一、一元函数积分的概念和性质
一元函数积分学包括不定积分与定积分两部分。
定积分在几何、物理、工程技术、经济等领域均有广泛的应用，是一元积分的核心。
不定积分实质是变限的定积分，重要性在于为定积分的计算提供了一种简便快捷的工具。
1、原函数与不定积分的定义
若 $ F'(x)=f(x) $ 在区间 I 上成立，称 F(x) 为 f(x) 在区间 I 的原函数。
$ f(x) $ 在区间 I 中的全体原函数称为 f(x) 在区间 I 中的 不定积分，记为 $ \int f(x)dx $。
- \(\int\) 为积分号；
- \(x\) 为积分变量；
- \(f(x)\) 为被积函数；
- \(f(x)dx\) 为被积表达式。
2、原函数与不定积分的关系
若 F(x) 为 f(x) 的一个原函数，则 $ \int f(x)dx=F(x)+C $，其中 C 为任意常数，称为积分常数。
3、求不定积分与求微分的关系————互为逆运算
（1）已知与未知相反：\(dF(x)=f(x)dx\)，
- 已知 F(x) 求 \(dF(x)=f(x)dx\) 是微分运算；
- 已知 \(f(x)dx 求 F(x) 使得 dF(x)=f(x)dx\) 是积分运算。
（2）
\[(\int f(x)dx)'=f(x) \quad 或\quad d\int f(x)dx=f(x)dx; \]\[\int F'(x)dx=F(x)+C \quad 或\quad \int dF(x)=F(x)+C; \]正因为原函数与导函数有互逆关系，而且不定积分就是全体原函数，所以对应于基本初等函数的导数公式，就有相应的基本积分公式：
\[\int 0 \cdot dx=C; \quad \int x^kdx= \frac{1}{1+k}x^{k+1}+C \quad (k \neq -1) \]\[\int \frac{1}{x}dx=ln|x|+C; \quad \int a^xdx= \frac{a^x}{lna}+C; \quad \int e^xdx=e^x+C \]\[\int sinxdx=-cosx+C; \quad \int cosxdx=sinx+C \]\[\int tanxdx=-ln|cosx|+C; \quad \int cotxdx=ln|sinx|+C \]\[\int secxdx=ln|secx+tanx|+C; \quad \int cscxdx=ln|cscx-cotx|+C \]\[\int secxtanxdx=secx+C; \quad \int cscxcotdx=-cscx+C \]\[\int shxdx=chx+C; \quad \int chxdx=shx+C \]\[\int \frac{1}{cos^2x}dx= \int sec^2xdx=tanx+C; \quad \int \frac{1}{sin^2x}dx= \int csc^2xdx=-cotx+C \]\[\int \frac{dx}{\sqrt{1-x^2}}=arcsinx+C; \quad \int \frac{dx}{\sqrt{a^2-x^2}}=arcsin \frac{x}{a}+C \]\[\int \frac{dx}{1+x^2}=arctanx+C; \quad \int \frac{dx}{\sqrt{x^2 \pm a^2}}=ln|x+ \sqrt{x^2+a^2}|+C \]\[\int \frac{dx}{a^2+x^2}=\frac{1}{a}arctan \frac{x}{a}+C; \quad \int \frac{dx}{a^2-x^2}= \frac{1}{2a}ln|\frac{a+x}{a-x}|+C \]4、不定积分的简单性质
设 f(x)、g(x) 在区间 I 上存在原函数，则在区间 I 上：
\[(1) \int (f(x)+g(x))dx= \int f(x)dx + \int g(x)dx; \quad \int (f(x)-g(x))dx= \int f(x)dx - \int g(x)dx \]\[(2) \int kf(x)dx=k \int f(x)dx \quad (k \neq 0 为常数) \]\[(3) (\int f(x)dx)'=f(x) \quad 或 \quad \int dF(x)=F(x)+C \]5、原函数的存在性
f(x) 连续时原函数存在的充分非必要条件：
- 设 f(x) 在区间 I 上连续，则 f(x) 在区间 I 上存在原函数；
- 若 f(x) 在区间 I 上有
第一类间断点，则 f(x) 在 I 上部存在原函数； - 若 f(x) 在区间 I 上存在原函数，且存在间断点，间断点为
第二类间断点。
6、原函数几何意义和力学意义
设 f(x) 在 \([a,b]\) 上连续，则由曲线 $ y=f(x), x轴及直线 x=a，x=x $ 围成的曲边梯形的面积函数是 f(x) 的一个原函数。
若 x 为时间变量，f(x) 为直线运动的物体的速度函数，则 f(x) 的原函数就是路程函数。