满射；
- 对于 \(B\) 中的任意元素 \(b\)，存在 \(A\) 中的元素 \(a\)，使得 \(f(a) = b\)，则称 \(f\) 是单射；
- \(f\) 既是满射又是单射，则称 \(f\) 是双射,也称为一一映射。
如果映射 \(f: A \to B\) 和 \(g: B \to C\) 满足 \(g(f(a)) = f(g(a))\)，则称 \(g\) 是 \(f\) 的逆映射，记作 \(f^{-1}\)。
如果映射 \(f: A \to A\) 满足 \(f(a) = a\)，则称 \(f\) 是恒等映射，记作 \(I_A\)。
如果映射 \(f: A \to B\) 和 \(g: B \to C\) 满足 \(g(f(a)) = f(g(a))\)，则称 \(g\) 和 \(f\) 可交换。
如果映射 \(f: A \to B\) 和 \(g: B \to A\) 满足 \(g∘f = I_A\)，则称\(f\)左可逆 \(g\) 是 \(f\) 的左逆映射；如果 \(f∘g = I_B\)，则称\(f\)右可逆 \(g\) 是 \(f\) 的右逆映射。
如果映射 \(f: A \to B\) 存在左逆映射和右逆映射，则称 \(f\) 是可逆映射。
双射的左逆=右逆
变换
A到A的映射叫做A的一个变换. 习惯上, 一个A到A的满射, 单射或一一映射
叫做A的一个满射变换, 单射变换, 一一变换.