[Linear Algebra] 向量空间（待续……）

对加法和数乘封闭的向量集合称为一个向量空间。狭义地来看，这里的“向量”都是\(\mathbb{R}^n\)空间中的。而广义地来看，只要我们对“元素”定义出“加法与数乘”，并且满足以下八条性质，任意这样的集合都可以看作是向量空间。

1. \(\vec{u}+\vec{v}=\vec{v}+\vec{u}\)
2. \(\vec{u}+(\vec{v}+\vec{w})=(\vec{u }+\vec{v})+\vec{w}\)
3. \(\forall \vec{v}\)，存在\(\vec{n}\)使得\(\vec{n}+\vec{v}=\vec{v}\)，这个向量记作\(\vec{0}\)
4. \(\forall \vec{v}\)，存在的\(\vec{u}\)使得\(\vec{u}+\vec{v}=\vec{0}\)，这个向量记作\(-\vec{v}\)
5. \(\forall \vec{v}\)，\(1\vec{v}=\vec{v}\)
6. \(c_1(c_2\vec{v})=(c_1c_2)\vec{v}\)
7. \(c(\vec{u}+\vec{v})=c\vec{u}+c\vec{v}\)
8. \((c_1+c_2)\vec{v}=c_1\vec{v}+c_2\vec{v}\)

任何一个\(\mathbb{R}^n\)都是一个向量空间。特殊地当\(n=0\)时，我们有\(Z=\{\vec{0}\}\)，这也是一个向量空间。一般地我们讨论“向量”空间，指的就是\(\mathbb{R}^n\)，它们是有限维的向量空间。而广义地，一个包含所有\(m \times n\)矩阵的“矩阵空间”也是一个向量空间；一个包含所有实数数列（正整数到实数的映射）的“数列空间”也是一个向量空间；将加法定义为实数乘法，将数乘\(c\)定义为实数的\(c\)次方的“实数空间”也是一个向量空间……

由这八条公理可以推导出许许多多奇妙的性质：

零向量是唯一的。如果不唯一，那么有\(\vec{n} \neq\vec{m}\)满足\(\vec{n}+\vec{m}=\vec{m}\)，\(\vec{m}+\vec{n}=\vec{n}\)。根据加法交换律，\(\vec{n}+\vec{m}=\vec{m}+\vec{n}\)，代入得\(\vec{m}=\vec{n}\)，矛盾。

加法逆是唯一的。如果不唯一，那么有\(\vec{n} \neq\vec{m}\)满足\(\vec{n}+\vec{v}=\vec{0}\)，\(\vec{m}+\vec{v}=\vec{0}\)。对于\(\vec{0}+\vec{m}=\vec{m}\)，将\(\vec{0}\)用\(\vec{n}+\vec{v}\)代换，得到\(\vec{n}+\vec{v}+\vec{m}=\vec{m}\)。根据加法结合律与交换律，将\(\vec{v}+\vec{m}\)用\(\vec{0}\)代换，得\(\vec{n}+\vec{0}=\vec{m}\)。而\(\vec{n}+\vec{0}=\vec{n}\)，所以得到\(\vec{m}=\vec{n}\)，矛盾。

等式满足消去律：如果有\(\vec{u}+\vec{v}=\vec{u}+\vec{w}\)，那么有\(\vec{v}=\vec{v}+\vec{0}=\vec{v}+(\vec{u}+(-\vec{u}))\)\(=(\vec{v}+\vec{u})+(-\vec{u})=(\vec{w}+\vec{u})+(-\vec{u})=\vec{w}\)。这是一个非常重要的定理，这告诉我们向量等式是可以移项的。