一、导数的定义与意义
一元函数的导数是一类特殊的函数极限，也是一类 \(\frac{0}{0}\) 型极限（函数增量与自变量增量之比当自变量趋于零时的极限）。
在几何上函数的导数即曲线的切线的斜率。导数在几何上的应用就是求曲线的切线或法线的斜率。
在力学上路程函数的导数就是速度。
函数的可导性是比连续性更强的性质，因为可导必连续。
求一元函数的导数与微分的方法是相同的，因此把求导数与求微分的法则统称为微分法则。
1、导数的定义
（1）定义1：$ f(x) 在 x_0 处可导 $
设函数 $ y=f(x) 在 x_0 $ 的某邻域有定义，若下面极限存在
\[\lim_{\triangle x \to 0} \frac{\triangle y}{\triangle x} = \lim_{\triangle x \to 0} \frac{f(x_0+ \triangle x)-f(x_0)}{\triangle x}， \]其中 $\triangle y=f(x_0 + \triangle x) - f(x_0) ，则称 f(x) 在 x_0 可导，并称这个极限为 f(x) 在 x_0 处的 $ 导数（或微商），记作 $ f'(x_0)，y'(x_0) 或 \frac{dy}{dx} |{x=x_0}，\frac{df(x)}{dx} |{x=x_0} 等。 $
令 $ x=x_0 + \triangle x，f'(x_0) 又可改写成 f'(x_0)= \lim_{x \to x_0} \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}。 $